应用数学基础第三章

应⽤数学基础第三章
⼀、判断
1.设和是有限维线性空间X上的两种范数，.若
且，则.() 2.设和是线性空间X上的两种等价范数，.若
且，则.()
3.由矩阵A确定的线性算⼦是有界的.()
4.由矩阵A确定的线性算⼦是连续的.()
5.设矩阵A，定义映射，对任意，，则A是有界线性算⼦.()
6.设X和Y都是赋范线性空间，T:是线性算⼦,若T在处连续，则T在X上是有界的.()
7.若是⼀赋范空间，则.()
8.若赋范线性空间X的⼦集是紧的，则任何⾮空的闭⼦集也是紧的.()
9.上全体有理系数多项式构成的集合P是实空间(C,)(其中
)中的完备⼦空间.()
10.上全体实系数多项式构成的集合P是实空间(c,)(其中
)中的闭集.()
11.设是赋范线性空间，若是有限维的，则是完备的.()
12.若赋范线性空间X是列紧的，则X是B a n a c h空间.()
13.设是赋范线性空间,,若,都有,则. ()
14.设是内积空间,,若有,则.()
15.设有内积空间若对任意的均有，则. ()
16.若赋范线性空间X的⼦集是紧的，则任何⾮空的闭⼦集是有界的. ()
17.可数多个开集的交仍是开集.()
18.可数多个闭集的并仍是闭集.()
19.设是赋范线性空间的⼀列紧⼦集，则也为紧⼦集.()
20.设均为赋范线性空间的紧⼦集，则也为紧⼦集.()
21.设是赋范线性空间,,且，则存在有界线性泛函,使得
,.()
22.都是可分的赋范线性空间.()
23.都是可分的赋范线性空间.()
24.上的范数和是等价的.()
25.上的⽅阵范数与是等价范数.()
26.设为赋范线性空间中的两个C a u c h y列，则必收敛. ()
⼆、填空
1.是上所有有连续⼀阶导数的函数的全体构成的的⼦空间，
（）.若线性算⼦：的定义为，则是.
2.是上所有有连续⼀阶导数的函数的全体构成的的⼦空间，
（），线性算⼦：的定义为
，则是.
3.设，则=，=，
=，=.
4.设，则=.
5.设是赋范线性空间,则是.
6.设是赋范线性空间,若是有限维的,则是.
7.设是任意赋范线性空间，则到的所有线性算⼦构成的赋范线性空间
是.
8.设是任意赋范线性空间，则是.
9.设是H i l b e r t空间的完全正交系，，则＝.
10.设是H e r mi t e矩阵，，则的谱范数为.
11.若有界线性算⼦T:的定义为(T x)(t)=
，则=.
12.设是⾣矩阵，则其谱范数.
13.设是赋范线性空间，设，则按范数收敛于.
14.设是赋范线性空间,,若,都有,则.
四、证明题
1.对任意，定义，则是上的⽅阵范数，，定义，.证明是上与⽅阵范数相容的向量范数.
2.对任意，定义，则是上的⽅阵
范数.对任意且，定义，.证明是上的范数且与⽅阵范数相容.
3.设是上的⽅阵范数，D是阶可逆⽅阵.对任意，定义
，证明是上的⽅阵范数.
4.设是上的⽅阵范数，、是可逆矩阵且，.对任意，定义，证明是上的⽅阵范数.
5.设C[0,1]上的范数为定义算⼦
为.
试证：是有界线性算⼦，并求.
6.设C[0,1]上的范数为定义算⼦为
.
试证：是有界线性算⼦并求.
7.设定义如下：
其中
（1）判断是否为有界线性算⼦；
（2）若为有界线性算⼦，则求的算⼦范数.
8.设为有界数列，，定义映射T如下：
证明：T为X到X的有界线性算⼦，且.
9.设算⼦定义为.证明：为有界线性算⼦.
10.（1）设X和Y是赋范线性空间，是有界线性算⼦，试证：若A
是X中的列紧集，则T(A)是Y中的列紧集；
（2）若是X中的紧集，则仍是X中的紧集.
11.设X和Y是赋范线性空间，是连续映射，试证：若A是X中的列紧集，则T(A)是Y中的列紧集，并且紧空间的有限维⼦空间是紧的.
12.（1）设X是赋范线性空间，是有界线性泛函，试证：若A是X
中的紧集，则是R中的紧集；
（2）若是X中的紧集，则仍是X中的紧集.
13.设是连续的向量值函数，若，试证：T(A)是中的紧集.
14.设为算⼦赋范线性空间，为连续算⼦.证明：当在中稠密时，在中稠密.
15.设且证明：
16.设，为赋范线性空间的两个C a u c h y列.证明必收敛.
17.设是赋范线性空间，证明：任意的，其零空间均为的闭线性⼦空间.
18.设为赋范线性空间的线性⼦空间.证明：也是的线性⼦空间.。