高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题含答案

正余弦定理常见解题类型

1．解三角形

正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．

余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

例1 已知在ABC △中，

4526A a c ，，，解此三角形．解：由余弦定理得

22(6)26cos454b b ，从而有31b

．又222(6)2

22cos b b C ，得1cos 2C ，

60C 或120C ．75B 或15B

．因此，31b ，

60C ，75B 或31b ，120C ，15B ．

注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．

2．判断三角形的形状

利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或

边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ，，，可将边转化为角的三角函数关

系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：

A B C ；利用余弦定理公式222222cos cos 22b c a a c b A

B bc ac ，，222cos 2a b c

C ab ，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．

例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C

c B bc B C ，判定三角形的形状．解：由正弦定理2sin sin sin a

b c R A

B C ，为ABC △外接圆的半径，可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C

R B C B C ，sin sin 0B C

∵，sin sin cos cos B C

B C ，即cos()0B C ．90B C ，即90A ，故ABC △为直角三角形．