九年级数学 二元二次方程组 人教版

初三数学二元二次方程组人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 二元二次方程组
二. 学习目标：
1. 弄清二元二次方程组的概念及类型
（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。

其一般式：ax bxy cy dx ey f 2
2
0+++++= （a ，b ，c 不同为0）
（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”
一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”
2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。

3. 熟练求解二元二次方程组的步骤
4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。

5. 对于形如x y a xy b
+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 2
0-+=，达到
消元目的。

三. 重点与难点：
1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。

2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。

【典型例题】
例1. 解方程组26
156022
2
x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩
()()
解：解法1：由()()126
3y x =-
（3）代入（2）
x x x x x x 222
5266260
538720
----=-+=()()
∴==x x 12418
5
，
代入（3）中，y y 12265
==
， ∴原方程组的解是x y x y 112242185
65==⎧⎨⎩==
⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或
∴原方程组可化为262026
30
x y x y x y x y -=-=⎧⎨
⎩-=-=⎧⎨
⎩ ∴原方程的解是x y x y 112242
185
65==⎧⎨
⎩==⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。

两种解法，各有千秋，但都体现了——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。

例2. 解方程（1）x y xy x y x y +==-⎧⎨⎩+=+=⎧⎨
⎩2
11522102
22()()（） 解：（1）解法1：由（1）y x =-2（3）代入（2）得
x x x x x x x x y y x y x y ()215
215035
35353
3
5
53
21212121122-=---=∴=-==-===-∴=-=⎧⎨
⎩==-⎧⎨
⎩，把，代入（）
，原方程组的解
解法2：由韦达定理知x ，y 分别是方程z z 2
2150--=的两实根
∴=-=∴=-=⎧⎨
⎩==-⎧⎨
⎩z z x y x y 12112235
3
5
53
，原方程解是 （2）解法1：由（2）得y x =-23()
把（3）代入（1）x x 22
210+-=()
∴--=∴==-x x x x 21223031
，
把x x 12313==-，代入（），得 y y 1213=-=， ∴原方程组的解是x y x y 1122
311
3==-⎧⎨
⎩=-=⎧⎨
⎩ 解法2：（2）式两边平方
()()()()
()
x y xy +=-=-244413
5
由（2）（5）知x ，y 是方程z z 2230--=的两实根 ∴=-=z z 1213，
∴原方程组解为x y x y 1122
1
3
3
1=-=⎧⎨
⎩==-⎧⎨
⎩ 解法3：（2）式两边平方减去（1），得
26xy =-
()()164--=±得x y 原方程组可化为
()()I x y x y II x y x y +=-=⎧⎨
⎩+=-=-⎧⎨
⎩
2
4
2
4 分别解（I ）（II ）得x y x y 1122
311
3==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨
⎩ 此即为原方程组的解。

点拨：（1）题形如x y a
xy b +==⎧⎨⎩
的方程组，可用代入法，也可根据一元二次方程根系关
系，构造方程来解。

（2）中，对换x ，y ，原方程组不变。

这类方程组叫对称式方程组，解法2与3是这类方程组的常见求解技巧。

例3. 解方程组
（1）x
y x xy y 222
2
15
320+=-+=⎧⎨⎪⎩⎪①
②
（2）x
xy y x
xy y 222
2
340
4410--=++-=⎧⎨⎪⎩⎪①
②
解：（1）由②()()x y x y --=20 ∴-=-=x y x y 020，
原方程组可化为x y x y x y x y 222215
15
20+=-=⎧⎨
⎩+=-=⎧⎨
⎩
分别解这两个方程组，得原方程组解为
x y x y x y x y 11223344302302302302233233
==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-=-⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪==⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨
⎪⎩⎪ （2）由①()()x y x y -+=40
由②()x y +-=2102
，即()()x y x y +++-=21210
于是原方程组可化为以下四个一次方程组
x y x y x y x y x y x y x y x y -=+=⎧⎨
⎩-=+=-⎧⎨
⎩+=+=⎧⎨
⎩+=+=-⎧⎨
⎩
402140210210
21 点拨：（1）中，方程②左边可分解为两个一次因式的积，右边为0，于是方程②可化为两个二元一次方程，再分别与方程①组成一二型方程组，代入法求解。

（2）中两个方程均可分解为两个一次方程时，那么原方程组可化为四个一次方程组求解。

例4. x y xy x y 22521342+=++=⎧⎨⎩
()
()解方程组
解：由（1）()x y xy +-=2
252 设x y u xy v +== 则原方程组可化为u v v u 225234-=+=⎧⎨⎩
∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨
⎩u v u v 1122
10241246 从而得()()I x y xy II x y xy +==⎧⎨⎩+=-=⎧⎨
⎩
102412
46或 解（I ）（II ）得x y x y II 1122466
4
==⎧⎨⎩==⎧⎨
⎩（）无实根 ∴原方程组的解为x y x y 1122466
4
==⎧⎨
⎩==⎧⎨
⎩ 点拨：此例中的方程组，是关于x ，y 的对称方程组，称x y u
xy v
+==⎧⎨⎩为关于x ，y 的基
本对称方程组，通过换元法可将二二型转化为一二型求解。

例5. 解方程()x x x 22210++
-=
分析：仔细观察题目结构特点知()x x x 222010+≥-≥，，非负数和为零只能分别为0。

解：原方程与方程组x x x 22
0110
2+=-=⎧⎨⎪
⎩⎪()()
同解
由（1）x x x x ()+===-100112，，
由（2）x =±1
∴=-
x1是原方程的解
点拨：运用转化思想，把方程转化为方程组是本题的特点，较深刻地反映了知识之间的联系。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. 方程组
x y
x y
22
22
13
5
+=
-=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
的解有_____________组。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若方程组
y x m
y x y
=+
--+=
⎧
⎨
⎩24210
有两组相同的实根，则m=_______________。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 方程组
x y xy
x xy y
2230
11
+=
++=
⎧
⎨
⎩
的解的组数____________。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
4. 方程组
()()
x y x y
x xy y
---=-
++=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
22
32
20
的解的组数（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
5. 和为1，积为-12的两个数是________________。

A. 1与0
B. -3与4
C. 3与-4
D. 2与-1
二. 填空题
6. 若
x y
x y
xy
+=
-=
⎧
⎨
⎩
=
5
5
22
，那么____________。

7. 方程组
x y
xy
+=
=
⎧
⎨
⎩
7
12
的解是________________。

8. 方程组
38
4
22
22
x y
x xy y
-=
+-=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
的解是_______________。

9. 方程组
22320
36910
2
2
xy y x y
y xy x y
---+=
--++=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
的解是_________________。

三. 解答题：求解下列方程组
10.
x y
x y x y
-=
+--+=⎧
⎨
⎩
24560 22
11.
x y
xy
+=
=-⎧
⎨
⎩
5
14
12.
x y
xy x y
220
230
-=
+++=⎧
⎨
⎩()
13.
x y xy
x y x y
22
2
42
56 +=-
-+-=⎧
⎨
⎪
⎩⎪()()
【试题答案】
一. 选择题 1. D
2. B
3. C
4. A
5. B
二. 填空题 6. 6
7. x y x y 1
12234
43
==⎧⎨
⎩==⎧⎨⎩ 8. x y x y 1
1
22
22
2
2
==⎧⎨
⎩=-=-⎧⎨⎩ 9. x y x y 1122101
1
==⎧⎨
⎩==-⎧⎨
⎩
三. 解答题 10. 解：x y x y x y -=+--+=⎧⎨
⎩0
124560
22
2
()
()
由（1）x y =（3）代入（2）
x x x x x x x x x x x x 2222
1224560
3960
320
120
12
+--+=-+=-+=--=∴==()()，
把x x 1212==，分别代入（3）y y 1212==，
∴原方程组的解是x y x y 1122
11
2
2==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩
11. 解：x y xy +==-⎧⎨
⎩5
114
2()()
根据韦达定理，x ，y 是方程z z 2
5140--=的两根 ()()z z +-=270 ∴=-=z z 1227， ∴=-=⎧⎨⎩==-⎧⎨
⎩原方程组的解是x y x y 1111277
2
12. 解：x y xy x y 2201230
2-=+++=⎧⎨
⎩()
()()
由（1）()()x y x y +-=0
原方程组可化为
()()()()I x y xy x y II x y xy x y +=+++=⎧⎨
⎩-=+++=⎧⎨
⎩
230
230 解（I ）（II ）知原方程组的解为
x y x y x y x y 1122334433
33
11
3
3
=-=⎧⎨
⎪⎩⎪==-⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨
⎩=-=-⎧⎨
⎩
13. 解：x y xy
x y x y 22
2
421562+=--+-=⎧⎨⎪⎩⎪()()()() 由（1）x xy y 22
240++-=
()()()()()x y x y x y x y +-++=-+--=220
25602由
()()x y x y ---+=160
原方程组可化为 x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--=⎧⎨
⎩+-=-+=⎧⎨
⎩++=--=⎧⎨
⎩++=-+=⎧⎨
⎩20102060201020
60
分别解得知原方程组的解是
x y x y x y x y 1122334432122
4
12324
2
==⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪=-=⎧⎨
⎩=-=-⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪=-=⎧⎨
⎩。