2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学新疆班18级高二
（下）期中数学试卷
1.(2014·浙江省温州市·单元测试)如果直线ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，
那么系数a等于()
A. 6
B. −3
C. −3
2D. 2
3
2.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项为()
A. a n=n+4
B. a n=10−n
C. a n=2n+1
D. a n=3n−2
3.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，则a2a3a4的值
为()
A. ±3√3
B. 3√3
C. −3√3
D. 3
4.(2021·江苏省扬州市·期中考试)设m、n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下
列四个命题中不正确的是()
A. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
B. 若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ
C. 若m//α，n//α，则m//n
D. 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交
5.(2020·安徽省淮北市·单元测试)如图，PA⊥矩形ABCD，
下列结论中不正确的是()
A. PD⊥BD
B. PD⊥CD
C. PB⊥BC
D. PA⊥BD
6.(2021·江苏省扬州市·期中考试)抛物线的焦点为椭圆x2
9+y2
4
=1的左焦点，顶点在椭
圆中心，则抛物线方程为()
A. y2=4√5x
B. y2=−4√5x
C. x2=4√5y
D. x2=−4√5y
7.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x2
25+y2
9
=1上的动
点，则|MA|+|MB|最大值是()
A. 10+2√10
B. 10−2√10
C. 8+√10
D. 8−√10
8.(2021·全国·同步练习)直线x−2y−3=0与圆(x−2)2+(y+3)2=9交于E，F两
点，则△EOF(O是原点)的面积为()
A. 3
2B. 3
4
C. 2√5
D. 6√5
5
9.(2021·江苏省扬州市·期中考试)下列命题中，正确的是()
A. 平行于同一条直线的两个平面平行
B. 平行于同一个平面的两个平面平行
C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
10.(2014·贵州省铜仁市·期末考试)已知α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，
给出下列命题中正确命题是()
A. 若α⊥β，l⊥β，则l//α
B. 若l⊥α，l//β，则α⊥β
C. 若l上有两个点到α的距离相等，则l//α
D. 若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β
11.(2021·江苏省扬州市·期中考试)设S n是公差为d(d≠0)的等差数列{a n}的前n项和，
则下列命题正确的是()
A. 若d<0，则数列{S n}有最大项
B. 若数列{S n}有最大项，则d<0
C. 若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N+，均有S n>0
D. 若对任意n∈N+，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列
12.(2021·江苏省扬州市·期中考试)在△ABC中，点B(−2,0)，C(2,0)，A(x,y)，给出△ABC
满足的条件得到动点A的轨迹方程，下列正确的是()
A. 若△ABC周长为10，则点A的轨迹方程为x2
9+y2
5
=1(y≠0)
B. 若△ABC面积为10，则点A的轨迹方程为y2=25
C. 若A=90°，则点A的轨迹方程为x2+y2=4(y≠0)
D. 以上都不对
13.(2021·江苏省扬州市·期中考试)经过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直
线方程为______ ．
14.(2015·江苏省盐城市·月考试卷)已知等比数列{a n}的各项都为正数，它的前三项依
次为1，a+1，2a+5，则数列{a n}的通项公式a n=______ ．
15.(2021·江苏省扬州市·期中考试)若椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
3
，焦点到
对应准线的距离为8，则椭圆的标准方程为______ ．
16.(2021·江苏省扬州市·期中考试)PA垂直于△ABC所在的平面，若AB=AC=13，
BC=10，PA=12，则P到BC的距离为______ ．
17.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点F2与抛
物线y2=4x的焦点重合，且椭圆经过点P(1,3
2
).
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程；
(Ⅱ)求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．
18.(2021·全国·单元测试)如图，在直三棱柱ABC−
A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点
D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1//平面CDB1．
19.(2019·全国·单元测试)设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，
}的前n项和，求T n．
S15=75，T n为数列{S n
n
20.(2021·江苏省扬州市·期中考试)如图，在直三棱柱ABC−
A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的
中点，且CG⊥C1G.
(Ⅰ)求证：CG//平面BEF；
(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.
21.(2021·江西省南昌市·期中考试)数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−
a n，n∈N∗
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设S n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求S n；
(n∈N∗),T n=b1+b2+⋯+b n(n∈N∗)，是否存在最大的整数
(3)设b n=1
n(12−a n)
m，使得对任意n∈N∗，均有T n>m
成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说
32
明理由．
22.(2021·江苏省扬州市·期中考试)已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为
F(0,−2√2)，对应的准线方程为y=−9√2
．
4
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M，N，且使线段MN恰好被直平分？若存在，求l的倾斜角θ的取值范围，若不存在，说明理由．
线x=−1
2
答案和解析
1.【答案】A
【知识点】直线的一般式方程
【解析】解：∵ax‐2y﹢2=0与直线3x−y−2=0平行，
∴3
a =−1
−2
≠−2
2
，解之得a=6
故答案为：6．
根据直线平行的条件，列出关于a的方程并解之，即可得到实数a的值．
本题给出两条直线互相平行，求参数a之值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．
2.【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
则a3=a1+2d=7，...①
a7=a1+6d=3，...②
由①②，解得a1=9，d=−1，
所以通项公式为a n=9−(n−1)=10−n．
故选：B．
设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求出a1和d，即可得到通项公式．
本题考查了等差数列的通项公式应用问题，考查了运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】解：等比数列{a n}中，a1=1，a5=3，
由等比数列的性质得，a1a5=a32=3，
∵a3与a1同号，∴a3>0，
∴a2a3a4=a33=(√3)3=3√3．
故选：B．
由已知结合等比数列的性质，即可直接求解．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【知识点】平面与平面的位置关系、空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系
【解析】解：对于A，若m⊥α，则m垂直于α内的所有直线，m垂直于平行α的所有直线，又n//α，∴m⊥n，故A正确；
对于B，若α//β，m⊥α，则m⊥β，又β//γ，∴m⊥γ，故B正确；
对于C，若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故C错误；
对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则平面α，β平行或相交，故D正确．
故选：C．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】A
【知识点】线面垂直的性质
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线垂直的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三垂线定理和直线与平面垂直的性质的合理运用．由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．
【解答】
解：∵PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，
故PD⊥BD不正确，故A不正确；
∵PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；
∵PA⊥矩形ABCD，
∴由三垂线定理得PB⊥BC，故C正确；
∵PA⊥矩形ABCD，
∴由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD，故D正确．
故选A．
6.【答案】B
【知识点】抛物线的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义
【解析】解：由椭圆x2
9+y2
4
=1，得a=3，b=2，则c=√a2−b2=√5，
则椭圆左焦点为F(−√5,0)，
由题意可设抛物线方程为y2=−2px(p>0)，
则p
2
=√5，p=2√5，
抛物线方程为y2=−4√5x，
故选：B．
由椭圆方程求得左焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，设出抛物线方程y2=−2px(p> 0)，再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求．
本题考查椭圆与抛物线的几何性质，是基础题．
7.【答案】A
【知识点】椭圆的性质及几何意义
【解析】解：椭圆x2
25+y2
9
=1，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为F(−4,0)，
则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，
于是|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|．
当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|−|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|−|MF|=−|BF|，
在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|．
显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为
|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|=10+√(2+4)2+(2−0)2=10+
2√10．
故选：A．
由题设条件可知，MA+MB=10+|MB|−|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|.显
然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+ |MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|.由此能够求出MA+MB的最大值．
本题考查椭圆的基本性质，解题时要熟练掌握基本公式，中档题．
8.【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系及判定
【解析】解：圆(x−2)2+(y+3)2=9的圆心为(2,−3)
∴(2,−3)到直线x−2y−3=0的距离d=
√12+22
=√5
弦长|EF|=2×√9−5=2×2=4
原点到直线的距离d=
√12+22=
√5
∴△EOF的面积为S=1
2×4×
√5
=6√5
5
故选D．
先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|EF|，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案．
本题主要考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系．考查基础知识的综合运用和灵活运用能力．
9.【答案】BD
【知识点】空间中直线与平面的位置关系
【解析】解：对于A，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故A错误；
对于B，由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确；对于C，一个平面与两个平行平面相交，交线平行或相交于一点，故C错误；
对于D，由平面与平面平行的性质可知，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故D正确．
故选：BD．
由直线与直线、直线与平面的位置关系判定AC；由平面与平面平行的判定判断B；由平面与平面平行的性质判断D．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
10.【答案】B
【知识点】空间中直线与平面的位置关系
【解析】解：选项A，若α⊥β，l⊥β，则l//α，不正确，l也可能在平面α内；
选项B，若l⊥α，l//β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理可知正确；
选项C，若l上有两个点到α的距离相等，则l//α，不正确，当两点在平面两侧时不正确；
选项D，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；
故选B
选择A结论中l也可能在平面α内，选项B根据面面垂直的判定定理进行判定，选项C 当两点在平面两侧时不正确，选项D举反例，如正方体共顶点的三个平面．
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【知识点】等差数列的求和
【解析】解：因为S n=dn2
2+(a1−d
2
)n，
若d<0，根据二次函数的性质可知，数列{S n}有最大项，A正确，B正确；
若数列{S n}是递增数列，则d>0，
若a1<0，则S1<0，但不一定对任意n∈N+，均有S n>0，C错误；
若数列{S n}是递减数列，则d<0，一定存在实数k，
当n>k时，之后所有项都为负数，不能保证对任意n∈N+，均有S n>0，
因此数列{S n}是递增数列，所以d>0，D正确．
故选：ABD．
由已知结合等差数列的求和公式及数列单调性的性质，判断各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，考查了逻辑推理的能力，属于中档题．12.【答案】ABC
【知识点】圆有关的轨迹问题
【解析】解：如图，在平面直角坐标系中
∵B(−2,0)，C(2,0)．
若△ABC周长为10，则|AB|+|AC|=6>4=|BC|，
∴A的轨迹为以B、C为焦点，长轴长为6的椭圆，方程为：x2
9+y2
5
=1(y≠0)，故A
正确；
若△ABC面积为10，设A到BC所在直线距离为d，则1
2×|BC|×d=10，即1
2
×4d=10，
d=5．
∴|y|=5，y2=25.∴A的轨迹方程为：y2=25，故B正确；
若∠A=90°，则|OA|=2，即√x2+y2=2，x2+y2=4(y≠0)，故C正确．
故选：ABC．
题目中给出了△ABC的两个顶点B、C的坐标，当给出周长时，可得到A到B、C两点的距离和为定值，且定值大于BC的距离，可知A的轨迹为椭圆除去x轴上的两点；当△ABC的面积为定值10时，可得A到x轴的距离为定值5，从而可得A的轨迹是两条直线；当△ABC中，∠A=90°时，可知A到原点的距离为定值2，从而得到A的轨迹是圆除去与x轴的两个交点．
本题考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆、圆的定义，解答的关键是对圆锥曲线定义的理解，属中档题．
13.【答案】2x+3y+10=0
【知识点】直线的一般式方程、直线系方程及其应用、两条直线垂直的判定
【解析】解：设与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，
然后将点A代入可得到c=10
故过点A(1,−4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为2x+3y+10=0
故答案为：2x+3y+10=0
先根据所求直线与直线2x+3y+5=0平行可设为2x+3y+c=0，然后将点A代入可求出c的值，最后将c的值代入即可得到答案．
本题主要考查直线的平行问题，当直线的斜率存在时两直线互相平行可斜率相等、当两直线的斜率都不存在时也平行．
14.【答案】3n−1
【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式
【解析】解：由1，a+1，2a+5为等比数列的前3项，得到(a+1)2=2a+5，
化简得：a2=4，由a+1>0得到a>−1，所以解得a=2，
所以等比数列的前3项依次为：1，3，9，则a1=1，q=3，
则数列{a n}的通项公式a n=3n−1．
故答案为：3n−1
因为此等比数列的前三项依次为1，a+1，2a+5，根据等比数列的性质可得，第2项的平方等于第1第3项之积，列出关于a的方程，由各项都大于0，求出满足题意的方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入得到前3项的值，根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式．
此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．
15.【答案】x2
9+y2
8
=1
【知识点】椭圆的概念及标准方程
【解析】解：e=c
a =1
3
∴a=3c.焦点到对应准线的距离a2
c
−c=b2
c
=8，∴b2=8c，a2−
b2=c2=c∴c=1，a2=9，b2=8
故答案为：x2
9+y2
8
=1．
e=c
a =1
3
，焦点到对应准线的距离a2
c
−c=b2
c
=8，联立方程组解出a，b．
求椭圆的标准方程，关键根据题目条件，列出关于a，b的方程组去解．本题用到了椭圆的基本几何性质．16.【答案】12√2
【知识点】利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：如图，过A作BC的垂线交于D，
∵AB=AC=13，
∴D 为BC 的中点，BC =10， 可得BD =1
2BC =5，
∴AD =√AB 2−BD 2=12
∵PA 垂直于△ABC 所在的平面，BC ⊂ABC 平面， 可得PA ⊥BC ，PA ⊥AD ， ∴PA ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴△PAD 是直角三角形，
AD ∩PA =A ，AD ，PA ⊂平面ADP ， ∴BC ⊥平面ADP ， ∴BC ⊥DP ，
那么PD 即是P 到BC 的距离，
由AP =12，AD =12，△PAD 是直角三角形， ∴PD =12√2． 故答案为：12√2．
过A 作BC 的垂线交于D ，连接PD ，证明PD 垂直BC ，可得PD 即是P 到BC 的距离． 本题考查了点线面的位置关系和证明，点线距离的求法，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点右焦点F 2(1,0)，左焦点F 1(−1,0)∴c =1∵
P(1,3
2)2a =PF 1+PF 2=√22+(3
2)2+√(3
2)2=5
2+3
2=4∴a =2∴b 2=3 所求椭圆方程为
x 24
+
y 23
=1
(Ⅱ)a =1，c =2则b 2=3所求双曲线的方程为x 2−y 23
=1
【知识点】双曲线的概念及标准方程、椭圆的概念及标准方程
【解析】(Ⅰ)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)即c =1，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程
(Ⅱ)双曲线中由(Ⅰ)a =1，c =2，可求得方程
本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC …(2分)
∵AC =3，BC =4，AB =5，
∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB …(4分) 又C 1C ∩CB =C ，
∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1…(7分)
(2)设CB 1∩BC 1=E ，∵C 1CBB 1为平行四边形， ∴E 为C 1B 的中点…(10分)
又D 为AB 中点，∴AC 1//DE …(12分) DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1…(14分)
【知识点】线面平行的判定、空间中直线与直线的位置关系
【解析】(1)利用ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．
(2)设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1//DE ，然后证明AC 1//平面CDB 1． 本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．
19.【答案】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则
S n =na 1+1
2n(n −1)d ． ∵S 7=7，S 15=75，
∴{7a 1+21d =7
15a 1+105d =75.
即{a 1+3d =1
a 1+7d =5. 解得a 1=−2，d =1． ∴S n n
=a 1+12
(n −1)d =−2+1
2
(n −1)，
∵
S n+1
n+1
−S n n
=1
2，
∴数列{S
n
n
}是等差数列，其首项为−2，公差为1
2
， ∴T n =14n 2−9
4n ．
【知识点】等差数列的性质、等差数列的概念、数列求和方法、等差数列的求和
【解析】由已知条件列出a1与d的方程组求出a1与d，从而求出s n，进而推出s n
，由等
n
}为等差数列，故利用等差数列的求和公式进行求解．
差数列的定义可得数列{S n
n
本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，是高考考查的重点．20.【答案】证明：(Ⅰ)连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA1，BB1的中点，
∴AE//BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点(3分)
又∵F是AC的中点，
∴DF//CG(5分)
则由DF⊂平面BEF，
CG⊄平面BEF，
∴CG//平面BEF，
(Ⅱ)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，
∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，
即C1B1⊥A1C1，
∴A1C1⊥面B1C1CB(9分)
而CG⊂面B1C1CB，
∴A1C1⊥CG(12分)
又CG⊥C1G，∴
CG⊥平面A1C1G(14分)
【知识点】线面垂直的判定、线面平行的判定
【解析】(I)要证明CG//平面BEF，即证明平面BEF中存在一条直线与CG平行，连接AG交BE于D，则DF符合要求，证明DF//CG后，利用线面平行的判定定理，即可得到答案．
(II)若要证明CG⊥平面A1C1G，我们可以证明平面A1C1G中有两条相交直线与CG垂直，根据已知中直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G，结合线面垂直的判定定理，即可得到答案．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握判定定理的使用方法和步骤是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，
∴{a n }为等差数列，设公差为d ， 由题意得2=8+3d ⇒d =−2，
∴a n =8−2(n −1)=10−2n
(2)若10−2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =
8+10−2n
2
×n =9n −n 2
n ≥6时，S n =a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7…−a n =S 5−(S n −S 5)=2S 5−S n =n 2−9n +40
故S n ={9n −n 2
n ≤5
n 2−9n +40n ≥6
(3)∵b n =1n(12−a n )=12n(n +1)=12(1n −1
n +1
)∴T n
=12[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1−1n )+(1n −1n +1
)]=n 2(n +1)
若T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，即n n+1>m 16对任意n ∈N ∗成立，∵n
n+1(n ∈N ∗)的最小值是12，∴m 16<1
2，∴m 的最大整数值是7．
即存在最大整数m =7，使对任意n ∈N ∗，均有T n >m
32
【知识点】数列的递推关系、数列求和方法、数列的综合应用
【解析】(1)由条件a n+2=2a n+1−a n ，可得a n+2−a n ⋅+1=a n+1−a n ，
从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式； (2)利用10−2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；
(3先裂项求和，再根据T n >m 32对任意n ∈N ∗成立，得n n+1>m
16对任意n ∈N ∗成立，利用n n+1(n ∈N ∗)的最小值是12，可知m 16<1
2
，从而存在最大整数m =7．
本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．
22.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆方程为y 2
a 2+x 2
b 2
=1； 由题意c =2√2,
22
√
2
=9√24
⇒a 2=9,b 2=1．
∴椭圆方程为x 2+
y 2
9
=1
(Ⅱ)设存在直线l ：y =kx +b.故椭圆交于M ，N ，线段MN 中点为P(x 0,y 0).
由{y =kx +b
9x 2+y 2
=1
⇒(9+k 2)x 2+2kbx +b 2−9=0 则判别式△=4k 2b 2−4(9+k 2)(b 2−9)=−36(b 2−k 2−9)>0 得 b 2−k 2−9<0① 又
x 1+x 22
=−kb 9+k 2=−1
2⇒b =
9+k 22k
.代入①
解得 k >√3或k <−√3， ∴θ∈(π3,π
2
)∪(π2
,
2π
3
)．
【知识点】椭圆的性质及几何意义 【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为
y 2a 2
+x 2
b 2=1，从而求出a ，b ，
c ，从而求椭圆的方程；
(Ⅱ)设存在直线l ：y =kx +b.故椭圆交于M ，N ，线段MN 中点为P(x 0,y 0)；从而求l 的倾斜角θ的取值范围．
本题考查了圆锥曲线与直线的关系应用，属于基础题．。