高数课件第七章微分方程：第八节 常系数非齐次线性微分方程

Pm ( x) e
y*
y1 y1 k x
( i ) x
Pm ( x) e ( i ) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
Qm (cos x i sin x) ~ x k e x Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
y


y1 y1
y*
~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , R m
多项式 .
小 结:
对非齐次方程
~ y p y q y e x Pl ( x) cos x P n ( x) sin x
( p, q 为常数 )
Pm ( x) A,
Be x , y* Bxe x Bx 2 e x
不是特征方程的根 是特征方程的单根 , 是特征方程的重根
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程
y
(n)
p1 y
( n 1)
p n y e Pm ( x)
x
其中： 是常数， Pm ( x) a0 x m a1 x m1 a m 对应齐次方程的特征方程：r n p1 r n 1 p n 0 方程的特解可设为
原方程通解为
y (c1 c 2 x)e
2x
3 2 9 x 3x 4 x 2 e 2 x 2 4
例5 设函数 ( x ) 连续，且满足
( x) e t (t )dt x (t )dt 求 ( x )
x x x 0 0
解
对积分方程两边求导 ( x) e (t )dt
Qm e Qm e x k e x Qm (cos x i sin x)
x e
i x i x
第四步 分析 y 的特点

y

x e
因
y1 y1 k x
y1 y1
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1

x
( x) C1 cos x C2 sin x e / 2
再代入初始条件可得Fra bibliotek1 ( x) (cos x sin x e x ) 2
二、 f ( x) e
分析思路:
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
第一步将 f (x) 转化为
② ③
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
特解: 故
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
k ( i ) x (Qm ( x) 为m 次多项式) y1 x Qm ( x) e ( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x
令 m max n , l , 则
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x
第二步 求如下两方程的特解
( i ) x y p y q y Pm ( x) e
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* x e
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
k x
~ Rm cos x Rm sin x
例6.
的一个特解 .
解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程 r2 1 0 不是特征方程的根, 故设特解为
x e x P ( x ) 形式为 y * e Qm ( x) . m
Q ( x)
(2 p q ) Q ( x) Pm ( x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
' x 0
再求导得 '' ( x) ( x) e x 初始条件为 (0) 1, ' (0) 1 特征方程为 r 2 1 0 , 特征根为 r i , ( x) C1 cos x C2 sin x 对应齐次方程的通解： 由于 f ( x) e x , 1 不是特征根，Pm ( x) 1, 故设特解为 * ( x) ae x , 代入原方程并化简得 1 1 x x x * a , ( x) e , 2ae e , 2 2 x
f ( x) e
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 i x i x i x i x x e e e e ~ f ( x) e Pl ( x) Pn ( x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2
f ( x) Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e
( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解
( i ) x y p y q y Pm ( x) e
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数 )
解: 本题 0 , 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为 原方程通解为
y C1 C2 e x C3e 2 x
代入方程得
故
由初始条件得
C2 2C3 1 2
解得
C1 3 4 C2 1 C 1 3 4
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为 比较系数, 得 代入方程 :
1 b0 1 , b1 3
于是所求特解为
例2. 的通解. 解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为
* y 设 y 4 y 4 y 6 x 的特解为 1
设
y 4 y 4 y 8e
*
2x
* y 的特解为 2
* 则所求特解为 y y y2 * 1
* y1 Ax 2 Bx C
* y2 Dx 2 e 2 x （重根）
代入方程, 得2 A 8 Ax 4 B 4 Ax 2 4 Bx 4c 6 x 2
根据解的结构定理 , 其通解为
①
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
问题: 如何求方程①的一个特解 y* ？ 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
例如：求非齐次方程 y '' y 5 x 的通解 解：对应的齐次方程为 齐次方程的通解为
则 Q( x) 是 m 次多项式, 故特解形式为
y* x 2Qm ( x) e x
小结 一.
f ( x) e Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x) m m 1 其中： 是常数， Pm ( x) a0 x a1 x a m
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入方程 y p y q y f ( x) , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 2 x ( 2 p ) Q ( x ) ( p q ) Q ( x) ] e [ Q ( x ) Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解
0 不是根 k x k x e Qm ( x) , 1 是单根, s 是 s 重根
y*
其中： Qm ( x)
b0 x b1 x
m
m 1
bm
b0 , b1 ,, bm 可用待定系数法确定。
例1.
的一个特解.
Pm ( x)ex
Pm ( x) 3x 1, 0
y ' ' y 0
x x
Y c1 e c 2 e
通过观察和直接验算可知
y * 5 x
x
是原方程的一个特解。 所以方程的通解为：
y Y y * c1 e c2 e 5 x
x
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x) 为待定多项式 ,
y* x ( b0 x b1 ) e 2 x
1 b0 , b1 1 2
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
2x 因此特解为 y* x ( 1 x 1) e . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解定解问题 y (0) y (0) y (0) 0
等式两边取共轭 :
( i ) x y1 p y1 q y1 Pm ( x) e 为方程 ③ 的特解 . 这说明 y1
第三步 求原方程的特解 ~ x 原方程 y p y q y e Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
于是所求解为
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2
2 2x 例4 求微分方程y 4 y 4 y 6 x 8e 的通解
解
特征方程 特征根
r 2 4r 4 0,
r1, 2 2，
2
对应齐次方程通解 Y (c1 c2 x)e 2 x ,
代入方程得
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0
x
对应齐次方程的特征方程：r 2 pr q 0 综上讨论，方程的特解总可设为
y*
其中： Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm b0 , b1 ,, bm可用待定系数法确定。 特别地
0 不是根 k x k x e Qm ( x) , 1 是单根, 2 是重根
3 9 A , B 3, C 2 4
2
3 2 9 于是：y x 3x 2 4
* 1
2D 8Dx 4Dx 8Dx 8Dx 4Dx 8
2 2
D 4
*
于是：y 4 x e
* 2
2 2x
3 2 9 2 2x 故，y x 3x 4 x e 2 4