北京市石景山区2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析).doc

北京市石景山区2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一：选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}1,0,1A =-，{}|3B x x =∈<N ，那么集合A B 等于（ ）
A. [1,3)-
B. {}0,1,2
C. {}1,0,1,2-
D.
{}1,0,1,2,3-
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合B ，根据并集运算求解即可. 【详解】因为{}|3{0,1,2}B x x =∈<=N ， 所以{1,0,1,2}A B =-，
故选：C
【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.
2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，则仅用非现金支付的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.8
【答案】C 【解析】 【分析】
利用对立事件概率计算公式能求出不用现金支付的概率
【详解】某群体中的成员只用现金支付的概率为0.15，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.35，
∴不用现金支付的概率为：p=1-0.15-0.35=0.5． 故选：C
【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.
3.中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（ ） A. 30 B. 70
C. 80
D. 100
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解.
【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的
同学有70%， 所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取10070%70⨯=人， 故选：B
【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题.
4.从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A.
1
6
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】D 【解析】 【分析】
设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,
任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23
P =， 故选：D
【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.
5.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)-∞
B. (1,)-+∞
C. [1,)-+∞
D.
[1,1)(1,)-⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.
【详解】因为()1
f x x =
-， 所以10
10x x -≠⎧⎨
+≥⎩
，
解得1x ≥-且1x ≠，
所以函数定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞， 故选：D
【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题. 6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ） A. 1y x
=
B. 2
1y x =-+
C. x
y e -=
D.
lg ||y x =
【答案】B 【解析】 【分析】
利用基本初等函数函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 【详解】A 中1
y x
=
为奇函数，故排除A ； B 中2
1y x =-+的图象关于y 轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减； C 中1
x
x y e
e
-==
，既不是奇函数也不是偶函数，故排除C ；
D 中lg ||y x =为偶函数，在x ∈(0,+∞)时，函数为lg y x =，函数单调递增，故排除D. 故选：B ．
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性、单调性，属于容易题.
7.在同一直角坐标系中，函数()(0),()log a
a f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
通过分析幂函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数()0a
y x
x =≥，与()log 0a y x x =>，
答案A 没有幂函数图像， 答案B.()0a
y x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，
答案C ()0a y x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合， 答案D ()0a
y x
x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.
8.池塘里浮萍的生长速度极快，它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的一倍．若一个池塘在第30天时，刚好被浮萍盖满，则浮萍覆盖池塘一半的面积是（ ） A. 第15天
B. 第20天
C. 第25天
D. 第29
天 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意，每天可增加原来的一倍，第30天时，刚好被浮萍盖满，所以第29天覆盖一半. 【详解】因为每天增加一倍， 且第30天时，刚好被浮萍盖满，
所以可知，第29天时，刚好覆盖池塘的一半. 故选：D .
【点睛】本题主要考查了在实际问题中的数学应用，从后往前推是解决问题的关键，属于容易题.
9.已知向量(4,)a x =，(,1)b x =，那么“2x =”是“a //b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量共线的性质，及向量的坐标运算即可分析答案. 【详解】当2x =时，(4,2)a =，(2,1)=b ， 所以2a b =， 所以a //b ， 当a //b 时，
因为(4,)a x =，(,1)b x =， 所以240x -=， 解得22x x ==-或，
所以“2x =”是“a //b ”的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，向量共线的性质，向量的坐标运算，属于中档题.
10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的统计表如下表所示,则有以下四种说法： 甲
乙
①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数； ②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数； ③甲成绩的方差小于乙成绩的方差； ④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．
其中正确命题的个数是（ ）（注：222
2121[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+
+-，其中x 为
数据12,,,n x x x 的平均数）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意先求出甲、乙成绩的平均数；再根据方差公式求出甲、乙的方差，计算甲、乙的中位数，计算甲、乙的极差，即可得出答案．
【详解】甲五次成绩平均数为：（4+5+6+7+8）÷5=6，乙五次成绩的平均数为：（5+5+5+6+9）÷5=5，所以①错误；因为2
1(41014)25S =
⨯++++=甲，2
117(000116)55
S =⨯++++=乙，所以③正确；因为甲的中位数是6，乙的中位数是5，所以②错误；因为甲的极差为8-4=4，
乙的极差为9-5=4，所以④错误， 综上知，正确的只有③， 故选：A .
【点睛】本题主要考查了极差，方差，平均数，中位数，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．
11.在平行四边形ABCD 中，已知向量(1,2)AB =，(2,3)AD =，则AC =__． 【答案】(3,5) 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则知AC AB AD =+，利用向量的坐标运算即可. 【详解】因为在平行四边形ABCD 中， 所以AC AB AD =+，
又因为(1,2)AB =，(2,3)AD =， 所以AC =(2,3)(1,2)(3,5)=+， 故答案为：(3,5)
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量的坐标运算，属于容易题. 12.已知函数()f x 是指数函数，如果(3)9(1)f f =，那么(8)f __(4)f （请在横线上填写“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】
由题意设()x
f x a =，根据(3)9(1)f f =求出解析式，即可比较(8)f ，(4)f 的大小.
【详解】因为函数()f x 是指数函数， 设()x
f x a =，
则3
1
(3)99(1)f a a f ===，
解得3a =或3a =-（舍去） 所以()3x
f x =，是增函数， 所以(8)(4)f f >， 故答案为：>
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，待定系数法求解析式，属于容易题. 13.已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】
由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可. 【详解】0,0a b ∴>>,20a b +=,
20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，
即100ab ≤，
而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立， 故lg lg a b +的最大值为2， 故答案为：2
【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.
14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2
()2f x x x =-． 若关于x 的
方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】
若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．
【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2
()2f x x x =-，
所以函数()f x 图象关于y 轴对称，
作出函数()f x 的图象：
若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-
【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.
三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．
()1当a 0=时，求集合A ，B ；
()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a ≤2. 【解析】 【分析】
（1）直接代入集合即可得A ，解不等式得B ；（2）分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况，得到关于a 的不等式组，求得取值范围. 【详解】（1）当0a =时，{}
10A x x =-<<
2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<
（2）若A B ⊆，则有：
①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意，
②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 1
2a a ≥-⎧⇒⎨
≤⎩
解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤
【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了A =∅的情况.
16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）{}{}{}{}{}{}111211122122,,,,,,,,,,,,A a A a A b A b A a A a
{}{}{}{}{}{}21221212,,,,,,,,,,,,A b A b B a B a B b B b
（Ⅱ）说法不正确； 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：
{}{}{}{}{}{}111211122122,,,,,,,,,,,,A a A a A b A b A a A a {}{}{}{}{}{}21221212,,,,,,,,,,,,A b A b B a B a B b B b
（Ⅱ）不正确，理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为
{}{}{}{}11122122,,,,,,,,A a A a A a A a 共4种，所以中奖的概率为
41
123
=，不中奖的概率为121
1333
-=>，故这种说法不正确．
考点：概率统计
【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．
【此处有视频，请去附件查看】
17.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
测试数据（单位：米）(0,6)[6,8)[8,12)
成绩不合格及格优秀
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀
之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率． 【答案】（Ⅰ）40人（Ⅱ）0.4（Ⅲ）0.48. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a ．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件i A ：第i 名男生成绩优秀，其中1,2i =.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为1221A A A A +，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=,解得0.05a =. 所以此次测试总人数为
4
400.052
=⨯.
故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件A . 由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生, 成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=, 则估计()0.4P A =.
（Ⅲ）记事件i A ：第i 名男生成绩优秀，其中1,2i =.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为
1221A A A A +，
因为12,A A 相互独立，21
,A A 相互独立， 所以1212()()()0.24P A A P A P A ==，2121()()()0.24P A A P A P A ==， 又因为1221
,A A A A 互斥， 所以12211221()()()0.48P A A A A P A A P A A +=+=. 所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了互斥事件和的概率，独立事件同时发生的概率，属于中档题.
18.已知函数23
()1
x f x x -=
+． （1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数()f x 在区间[2,9]上的最大值与最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为3
(9)2
f =；小值为1(2)3f =
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，比较
()()12f x f x -和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值. 试题解析：
（1）解：()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. 证明如下：
任取[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，
()()()()()()()()()()()()()
1221121212121212122312315232311111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+-+----=
-=-=
++++++++.
∵()()12120,110x x x x -++，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.
（2）由（1）知函数()f x 在区间[]2,9上是增函数， 故函数()f x 在区间[]2,9上的最大值为2933
(9)912
f ⨯-==+，
最小值为()2231
2213
f ⨯-=
=+.
点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取12,x x ，并且12x x >（或12x x <）；（2）作差： ()()12f x f x -，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；
（3）定号：()()12f x f x -和0比较； （4）下结论.
19.已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--（0a >，且1a ≠）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）判断函数()
f x 的
奇偶性；
（Ⅲ）解关于x 的不等式()log (3)a f x x ≥．
【答案】（Ⅰ）(2,2)-（Ⅱ）奇函数. （Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据对数的真数为正可求出函数定义域（Ⅱ）由定义域的对称性及(),()f x f x -的关系可判断函数奇偶性（Ⅲ）分01a <<，1a >两种情况讨论，利用单调性求不等式的解.
【详解】（Ⅰ）要是函数有意义，则20,20,x x +>⎧⎨->⎩
解得22x -<<，
故函数()f x 的定义域为(2,2)-.
（Ⅱ）(2,2),(2,2)x x ∀∈--∈-，
()log (2)log (2)
[log (2)log (2)]()
a a a a f x x x x x f x -=--+=-+--=-
所以函数()f x 为奇函数.
（Ⅲ）2()log (2)log (2)log 2a a a x
f x x x x
+=+--=-， 所以，不等式()log 3a f x x ≥可化为2log log 32a a x
x x
+-≥. 当01a <<时，2032x
x x +<
-≤，解得213
x ≤≤； 当1a >时，
2302x x x +>-≥，解得2
03
x <≤或12x ≤<. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，对数函数的单调性，分类讨论，属于中档题.
20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地
上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成
员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()300301800
29030100x f x x x x <≤⎧⎪
=⎨+-<<⎪⎩
，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)
见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，
()1800
29040f x x x
=+
->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，
∴()45100x ∈，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，
()()30%401%4010
x
g x x x =⋅+-=-
； 当30100x <<时，
()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫
=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭
；
∴()24010
13585010
x g x x x ⎧
-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；
当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．。