《火线100天》2015中考数学复习第18讲锐角三角函数

第18讲锐角三角函数
1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶
2;含45°角的三角板三边比为1∶1
2.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.
命题点1 锐角三角函数的意义
例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )
A. 3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.
1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=3
5
,则cosB的值是( )
A. 4
5
B.
3
5
C.
3
4
D.
4
3
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )
A. 4
5
B.
3
5
C.
3
4
D.
4
3
3.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .
命题点2 特殊角的三角函数值
例2 (2014·舟山)+(1
2
)-2-4cos45°.
【解答】
方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.
1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若,cosB=1
2
,则∠C= .
2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°( )
命题点3 解直角三角形
例 3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则AB的长为 .
【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.
方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.
1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=1
3
，
则BD的长为 .
2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=3 2 ,
求sinB+cosB的值.
3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 1
3
，AD=1.求BC
的长.
命题点4 解直角三角形的应用
例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后
结果精确到0.1
【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.
【解答】
方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.
1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小
山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，
BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？ 1.414，精确到1米)
2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)
3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.
1.(2013·天津)tan60°的值等于( )
D.2
2.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )
A. 3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
3.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )
4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=1
2
,则BC的长是( )
5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=3
5
，cosA=
4
5
，tanA=
3
4
，则BC的
长为( )
A.6
B.7.5
C.8
D.12.5
6.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
5
13
，则tanB的值为( )
A. 12
13
B.
5
12
C.
13
12
D.
12
5
7.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .
8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=
2；②cosB=
1
2
；
③tanA=
3
；④，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号) 9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示).
10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为 5 m，则大树的高度为m(结果保留根号).
11.(2014·内江)计算：2tan60°1
3
)-1.
12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3
4
，
求sinC的值.
13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)
14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时
观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？(参考数据：sin36.9°≈
35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125
)
15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i=1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.(精确到0.1米，参考数
1.414≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )
B. 12
C. 13
17.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )
A. 2
3
B.
3
4
C.
4
3
D.
3
2
18.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= ;
(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B= .
图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.
(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=
5
13
,求sinB.
19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.
(参考数据：sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？
参考答案
各个击破
例1D
题组训练 1.B 2.B 3.1 2
例2原式×
2题组训练 1.60° 2.B
例3 3
题组训练 1.6
2.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝3
2
，
∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，
在Rt△BCD中，BC10，
∴sinB＝CD
BC
＝
3
5
，cosB＝
BD
BC
=
4
5
.
∴sinB＋cosB＝7
5
.
3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=1
3
，AD=1，
∴AB=3，∴
∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.
∴
例4 过B 点作BE ⊥DC 于E 点，DC 的延长线交地面于F.
∵BA ⊥AF ，DF ⊥AF ，
∴四边形ABEF 为矩形，BE=2.7.
在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，tan ∠CBE=
CE BE , ∴CE=BE ·tan30°=9310；
在Rt △BDE 中，∠DBE ＝45°，BE=2.7,
∴DE=2.7，DC=2.7-≈1.2. 答：塑像CD 的高度约为1.2米.
题组训练 1.∵CD ⊥AC ，∴∠ACD=90°.
∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,
∴CB=CD.
在Rt △DCB 中：CD 2+BC 2=BD 2，
∴2CD 2 =8002，566(米).
答：直线l 上距离D 点566米的C 处开挖.
2.过C 作CD ⊥AB 于D ，
设CD=h(海里),两船从A 、B 到C 的时间分别是t 甲、t 乙(小时). 则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.
在Rt △ACD 中，cos59°=
CD AC =h AC ≈0.52, 则AC=0.52
h . 在Rt △BCD 中，sin46°=
CD BC =h BC ≈0.72, 则BC=0.72
h . ∴t 甲=20AC =0.5220h ⨯=10.4
h , t 乙=18BC =0.7218h ⨯=12.96
h .
∵12.96>10.4,
∴t 甲>t 乙，即乙船先到达C 处.
3.过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离.
在Rt △ACD 中，∠ACD=45°.
设AD=x,则CD=AD=x.
在Rt △ABD 中，∠ABD=60°.
由tan ∠ABD=AD BD 得tan60°=x BD
,
∴BD=60x tan ︒x . 又BC=4,即BD+CD=4,
∴3
x +x=4,解得
即小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为)公里. 整合集训
1.C
2.C
3.B
4.A
5.A
6.D
7.
12 8.②③④ 9.7tan α 10.)
11.原式＝+3＝1.
12.∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD=
BD AD . ∵tan ∠BAD=34
，AD=12，∴BD=9. ∴CD=BC-BD=14-9=5.
∴∴sinC=AD AC =1213
. 13.过点B 作BE ⊥CD 于E.
在Rt △DEB 中，∠DEB=90°,
BE=AC=22米,
tan32°=DE BE
, ∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64(米).
又∵EC ＝AB ＝1.5米,
∴CD=CE+ED=15. 14≈15.1(米).
答：旗杆CD 的高度为15.1米.
14.过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC 为x 海里.
在Rt △APC 中，∵tan ∠A=
PC AC ， ∴AC=67.5PC tan ︒=512
x . 在Rt △PCB 中，∵tan ∠B=
PC BC ， ∴BC=36.9x tan ︒=43
x . ∵AC ＋BC=AB=21×5， ∴
512x +43
x =21×5，解得x=60. ∵sin ∠B=PC PB
， ∴PB=PC sin B ∠=6036.9sin ︒=60×53=100(海里). ∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里.
15.如图，分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，
由题意知BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°， 在Rt △ABE 中，i=
BE AE =12.5，即20AE =12.5， ∴AE=50.
在Rt △CDF 中，tan30°=CF DF ，即20DF ，
∴≈34.6.
∴AD=AE+EF+FD=50+6+34.6=90.6(米）.
16.D 17.C
18.1;1;1.
(1)1.
(2)∵sinA=a c
，sinB=b c ，a 2+b 2=c 2. ∴sin 2
A+sin 2B=(a c )2+(b c )2=222a b c +=1. (3)∵sinA=513
，sin 2A+sin 2B=1,
∴ =1213. 19.(1)能看到.
依题意得∠AGC=53°，∠GFD=∠GCA=37°， ∴DG=DFtan 37°≈3米=DM.
因此这只猫头鹰能看到这只老鼠.
(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），
∴CG=AG ÷sin 37°≈5.7÷0.60=9.5(米). 因此猫头鹰至少要飞约9.5米.。