浙教版八年级数学上册知识点总结

三角形
1、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

注：三角形具有稳定性。

2、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：
①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

3、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

4、三角形的面积
三角形的面积
注：同底等高的三角形面积相等。

三角形中的主要线段
1、三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。

并且对这三条线段必须明确三点：
（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。

而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。

（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。

在以后我们可以给出具体证明。

今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。

全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（4）角角边定理：有两个角和其中一个角的对应边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
3、全等变换
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

4.线段中垂线和角平分线的性质，基本尺规作图：作角的平分线，线段的中垂线，作一个角等于已知
角，按给定条件作三角形。

第二章特殊三角形
特殊三角形的定义、性质及判定
1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.
（2）等边三角形的性质：
①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；
②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.
（3）等边三角形的判定
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；
④三个角都相等的三角形是等边三角形.
（4）两个重要结论
①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.
两个重要结论的数学解释：
已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则：
①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；
②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.
直角三角形
1. 认识直角三角形。

学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。

用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。

会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。

能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：
1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

勾股定理及逆定理
（一）勾股定理及其证明
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）
证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.
（1（2）已知一边求另两边关系； （3
）证明线段的平方关系； （4
. （三）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c
.
1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；
2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证
明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
1．先找出最大边（如c ）；
2
.
ABC 是直角三角形.
ABC 不是直角三角形.
注意：（1）△ABC
C=90A=
90B=90°.
（2C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.
C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形.
（四）勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.
第三章一元一次不等式
一：不等式的概念
1. 不等式：
用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
要点诠释：
(1) 不等号的类型:
①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；
②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；
(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、
“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：
由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

二：不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

要点诠释：
(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；
(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；
(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，
那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为
“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；
(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

三：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：
(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式(单项式或多项多)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；
不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分
母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用。

（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）
1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。

（性质
2、3要倍加小心）
2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为
或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；
（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。

但要注意，去
分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等
号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
变形名称具体做法注意事项
去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数（1）不含分母的项不能漏乘
（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。

去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均可（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号
移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通常
是左边），不含未知数的项移到不等式的另
移项（过桥）变号
一边
合并同类项
把不等式两边的同类项分别合并，把不等式
化为或的形式合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。

系数化1 在不等式两边同除以未知数的系数，若
且，则不等式的解集为
；若且，则不等式的
解集为；若且，则不
等式的解集为；若且，
则不等式的解集为；
（1）分子、分母不能颠倒
（2）不等号改不改变由系数的正负
性决定。

（3）计算顺序：先算数值后定符号
4
定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式
的解集，最后解决实际问题。

第四章图形与坐标
一、确定位置的方法：
确定物体在平面上的位置有两种常用的方法:
1、有序数对法：用一对有序实数确定物体的位置。

这种确定方法要注意有序，要规定将什么写在前，什么写在后。

2、方向、距离法：用方向和距离确定物体的位置（或称方位）。

这种确定方法要注意参照物的选择，语言表达要准确、清楚。

二、平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

三、点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

四、在直角坐标系中如何根据点的坐标：找出这个点，方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。

五、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：
1、以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；
2、以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；
3、以已知线段中点为原点；
4、以两直线交点为原点；
5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

六、各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：
第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）
x轴上的点纵坐标为0，表示为（x，0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0，y）
七、图形“纵横向伸缩”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在
横向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。

2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在
纵向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。

八、图形“纵横向位置”的变化规律:
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位置向
右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位。

2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位置向
上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|个单位。

平移变换的坐标变化规律是：左正右负，上正下负
九、图形“倒转与对称”的变化规律:
1、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。

（关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数）
2、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。

（关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数）
3、将图形上各个点的横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于原点对称。

（关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）
十、图形“扩大与缩小”的变化规律:
将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n倍；②当0<n<1时，对应线段大小缩小到原来的n倍。

第五章一次函数
一、函数
1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．
4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．
用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．
（1）要使函数的表达式有意义：○1整式（多项式和单项式）时为全体实数；○2分式时，让分母≠0；○3含二次根号时，让被开方数≠0 。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．
7.描点法画函数图象的一般步骤如下：
Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．
8.判断y是不是x的函数的题型
○1给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

○2给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x 的函数。

二、正比例函数
1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，•其中k叫做比例
系数。

注意点○1自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；○2比例系数k≠0；○3不含
有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2.正比例函数图像：一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，•我们
称它为直线y=kx．
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

画正比例函数的最简单方法：
（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k ）；
（2）在坐标平面内描出点（0，0
）与点（1，k ）；
（3）过点（0，0）与点（1，k ）做一条直线．
这条直线就是正比例函数y=kx （k ≠0）的图象。

三、一次函数
1.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b
即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点○1自变量x 的次数是一次
幂，且只含有x 的一次项；○2比例系数k ≠0；○3常数项可有可无。

2.一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b ，它可以看作由直线y=kx 平移│b │个单位
长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．
3.系数k 的意义：k 表征直线的倾斜程度，k 值相同的直线相互平行，k 不同的直线相交。

系数b 的意义：b 是直线与y 轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大。

当k<0时，直线y=kx+b 从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。

直线y=kx+b 与y 轴的交点是点（0，b ） 与x 轴的交点是点（0） 4.一次函数图像和解析式的系数之间的关系
5.
画一次函数图像的最简单方法：
（1）先选取两点，通常选出点（0，b ）与点（
0）； （2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k ）；
（3）过点（0，b ）与点（
0）做一条直线．
这条直线就是正比例函数y=kx （k ≠0）的图象．
6. 待定系数法确定一次函数解析式：根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。

步
骤：○1写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，•因此叫做待定系数）．○2•把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．（有几个待定系数，就要有几个方程）○3解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．
7.解析式与图像上点相互求解的题型
○1求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。

○2求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）•的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值y=0时，•求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x•轴交点的横坐标的值．
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围．
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。

六、一次函数与二元一次方程（组）
1.解二元一次方程组
358
21
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
可以看作求两个一次函数y=-
3
5
x+
8
5
与y=2x-1图象的交点坐标。

2.求两条直线的交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。