2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷(附答案详解)

2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.(2021·湖南省张家界市·历年真题)−1
3
的绝对值是()
A. 1
3B. −1
3
C. 3
D. −3
2.(2021·内蒙古自治区锡林郭勒盟·模拟题)如图是由5个完全相同的
小正方体组成的立体图形，它的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
3.(2020·新疆维吾尔自治区·单元测试)下列运算正确的是()
A. a2⋅a3=a6
B. a8÷a4=a2
C. 5a−3a=2a
D. (−ab2)2=−a2b4
4.(2021·福建省三明市·单元测试)一组数据1，4，3，1，7，5的众数是()
A. 1
B. 2
C. 2.5
D. 3.5
5.(2021·福建省三明市·单元测试)一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球
除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是()
A. 1
6B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
6.(2021·贵州省贵阳市·单元测试)不等式组{3+x>1
2x−3≤1的整数解的个数是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7. (2020·新疆维吾尔自治区·单元测试)我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，
为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米．根据题意，所列方程组正确的是( )
A. {x =y −2
2x +3y =400 B. {x =y −2
2x +3(x +y)=400−50 C. {x =y +2
2x +3y =400−50
D. {x =y +2
2x +3(x +y)=400−50
8. (2021·山东省淄博市·月考试卷)一个零件的形状如图
所示，
AB//DE ，AD//BC ，∠CBD =60°，∠BDE =40°，则∠A 的度数是( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
9. (2021·福建省三明市·单元测试)如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =k
x (x >
0)的图象上，点E(1,0)和点F(0,1)在AB 边上，AE =EF ，连接DF ，DF//x 轴，则k 的值为( )
A. 2√2
B. 3
C. 4
D. 4√2
10. (2021·湖南省·单元测试)如图，二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象的对称轴是
直线x =1，则以下四个结论中：①abc >0，②2a +b =0，③4a +b 2<4ac ，④3a +c <0.正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.(2020·全国·历年真题)伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网
络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为______．
12.(2021·四川省眉山市·模拟题)分解因式：ab2−9a=______．
13.(2020·辽宁省·历年真题)甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们
的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲2=6.67，s乙2=2.50，则这6次比赛成绩比较稳定的是______.(填“甲”或“乙”)
14.(2020·江苏省苏州市·期中考试)关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是______．
15.(2021·浙江省·单元测试)如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=9，以A为圆
心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N.分别以M，N为圆心，MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC 以大于1
2
于点D，点F在AC边上，AF=AB，连接DF，则△CDF的周长为______．
16.(2021·安徽省芜湖市·单元测试)如图，以AB为边，在AB
的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，
FC，则∠EFA的度数是______．
17. (2020·全国·历年真题)一张菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，高AE 等于边长的一半，
将菱形纸片沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，直线MN 交直线CD 于点F ，则DF 的长为______cm ．
18. (2021·重庆市·期末考试)如图，∠MON =45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，
正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3交A 2B 2于点D 1，连接A 2B 4交A 3B 3于点D 2，…，连接B 1D 1交AB 2于点E ，连接B 2D 2交A 1B 3于点E 1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B 1DE 的面积之和为S 1，△A 1C 1D 1与△B 2D 1E 1的面积之和为S 2，△A 2C 2D 2与△B 3D 2E 2的面积之和为S 3，…，若AB =2，则S n 等于______.(用含有正整数n 的式子表示)
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
19. (2021·陕西省西安市·模拟题)先化简，再求值：(x −1−
x 2x+1
)÷
x
x 2+2x+1
，其中x =3．
20.(2021·安徽省·单元测试)某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，
要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______人；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
(3)通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获
奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
21.(2021·广东省·其他类型)某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，
用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．
(1)求A，B两种书架的单价各是多少元？
(2)学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多
可以购买多少个A种书架？
22.(2021·河北省石家庄市·模拟题)如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水
面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB 垂直于桥面．(点A，B，C，M在同一平面内)
(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM；(结果保留根号)
(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)
(参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，√3≈1.73)
23.(2021·全国·模拟题)小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本
10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x(元)121416
每周的销售量y(本)500400300
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为
整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所
获利润最大，最大利润是多少元？
24.(2021·山东省临沂市·期末考试)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB=
BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA=∠ACD．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若AD=6，CD=8，求BD的长．
25.(2020·河南省洛阳市·月考试卷)在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC=∠BEC=
90°，BC<CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．
(1)如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数
量关系；
(2)如图2，当点B旋转到AC边上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证
明过程，若不成立，请说明理由；
(3)若BC=4，CD=2√6，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB=60°时，
请直接写出线段OD的长．
x+c(a≠0)与x轴相交于点26.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，抛物线y=ax2+9
4
A(−1,0)和点B，与y轴相交于点C(0,3)，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB=2∠ABC，求点D的坐标；
)，点M在抛物线上，点N在直线BC上．当
(3)在(2)的条件下，点F的坐标为(0,7
2
以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
答案和解析1.【答案】A
【知识点】绝对值
【解析】解：|−1
3|=1
3
．
故选：A．
依据绝对值的性质求解即可．
本题主要考查的是绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
2.【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．
故选：B．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从上面看得到的图形是俯视图．
3.【答案】C
【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：(A)原式=a5，故A错误．
(B)原式=a4，故B错误．
(D)原式=a4b2，故D错误．
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4.【答案】A
【知识点】众数
【解析】解：本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本组数据的众数是1．故选：A．
众数是指一组数据中出现次数最多的数据；据此即可求得正确答案．
主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组
数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
5.【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】解：根据题意可得：袋中有4个红球、2个白球，共6个， 从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是4
6=2
3． 故选：D ．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的整数解 【解析】解：解不等式3+x >1，得：x >−2， 解不等式2x −3≤1，得：x ≤2， 则不等式组的解集为−2<x ≤2，
所以不等式组的整数解有−1、0、1、2这4个， 故选：C ．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】解：由题意可得， {x =y +22x +3(x +y)=400−50， 故选：D ．
根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工2米，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵AB//DE，AD//BC，
∴∠ABD=∠BDE，∠ADB=∠CBD，
∵∠CBD=60°，∠BDE=40°，
∴∠ADB=60°，∠ABD=40°，
∴∠A=180°−∠ADB−∠ABD=80°，
故选：B．
根据平行线的性质，可以得到∠ADB=60°和∠ABD的度数，再根据三角形内角和，即可得到∠A的度数．
本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质
【解析】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，
∵DF//x轴，
∴得矩形OFDH，
∴DF=OH，DH=OF，
∵E(1,0)和点F(0,1)，
∴OE=OF=1，∠OEF=45，
∴AE=EF=√2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵∠AEG=∠OEF=45°，
∴AG=AE=√2，
∴EG=2，
∵DH=OF=1，
∠DHG=90°，∠DGH=∠AGE=45°，
∴GH=DH=1，
∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4，
∴D(4,1)，
(x>0)的图象上，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=k
x
∵k=4．
则k的值为4．
故选：C．
过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上，AE=EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数图象和性质．
10.【答案】B
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系
【解析】解：①根据抛物线开口向下可知：
a<0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b>0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c>0，
所以abc<0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x=1，
=1，
即−b
2a
所以b=−2a，
所以b+2a=0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴有2个交点，
所以Δ>0，
即b2−4ac>0，
所以b2−4ac+4a>4a，
所以4a+b2>4ac+4a，
所以③错误；
④当x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
因为b=−2a，
所以3a+c<0，
所以④正确．
所以正确的个数是②④2个．
故选：B．
①根据抛物线开口向下可得a<0，对称轴在y轴右侧，得b>0，抛物线与y轴正半轴相交，得c>0，进而即可判断；
=1，可得b=−2a，进而可以判断；
②根据抛物线对称轴是直线x=1，即−b
2a
③根据抛物线与x轴有2个交点，可得Δ>0，即b2−4ac>0，进而可以判断；
④当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，根据b=−2a，可得3a+c<0，即可判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．11.【答案】4.5×108
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．
故答案为：4.5×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12.【答案】a(b +3)(b −3)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用、因式分解-运用公式法 【解析】解：原式=a(b 2−9) =a(b +3)(b −3)， 故答案为：a(b +3)(b −3)．
根据提公因式，平方差公式，可得答案．
本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
13.【答案】乙
【知识点】方差
【解析】解：∵s 甲2=6.67，s 乙2
=2.50， ∴s 甲2=>s 乙2，
∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
14.【答案】k >−1
【知识点】根的判别式
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2−2x −k =0有两个不相等的实数根， ∴△=(−2)2+4k >0， 解得k >−1． 故答案为：k >−1．
根据判别式的意义得到△=(−2)2+4k >0，然后解不等式即可．
此题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2−4ac ：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
15.【答案】12
【知识点】作一条线段等于已知线段
【解析】解：∵AB=5，AC=8，AF=AB，∴FC=AC−AF=8−5=3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AFD中
{AB=AF
∠BAD=∠FAD AD=AD
，
∴△ABD≌△AFD(SAS)，
∴BD=DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC=BD+DC+FC=BC+FC=9+3=12．
故答案为：12．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DF，即可得出答案．此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
16.【答案】66°
【知识点】正多边形与圆的关系、多边形内角与外角、等边三角形的性质
【解析】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB=(5−2)×180°
5
=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB=60°，
∴∠EAF=108°−60°=48°，
∵AE=AF，
∴∠AE=∠AFE=1
2
×(180°−48°)=66°，
故答案为：66°．
根据正五边形和电视背景下的性质得到∠EAF=108°−60°=48°，根据等腰三角形的
性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正五边形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【知识点】菱形的性质、翻折变换(折叠问题)【解析】解：①根据题意画出如图1：
∵菱形纸片ABCD的边长为6cm，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∵高AE等于边长的一半，
∴AE=3，
∵sin∠B=AE
AB =1
2
，
∴∠B=30°，
将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，∴BH=AH=3，
∴BG=BH
cos30∘
=2√3，
∴CG=BC−BG=6−2√3，
∵AB//CD，
∴∠GCF=∠B=30°，
∴CF=CG⋅cos30°=(6−2√3)×√3
2
=3√3−3，∴DF=DC+CF=6+3√3−3=(3√3+3)cm；
②如图2，BE=AE=3，
同理可得DF=3√3−3．
综上所述：则DF的长为(3√3+3)或(3√3−3)cm．
根据题意分两种情况：①如图1：根据菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，可得菱形的一个内角为30°，根据折叠可得BH=AH=3，再根据特殊角三角函数即可求出CF的长，进而可得DF的长；如图2，将如图1中的点A和点B交换一下位置，同理即可求出DF的长就是如图1中的CF的长．
本题考查了翻折变换、菱形的性质，解决本题的关键是分两种情况分类讨论，进行计算．18.【答案】14
9
×4n−1
【知识点】列代数式、三角形的面积、图形规律问题
【解析】解：设△ADC的面积为S，
由题意，AC//B1B2，AC=AB=2，B1B2=4，
∴△ACD∽△B2B1D，
∴S△ADC
S△B1B2D =(AC
B1B2
)2=1
4
，
∴S△B
1B2D
=4S，
∵CD
DB1=AC
B1B2
=1
2
，CB1=2，
∴DB1=4
3
，
同法D1B2=8
3
，∵DB1//D1B2，
∴DE
EB2=DB1
D1B2
=1
2
，
∴S△DB
1E =4S
3
，
∴S1=S+4S
3=7S
3
，
∵△A1C1D1∽△ACD，
∴S△A1C1D1
S△ACD =(A1C1
AC
)2=1
4
，
∴S△A
1C1D1
=4S，
同法可得，S△D
1B1E1=16S
3
，
∴S2=4S+16S
3=28S
3
=7S
3
×4，
…
S n=7S
3
×4n−1，
∵S =12×2×23=2
3， ∴S n =
149
×4n−1．
故答案为：14
9×4n−1．
设△ADC 的面积为S ，利用相似三角形的性质求出S 1，S 2，…S n 与S 的关系即可解决问题．
本题考查正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(x −1−x 2
x+1)÷x
x 2
+2x+1
=[(x −1)(x +1)x +1−x 2x +1]⋅
(x +1)2
x =x 2−1−x 2x +1⋅
(x +1)2
x
=−
x+1x
，
当x =3时，原式=−
3+13
=−4
3．
【知识点】分式的化简求值
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】60
【知识点】扇形统计图、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法) 【解析】解：(1)本次被调查的学生有：9÷15%=60(人)； 故答案为：60；
(2)航模的人数有：60−9−15−12=24(人)， 补全条形统计图如图：
“航模”所对应的圆心角的度数是：360°×24
60
=144°；
(3)设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：
男1男2女1女2男1(男2，男1)(女1，男1)(女2，男1)
男2(男1，男2)(女1，男2)(女2，男2)
女1(男1，女1)(男2，女1)(女2，女1)
女2(男1，女2)(男2，女2)(女1，女2)
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好是1名男生和1名女生的情况有8种．
则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是8
12=2
3
．
(1)根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；
(2)用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用360°乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；(3)根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设B种书架的单价为x元，根据题意，得600
x+20=480
x
．
解得x=80．
经检验：x=80是原分式方程的解．
∴x+20=100．
答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．
(2)设准备购买m 个A 种书架，根据题意，得100m +80(15−m)≤1400． 解得m ≤10．
答：最多可购买10个A 种书架．
【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【解析】(1)设B 种书架的单价为x 元，则A 种书架的单价为(x +20)元，根据数量=总价÷单价结合用600元购买A 种书架的个数与用480元购买B 种书架的个数相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设准备购买m 个A 种书架，则购买B 种书架(15−m)个，根据题意列出不等式并解答．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AB 垂直于桥面，
∴∠AMC =∠BMC =90°，
在Rt △AMC 中，CM =60，∠ACM =30°，
tan∠ACM =AM CM ，
∴AM =CM ⋅tan∠ACM =60×√33=20√3(米)，
答：大桥主架在桥面以上的高度AM 为20√3米；
(2)在Rt △BMC 中，CM =60，∠BCM =14°，
tan∠BCM =BM CM ，
∴MB =CM ⋅tan∠BCM ≈60×0.25=15，
∴AB =AM +MB =15+20√3≈50(米)
答：大桥主架在水面以上的高度AB 约为50米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】(1)根据正切的定义求出AM ；
(2)根据正切的定义求出BM ，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式是y =kx +b(k ≠0)，
{12k +b =50014k +b =400，得{k =−50b =1100
，
即y与x之间的函数关系式为y=−50x+1100；
(2)由题意可得，
w=(x−10)y=(x−10)(−50x+1100)=−50(x−16)2+1800，
∵a=−50<0
∴w有最大值
∴当x<16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x=15时，w有最大值，
∴w=−50(15−16)2+1800=1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
【知识点】二次函数的应用
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
(2)根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDA=∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．
(2)解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB=∠AFD=90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵在Rt△ACD中，AD=6，CD=8，
∴AC2=AD2+CD2=62+82=100，
∴AC=10，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵sin∠ACB=AB
，
AC
∴AB=sin45°⋅AC=5√2，
∵∠ADB=∠ACB=45°，
∵在Rt△ADF中，AD=6，
∵sin∠ADF=AF
，
AD
∴AF=sin45°⋅AD=3√2，
∴DF=AF=3√2，
∵在Rt△ABF中，
∴BF2=AB2−AF2=(5√2)2−(3√2)2=32，∴BF=4√2，
∴BD=BF+DF=7√2．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．∴∠DBH=90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABD=90°−∠DBC∠CBH=90°−∠DBC，
∴∠ABD=∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠BCH=180°，
∴∠BAD=∠BCH，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBH(ASA)，
∴AD=CH，BD=BH，
∵AD=6，CD=8，
∴DH=CD+CH=14，
在Rt△BDH中，∵BD2=DH2−BH2=98，
∴BD=7√2．
【知识点】圆内接四边形的性质、切线的判定与性质、圆周角定理
【解析】(1)连接OD.想办法证明OD⊥DE即可．
(2)解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB=∠AFD=90°，想办法求出BF，DF 即可．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H.证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH即可．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)DO⊥EO，DO=EO；
理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
AB，
∴OE=OA=1
2
∴∠BOE=2∠BAE，
在Rt△ABD中，点O是AB的中点，
AB，
∴OD=OA=1
2
∴∠DOE=2∠BAD，
∴OD=OE，
∵等腰△ADC，且∠ADC=90°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DOE=∠BOE+DOE=2∠BAE+2∠BAD=2(∠BAE+∠DAE)=2∠DAC=90°，∴OD⊥OE；
(2)仍然成立，
理由：如图1，延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，
DE，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵∠AOM=∠BOE，
∴△AOM≌△BOE(SAS)，
∴∠MAO=∠EBO，MA=EB，
∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC=∠CEB=90°，∴∠CAD=∠ACD=∠EBC=∠BCE=45°，
∵∠OBE=180°−∠EBC=135°，
∴∠MAO=135°，
∴∠MAD=∠MAO−∠DAC=90°，
∵∠DCE=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠MAD=∠DCE，
∵MA=EB，EB=EC，
∴MA=EC，
∵AD=DC，
∴△MAD≌△ECD，
∴MD=ED，∠ADM=∠CDE，
∵∠CDE+∠ADE=90°，
∴∠ADM+∠ADE=90°，
∴∠MDE=90°，
∵MO=EO，MD=DE，
∴OD=1
ME，OD⊥ME，
2
ME，
∵OE=1
2
∴OD=OE，OD⊥OE；
(3)①当点B在AC左侧时，如图3，
延长ED到点M，使得OM=OE，连接AM，DM，DE，
同(2)的方法得，△OBE≌△OAM(SAS)，
∴∠OBE=∠OAM，OM=OE，BE=AM，
∵BE=CE，
∴AM=CE，
在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+
∠OBE+∠BAD=540°，
∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DCE=540°−90°−90°−∠OBE−∠BAD=360°−∠OBE=360°−∠OAM−
∠BAD，
∵∠DAM+∠OAM+∠BAD=360°，
∴∠DAM=360°−∠OAM−∠BAD，
∴∠DAM=∠DCE，
∵AD=CD，
∴△DAM≌△DCE(SAS)，
∴DM=DE，∠ADM=∠CDE，
∴∠EDM=∠ADM+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∵OM=OE，
ME，∠DOE=90°，
∴OD=OE=1
2
BC=2√2，
在Rt△BCE中，CE=√2
2
过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，
在Rt△CHE中，∠ECH=180°−∠ACD−∠ACB−∠BCE=180°−45°−60°−45°= 30°，
CE=√2，
∴EH=1
2
根据勾股定理得，CH=√3EH=√6，
∴DH=CD+CH=3√6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=√EH2+DH2=2√14，
DE=2√7，
∴OD=√2
2
②当点B在AC右侧时，如图4，
同①的方法得，OD=OE，∠DOE=90°，
连接DE，过点E作EH⊥CD于H，
在Rt△EHC中，∠ECH=30°，
∴EH=1
CE=√2，
2
根据勾股定理得，CH=√6，
∴DH=CD−CH=√6，
在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE=2√2，
∴OD=√2
2
DE=2，
即：线段OD的长为2或2√7．
【知识点】几何变换综合
【解析】(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE=OA=1
2
AB，进而
得出∠BOE=2∠BAE，同理得出OD=OA=1
2
AB，∠DOE=2∠BAD，即可得出结论；
(2)先判断出△AOM≌△BOE(SAS)，得出∠MAO=∠EBO，MA=EB，再判断出∠MAD=∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；
(3)分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似(2)的方法判断出OD=OE，即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出∠DAM=∠DCE是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+9
4
x+c经过点A(−1,0)，C(0,3)，
∴{a−9
4
+c=0
c=3，解得：{
a=−3
4
c=3
，
∴抛物线的解析式为：y=−3
4x2+9
4
x+3；
(2)如图1，过点C作CE//x轴交抛物线于点E，则∠ECB=∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC=90°，
∵∠DCB=∠DCH+∠ECB=2∠ABC，
∴∠DCH=∠ABC，
∵∠DHC=∠COB=90°，
∴△DCH∽△CBO，
∴DH
CO =CH
BO
，
设点D的横坐标为t，则D(t,−3
4t2+9
4
t+3)，
∵C(0,3)，
∴DH=−3
4t2+9
4
t，
∵点B 是y =−34x 2+94x +3与x 轴的交点，
∴−34x 2+94x +3=0， 解得x 1=4，x 2=−1，
∴B 的坐标为(4,0)，
∴OB =4，
∴−34t 2+94t
3=t 4
， 解得t 1=0(舍去)，t 2=2，
∴点D 的纵坐标为：−34t 2+94t +3=92，
则点D 坐标为(2,92)；
(3)设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，
则{4k +b =0b =3，解得：{k =−34b =3
， ∴直线BC 的解析式为：y =−34x +3，
设N(m,−34m +3)，
分两种情况：
①如图2，以DF 为边，N 在x 轴的上方时，四边形DFNM 是平行四边形，
∵D(2,92)，F(0,7
2)，
∴M(m +2,−34m +4)， 代入抛物线的解析式得：−34(m +2)2+94(m +2)+3=−34m +4，
解得：m =±√63
， ∴N(√63,3−√64)或(−√63,3+√64
)； ②如图3，以DF 为边，N 在x 轴的下方时，四边形DFMN 是平行四边形，
同理得：M(m−2,−3
4
m+2)，
代入抛物线的解析式得：−3
4(m−2)2+9
4
(m−2)+3=−3
4
m+2，
解得：m=4±√66
3
，
∴N(4+√66
3,−√66
4
)或(4−√66
3
,√66
4
)；
综上，点N的坐标分别为：(√6
3,3−√6
4
)或(−√6
3
,3+√6
4
)或(4+√66
3
,−√66
4
)或(4−√66
3
,√66
4
).
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)把点A(−1,0)，C(0,3)代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；
(2)如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则DH
CO =CH
BO
，设点D的
横坐标为t，则D(t,−3
4t2+9
4
t+3)，列关于t的方程解出可得结论；
(3)利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=−3
4x+3，设N(m,−3
4
m+3)，当以D，
F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．
本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)根据点A、C的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用相似三角形可解决问题；(3)分N在x轴的上方和下方两种情况，表示M和N两点的坐标，确定关于m的一元二次方程．。