新定义问题(2016,2017年北京中考模拟)

1．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点．
例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）．
（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；
（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限．当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；
（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；
（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，﹣）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标．
2．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q 的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．
（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；
（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；
（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”
（1）已知点P的坐标为（2，0）
①若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；
②若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为，求n的值；（2）已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．
（3）已知△ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），点P 的坐标为（0，），点Q的坐标为（m，），若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：
将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作D x；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作D y；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．
例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D x=|2﹣（﹣1）|=3，D y=|3﹣（﹣2）|=5，
所以λ==．
（1）如图2，点A（1，0），
①点B（2，1），E（﹣1，2），
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2=；
②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；
③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P 上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．
5．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：
对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．
（1）如图，⊙O的半径为1，
①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；
若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数；
②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．
（2）若点P在直线y=﹣x+2上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P 的横坐标x P的取值范围．
（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，﹣1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标x C的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB．如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段
AB的“环绕点”．
（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是；
（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；
（3）已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求⊙M的半径r的取值范围．
7．（1）在图①，②，③中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是，，；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）
（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
★归纳与发现
（3）通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图④）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）；★运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=﹣x2﹣（5c﹣3）x﹣c和三个点G（﹣c，c），S（c，c），H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条
件的P点坐标．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．
9．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度；
B（﹣，）的距离跨度；
C（﹣3，﹣2）的距离跨度；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标x E的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n
＞0．
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标；
（2）如果点P在函数y=x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0），如果m=2n，则称双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y=（n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y=（n＞0）是双曲线y=（m＞0）的“半双曲线”，
（1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是；双曲线y=的“半双曲线”
是；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，求△AOB 的面积；
（3）如图2，已知点M是双曲线y=（k＞0）在第一象限内任意一点，过点M 与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直
线交双曲线y=的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S
△MNP ，且1≤S
△MNP
≤2，求k的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；
（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．
14．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：
点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k ≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．
如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．
（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；
请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：；
（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．
15．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．
在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．
（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△
ABC的中心关联点的是；
（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．
①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）
（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．
（1）如图1，点A（﹣1，0）．
①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为；
②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为；
③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；
（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是；
（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．
17．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．
已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），
（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；
（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；
（3）⊙B的半径为，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC 上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．
18．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”．
请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：
在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．
（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．
（2）设直线y=（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；
（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内．将四边形ABCD 绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是；“近距离”的最小值是．
19．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD．（1）当⊙P的半径为4时，
①在P1（0，﹣3），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是；
②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；（2）已知点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l x=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4﹣0|=4．
（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x，l y．
（2）已知点C（4，0），点D在直线y=﹣2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y 时，求点D的坐标．
（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y ≤1时，请直接写出a的取值范围．
21．对于关于x的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数y[m]=为它的m分函数（其中m为常数）．
例如，y=3x+2的4分函数为：当x≤4时，y
[4]=3x+2；当x＞4时，y
[4]
=﹣3x﹣2．
（1）如果y=﹣x+1的2分函数为y
[2]
，
①当x=4时，y
[2]=；②当y
[2]
=3时，x=．
（2）如果y=x+1的﹣1分函数为y
[﹣1]，求双曲线y=与y
[﹣1]
的图象的交点坐标；
（3）从下面两问中任选一问作答：
①设y=﹣x+2的m分函数为y
[m]，如果抛物线y=x2与y
[m]
的图象有且只有一个公
共点，直接写出m的取值范围．
②如果点A（0，t）到y=﹣x+2的0分函数y
[0]
的图象的距离小于1，直接写出t 的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是
平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．
（1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点；
（2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；
（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，Q点坐标为（a，﹣b）．
（1）求（﹣2，3），（6，﹣1）的变换点坐标；
（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；
（3）若抛物线y=﹣x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围．24．对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示．例如，当M（1，2），N（2，2）时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为2．
（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，0），D （0，1），
①点O与线段AB的“密距”为，“疏距”为；
②线段AB与△COD的“密距”为，“疏距”为；
（2）直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点E，F，以C（0，﹣1）为圆心，1为半径作圆，当⊙C与线段EF的“密距”0＜d＜1时，求⊙C与线段EF的“疏距”f的
取值范围．
25．在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，那么称点P′为点P 关于⊙C的反演点，图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．
（1）如图2，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；
（2）如图3：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小．
26．设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）．在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）．
例如：函数f（x）=x2﹣2x﹣3，当x=4时，f（4）=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：
如果函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）．f（b）＜0，那么函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内有零点，即存在c（a
≤c≤b），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在a≤x ≤b范围内的根．
例如：二次函数f（x）=x2﹣2x﹣3的图象如图1所示．
观察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，则f（﹣2）．f（1）＜0．所以函数f（x）=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x2﹣2x﹣3的零点，﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根．
（1）观察函数y1=f（x）的图象2，回答下列问题：
①f（a）•f（b）0（“＜”“＞”或“=”）
②在a≤x≤b范围内y1=f（x）的零点的个数是．
（2）已知函数y2=f（x）=﹣的零点为x1，x2，且x1＜1＜x2．
①求零点为x1，x2（用a表示）；
②在平面直角坐标xOy中，在x轴上A，B两点表示的数是零点x1，x2，点P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围．
27．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．
（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）
①直接写出△ABM的面积，其面积是；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形．
（1）如图1，点A（﹣1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）．
①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是；
②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值；
（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x 的取值范围；
（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围．
29．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函
数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）分别判断函数y=x﹣1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；
（2）函数y=2x2﹣bx．
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．
30．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．
31．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”．
（1）⊙O的半径为5，OP=3．
①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；
②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．
（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P 关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙O的“幂值”为13，请写出b的取值范围．
32．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W1和W2，若在图形W1和W2上分别存在点M （x1，y1）和N （x2，y2），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W1和W2
的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x=，y=
（1）已知点A（0，1），B（4，1），C（3，﹣1），D（3，﹣2），连接AB，CD．①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为；
②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，﹣），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；
（2）如图1，已知点R（﹣2，0）和抛物线W1：y=x2﹣2x，对于抛物线W1上的每一个点M，在抛物线W2上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W2；
（3）正方形EFGH的顶点分别是E（﹣4，1），F（﹣4，﹣1），G（﹣2，﹣1），H（﹣2，1），⊙T的圆心为T（3，0），半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．
33．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；
（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一
个作答．
问题1问题2
若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P 的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为
．若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为
．
34．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C 上时，此题可解（如图2）．
（1）请你回答：AP的最大值是．
（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．
提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B 点逆时针旋转60，得到△A′BP′．
①请画出旋转后的图形
②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．
35．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
2018年05月16日139****3005的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共35小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点．
例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）．
（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；
（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限．当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；
（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；
（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，﹣）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标．
【解答】解：（1）∵PQ=2，根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2 ），N′（4，﹣2 ）．
（2）①当PQ=1时，OQ=
在RT△OPQ中，如图1中，
∴OP=OQ
∴∠OQP=∠OPQ=45°
∵∠PQN′=90°PQ=Q N′
∴点N’在x轴负半轴上，不在第二象限
∴PQ=1不符合题意．
②当PQ=2时
OP===，
此时，点N′在第二象限符合题意．
（3）如图2中，由图象可知，P（0，﹣3 ），N（0，3 ）．
（4）如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A．。