线性递归数列

线性递归数列
主讲：杜修奎
【基础知识】
1、概念：①、递归式：一个数列}{n a 中的第n 项n a 与它前面若干项1-n a ，2-n a ，…，k n a -（n k <）的关系式称为递归式。

②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。

2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。

3、思想策略：构造新数列的思想。

4、常见类型：
类型Ⅰ：⎩
⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n
（3）)0()(1≠+=+p q
a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：⎩
⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法：利用特征方程q px x +=2，求其根α、β，构造n n n B A a βα+=，代入初始值求得B A ,。

类型Ⅲ：)(1n n a f a =+其中函数)(x f 为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

【例题】
例1、已知数列}{n a 满足以下递归关系⎩⎨
⎧=+=+14311a a a n n ，求通项n a 。

例2、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=-+=+2)12(211a n a a n n ，求通项n a 。

例3、已知数列}{n a 满足⎩⎨
⎧=≥+=+1)2(211a n na a n n ，求通项n a 。

例4、已知数列}{n a 满足⎩
⎨
⎧==-=++2,1232112a a a a a n n n ，求通项n a 。

例5、由自然数组成的数列}{n a ，满足11=a ，mn a a a n m n m ++=+，求n a 。

例6、已知数列}{n a 满足101=a ，44
11n n a n n a +=+（1≥n ），求n a 。

例7、已知)2()(+=
x a x x f ，且21)(0=x f ，方程x x f =)(有唯一解，设)(1-=n n x f x （N n ∈），求n x 。

例8、已知数列}{n a 中，11=a ，)24141(16
11n n n a a a +++=+，求n a 。

例9、设正数列}{n a 满足12+-≤n n n a a a ，证明21+≤
n a n （2=n ，3，4，…）
【练习】
1、已知数列}{n a 满足以下递归关系，求n a 。

（1）11=a ，1251+=+n n a a （N n ∈）
（2）11=a ，121-+=+n a a n n （N n ∈） （3）21=a ，11
1++=+n n a n n a （N n ∈） （4）21=a ，n
a n n a n n 211+-=+（N n ∈） （5）11=a ，n n a n S 2=（n S 为前n 项和） （6）101=a ，4110n n a a =+（N n n ∈≥,2） （7）⎩⎨⎧==+=++13221
12a a a a a n n n 2、已知数列}{n a 和}{n b 中，101-=a ，131-=b ，且n n n b a a 421+-=+，n n n b a b 751+-=+，求n a 和n b 。

3、已知00=x ，114521++=+n n n x x x （0=n ，1，2，3，4，…），证明N x n ∈（N n ∈）。

4、已知数列}{n a 满足：)31(arccos cos 3n a n n =，证明n a 是不能被3整除的整数。