廊坊市名校2020中考数学调研试题

2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．把不等式组20
10x x -⎧⎨+<⎩
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．()2
y x 12=-+ B ．()2
y x 12=++
C ．2y x 1=+
D ．2y x 3=+
3．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿
以
的速度匀速运动到点C ，图2是
点P 运动时，APD ∆的面积2
()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）
A ．36
B ．
C ．32
D ．
5．已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列一定在该双曲线上的是（ ）
A ．(3，-2 )
B ．(-2，-3 )
C ．(2，3 )
D ．(3，2)
6．下列计算正确的是（ ） A ．（﹣2a ）2＝2a 2 B ．a 6÷a 3＝a 2 C ．﹣2（a ﹣1）＝2﹣2a
D ．a•a 2＝a 2
7．如图所示，数轴上两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则下列四个数中最大的一个数是（ ）
A ．a
B ．b
C ．1
a
D ．
1b
8．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a ，b ，c ，d 之间关系的式子中不正确的是( )
A ．a ﹣d ＝b ﹣c
B ．a+c+2＝b+d
C ．a+b+14＝c+d
D ．a+d ＝b+c
9．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14
，y 1）、C （﹣1
2，y 1）为函数图象
上的两点，则y 1＞y 1．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
10．已知圆内接正三角形的面积为33，则边心距是（ ） A ．2
B ．1
C ．3
D ．
3
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为________．
12．分解因式：2x y 4y -= ．
13．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．
14．不等式组2x+1x {4x 3x+2
>≤的解集是 ▲ ． 15．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.
16．若a m =5，a n =6，则a m+n =________．
17．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 18．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为_____．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．求y与x的函数关系式；每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
20．（6分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
21．（6分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°．作∠BAC的平分线AD，交BC于D；若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．
23．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．求
AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3 1.732 1.41≈≈，)；已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．
24．（10分）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C 处，CP ＝CQ ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转(保持点P 在△ABC 内部)，连接AP 、BP 、BQ ．如图1求证：AP ＝BQ ；如图2当三角板CPQ 绕点C 旋转到点A 、P 、Q 在同一直线时，求AP 的长；设射线AP 与射线BQ 相交于点E ，连接EC ，写出旋转过程中EP 、EQ 、EC 之间的数量关系．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =+≠与x 轴交于点A ，与双曲线
()0m
y m x
=
≠的一个交点为B （－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若点P 在双曲线m
y x =上，且△PAC 的面积为4，求点P 的坐标.
26．（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．B
【解析】
【分析】
首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．
【详解】
解：由x﹣2≥0，得x≥2，
由x+1＜0，得x＜﹣1，
所以不等式组无解，
故选B．
【点睛】
解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
2．C
【解析】
【分析】
根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．
故选C．
3．C
【解析】
【分析】
y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【详解】
∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，
∴k＜0，
∵kb<0，
∴b>0，
∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出．
【详解】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,
∴矩形ABCD的面积为4×8=32,
故选:C.
【点睛】
本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．
5．A
【解析】
因为点M（-2，3）在双曲线上，所以xy=（-2）×3=-6，四个答案中只有A符合条件．故选A 6．C
【解析】
【详解】
解:选项A，原式=2
4a；
选项B，原式=a3；
选项C，原式=-2a+2=2-2a；
选项D，原式=3a
故选C
7．D
【解析】
【详解】
∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
∴1
a ＜a＜b＜
1
b
，
故选D．
8．A
【解析】
【分析】
观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．
【详解】
解：依题意，得：b ＝a+1，c ＝a+7，d ＝a+1． A 、∵a ﹣d ＝a ﹣(a+1)＝﹣1，b ﹣c ＝a+1﹣(a+7)＝﹣6， ∴a ﹣d≠b ﹣c ，选项A 符合题意；
B 、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d ＝a+1+(a+1)＝2a+9， ∴a+c+2＝b+d ，选项B 不符合题意；
C 、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d ＝a+7+(a+1)＝2a+15， ∴a+b+14＝c+d ，选项C 不符合题意；
D 、∵a+d ＝a+(a+1)＝2a+1，b+c ＝a+1+(a+7)＝2a+1， ∴a+d ＝b+c ，选项D 不符合题意． 故选：A ． 【点睛】
考查了列代数式，利用含a 的代数式表示出b ，c ，d 是解题的关键． 9．D 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：02b
a
-<， ∴0ab >，
由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>， ∴0c >，
∴0abc >，故①正确； ②抛物线与x 轴只有一个交点， ∴0∆=，
∴240b ac -=，故②正确； ③令1x =-，
∴20y a b c =-++=， ∵12b
a
-
=-， ∴2b a =，
∴220a a c -++=， ∴2a c =+，
∵22c +>， ∴2a >，故③正确； ④由图象可知：令0y =，
即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,
∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124
-<-
<-， ∴12y y >，故⑤正确； 故选D ． 【点睛】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想. 10．B 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ，设OD=x ，由三角形重心的性质得AD=3x ， 利用锐角三角函数表示出BD 的长，由垂径定理表示出BC 的长，然后根据面积法解答即可． 【详解】 如图，
连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD ⊥BC ， 设OD=x ，则AD=3x ， ∵tan ∠BAD=
BD
AD
， ∴BD= tan30°·3， ∴3， ∵1
332
BC AD ⋅=, ∴
1
2
33， ∴x ＝1
所以该圆的内接正三边形的边心距为1， 故选B ． 【点睛】
本题考查正多边形和圆，三角形重心的性质，垂径定理，锐角三角函数，面积法求线段的长，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 二、填空题（本题包括8个小题）
11．【解析】
已知BC=8， AD 是中线，可得CD=4， 在△CBA 和△CAD 中， 由∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， 可判定
△CBA ∽△CAD ，根据相似三角形的性质可得 AC CD
BC AC
= ， 即可得AC 2=CD •BC=4×8=32，解得. 12．()()y x 2x 2+-． 【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式y 后继续应用平方差公式分解即可：()
()()2
2
x y 4y y x 4y x 2x 2-=-=+-．
考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 13．
45
【解析】 【详解】
试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即1024
105
-=. 考点：概率 14．﹣1＜x≤1 【解析】
解一元一次不等式组．
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此， 解第一个不等式得，x ＞﹣1， 解第二个不等式得，x≤1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1． 15．k ＞－1
4
且k≠1 【解析】
由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根， 所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠1， ∴k ＞-1/4 且k≠1． 16．1． 【解析】 【分析】
根据同底数幂乘法性质a m ·a n =a m+n ,即可解题. 【详解】
解：a m+n = a m ·a n =5×6=1. 【点睛】
本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键. 17．150
【解析】 【分析】
利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可 【详解】
∵圆锥的底面圆的周长是45cm ， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，
6
5180
n ππ⨯∴
=， 解得：150n = 故答案为150． 【点睛】
此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积 18．
53
【解析】 【分析】
设CE=x ，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．在Rt △ABF 中利用勾股定理求出AF 的长度，进而求出DF 的长度；然后在Rt △DEF 根据勾股定理列出关于x 的方程即可解决问题． 【详解】
设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3-x）2+12，
解得：x=5
3
，
故答案为5
3
．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元
【解析】
【分析】
利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；
【详解】
（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；
（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，
∵抛物线开口向下，
∴当x＝11时，y有最大值1805，
答：售价定为189元，利润最大1805元；
【点睛】
本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．20．（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.
【解析】
试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得
，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
21．（1）（2）作图见解析；（3）
2
22
2
π
+．
【解析】
【分析】
（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离．
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．
（3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
【详解】
解：（1）如答图，连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC，同理找到点B1，分别连接三点，△A1B1C1即为所求．
（2）如答图，分别将A1B1，A1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到B2，C2，连接B2C2，△A1B2C2即为所求．
（3）
∵22
112
9022
2222,?
1802 BB B B
π
π
⋅⋅
=+===，
∴点B所走的路径总长=2
22
2π
+．
考点：1．网格问题；2．作图（平移和旋转变换）；3．勾股定理；4．弧长的计算．
22．（1）答案见解析；（2）2
20cm
【解析】
【分析】
(1)根据三角形角平分线的定义,即可得到AD;
(2)过D作于DE⊥ABE,根据角平分线的性质得到DE=CD=4,由三角形的面积公式即可得到结论.
【详解】
解:(1)如图所示,AD即为所求;
(2)如图,过D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=CD=4,
∴S△ABD=1
2
AB·DE=20cm2.
【点睛】
掌握画角平分线的方法和角平分线的相关定义知识是解答本题的关键.
23．（1）24.2米(2) 超速，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
【详解】
解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，
CD
AD
tan30︒
=
213?
3
=
，
在Rt△BDC中，
CD
BD73
tan603
===
︒
，
∴AB=AD－BD=213?73=14314 1.73=24.2224.2
-≈⨯≈（米）．
（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．
∵43.56千米/小时大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
24．（1）证明见解析（2）142
-（3）EP+EQ= 2EC
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得AP=CQ；
作CH⊥PQ 于H，由题意可求PQ=22，可得CH=2，根据勾股定理可求
AH=14，即可求AP 的长；
作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得CN=CM，QM=PN，即可证Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=
∠CEN=45°，则可求得EP、EQ、EC 之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，
∴∠ACP=∠BCQ 且AC=BC，CP=CQ
∴△ACP≌△BCQ（SAS）
∴PA=BQ
如图 2 中，作CH⊥PQ 于H
∵A、P、Q 共线，PC=2，
∴2，
∵PC=CQ，CH⊥PQ
∴CH=PH= 2
在Rt△ACH 中，AH=22
= 14
AC CH
∴PA=AH﹣PH= 14-2
解：结论：EP+EQ=2EC
理由：如图 3 中，作CM⊥BQ 于M，CN⊥EP 于N，设BC 交AE 于O．
∵△ACP≌△BCQ，
∴∠CAO=∠OBE，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠OEB=∠ACO=90°，
∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，
∴∠MCN=∠PCQ=90°，
∴∠PCN=∠QCM，
∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，
∴△CNP≌△CMQ（AAS），
∴CN=CM，QM=PN，
∴CE=CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），
∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°
∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，2，
∴2EC
【点睛】
本题考查几何变换综合题，解答关键是等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当辅助线构造全等三角形． 25．（1）直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x =-
；（2）点P 的坐标为1(2,2)P -或2(2,2)P - 【解析】
分析：（1）将点B （-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k 和m 的值即可；
（2）根据直线解析式求得点A 坐标，由S △ACP ＝12
AC•|y P |＝4求得点P 的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线()30y kx k =+≠与双曲线y =
m x （0m ≠）都经过点B （－1，4）， 34,14k m ∴-+==-⨯，
1,4k m ∴=-=-，
∴直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x
=-.
（2）由题意，得点C 的坐标为C （－1，0），直线3y x =-+与x 轴交于点A （3，0），
4AC ∴=，
∵142
ACP P S AC y ∆=⋅=， 2P y ∴=±，
点P 在双曲线4y x
=-上， ∴点P 的坐标为()12,2P -或()22,2P -.
点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．
26．见解析
【解析】
试题分析：证明△ABE ≌△ACD 即可.
试题解析：法1：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD=CE,
∴∠ADE=∠AED,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD ,
∴BD=CE,
法2：如图，作AF⊥BC于F, ∵AB=AC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,
∴DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE.
2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）
A．15°B．55°C．65°D．75°
2．一、单选题
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75°B．80°C．85°D．90°
3．下列二次根式中，最简二次根式的是（）
A．1
5
B．0.5C．5D．50
4．某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（）
A．5.035×10﹣6B．50.35×10﹣5C．5.035×106D．5.035×10﹣5
5．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）
A．点A与点B B．点A与点D C．点B与点D D．点B与点C
6．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）
A．y＝﹣2（x+1）2+1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
7．已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）
A．110100
2
x x
=
+
B．
110100
2
x x
=
+
C．
110100
2
x x
=
-
D．
110100
2
x x
=
-
9．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）
A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数
10．不等式组
12
342
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集表示在数轴上正确的是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．因式分解：2
312
x-=____________.
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．
13．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为__．
14．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，AB=8，∠CAB=22.5°，则CD的长等于
___________________________．
15．关于x的一元二次方程2
kx x+1=0
-有两个不相等的实数根，则k的取值范围是▲．16．某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是___岁．
17．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．
18．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）
=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=33112222
⨯+⨯=1．类似地，可以求得sin15°的值是_______． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．
()1求证：ED FC =．
()2若20ADE ∠=，求DMC ∠的度数．
20．（6分）雾霾天气严重影响市民的生活质量。

在今年寒假期间，某校九年级一班的综合实践小组学生对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了下图所示的不完整的统计图表：
组别
雾霾天气的主要成因 百分比 A
工业污染 45% B
汽车尾气排放 m C
炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n
请根据统计图表回答下列问题：本次被调查的市民共有多少人？并求m 和n 的值；请补全条形统计图，并计算扇形统计图中扇形区域D 所对应的圆心角的度数；若该市有100万人口，请估计市民认为“工业污染
和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数.
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=k
x
交于A、C两点，AB⊥OA交x轴
于点B，且OA=AB．求双曲线的解析式；求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
22．（8分）先化简，再求值：
244
1
x x
x
++
+
÷（
3
1
x+
﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+4．
23．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
求证：BE = DF；连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
24．（10分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数
k
y
x =的
图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．
25．（10分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
26．（12分）先化简，再求值：()2111x x ⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭
，其中x 为方程2320x x ++=的根．
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．D
【解析】
【分析】
根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE ∥AB ，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C ﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
2．A
【解析】
分析：依据AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD 是BC 边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选A ．
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
3．C
【解析】
【分析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B
2
，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C C选项正确；
D D选项错误；
故选C．
考点：最简二次根式．
4．A
【解析】
试题分析：0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．
考点：科学记数法—表示较小的数．
5．A
【解析】
【详解】
试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
根据倒数定义可知，-2的倒数是-1
2
，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-
1
2
，所以A与B是互为
倒数．
故选A．
考点：1．倒数的定义；2．数轴．6．B
【解析】
∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1， 故选B ．
【点睛】
二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
7．B
【解析】
【分析】
先由平均数是3可得x 的值，再结合方差公式计算．
【详解】
∵数据1、2、3、x 、5的平均数是3， ∴12355
x ++++=3， 解得：x=4，
则数据为1、2、3、4、5，
∴方差为
15
×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．
8．A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得： 1102x +=100x
， 故选A ．
9．B
【解析】
【分析】
根据一次函数的定义，可得答案．
设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，
所以，y=﹣1
2
x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】
本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键. 10．C
【解析】
【详解】
根据题意先解出
12
342
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集是，
把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；
表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，
综上所述C的表示符合这些条件.
故应选C.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．3（x-2）（x+2）
【解析】
【分析】
先提取公因式3，再根据平方差公式进行分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】
原式=3（x2﹣4）=3（x-2）（x+2）．
故答案为3（x-2）（x+2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．12．5.
【解析】
【详解】
试题解析：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴1
2
×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE=2222
43
BC CE
+=+=5.
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
13．1
【解析】
【详解】
试题分析：如图，延长CF交AB于点G，
∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG≌△AFC（ASA）．∴AC=AG，GF=CF．
又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线．
∴DF=1
2BG=
1
2
（AB﹣AG）=
1
2
（AB﹣AC）=1．
14．2
【解析】
【分析】
连接OC，如图所示，由直径AB 垂直于CD，利用垂径定理得到 E 为CD 的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE 为等腰直角三角形，求出CE 的长，进而得出CD．
【详解】
连接OC，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，
∴OC= 1
2
AB=4，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE 为△AOC 的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE 为等腰直角三角形，
∴CE=
2
OC=
∴CD=2CE=
故答案为
【点睛】
考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
15．k＜1
4
且k≠1．
【解析】
根据一元二次方程kx2-x+1=1有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞1，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：
∵2
kx x+1=0
有两个不相等的实数根，
∴△=1－4k＞1，且k≠1，解得，k＜1
4
且k≠1．
16．1．
【解析】
【分析】
根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．
【详解】
解：∵该班有40名同学，
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数．
∵14岁的有1人，1岁的有21人，
∴这个班同学年龄的中位数是1岁．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．
17．1．
【解析】
【分析】
由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．
【详解】
∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE=5，
∴DE=12
AC=5， ∴AC=2．
在直角△ACD 中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得
8CD ===．
故答案是：1．
18 【解析】
试题分析：sin15°=sin （60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=12222-⨯=4
．故答案
考点：特殊角的三角函数值；新定义．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°
【解析】
【分析】
阅读发现：只要证明15DFC DCF ADE AED ∠=∠=∠=∠=，即可证明．
拓展应用：()1欲证明ED FC =，只要证明ADE ≌DFC △即可．
()2根据DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∠=∠+∠=∠+∠+∠即可计算．
【详解】
解：如图①中，四边形ABCD 是正方形，
AD AB CD ∴==，90ADC ∠=， ADE ≌DFC △，
DF CD AE AD ∴===，
6090150FDC ∠=+=，
15DFC DCF ADE AED ∴∠=∠=∠=∠=，
601575FDE ∴∠=+=，
90MFD FDM ∴∠+∠=，
90FMD ∴∠=，
故答案为90
()1ABE 为等边三角形，
60EAB ∴∠=，EA AB =． ADF 为等边三角形，
60FDA ∴∠=，AD FD =．
四边形ABCD 为矩形，
90BAD ADC ∴∠=∠=，DC AB =．
EA DC ∴=．
150EAD EAB BAD ∠=∠+∠=，150CDF FDA ADC ∠=∠+∠=， EAD CDF ∴∠=∠．
在EAD 和CDF 中，
AE CD EAD FDC AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
EAD ∴≌CDF ．
ED FC ∴=；
()2EAD ≌CDF ，
20ADE DFC ∴∠=∠=，
602020100DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．
20．（1）200人，30%,10%m n ==；（2）见解析，036；（3）75万人.
【解析】
【分析】
(1)用A 类的人数除以所占的百分比求出被调查的市民数，再用B 类的人数除以总人数得出B 类所占的百分比m ，继而求出n 的值即可；
(2)求出C 、D 两组人数，从而可补全条形统计图，用360度乘以n 即可得扇形区域D 所对应的圆心角的度数；
(3)用该市的总人数乘以持有A 、B 两类所占的百分比的和即可．
【详解】
(1)本次被调查的市民共有：9045%200÷=(人)，
∴60100%30%200
m =⨯=，145%15%30%10%n =---=； (2)C 组的人数是20015%30⨯=(人)、D 组的人数是20090603020---=(人)， ∴6020100%30%,100%10%200200m n =
⨯==⨯=； 补全的条形统计图如下图所示：
扇形区域D 所对应的圆心角的度数为：
0036010%36⨯=；
(3)()10045%30%75⨯+=(万)，
∴若该市有100万人口，市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数约为75万人.
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表，读懂图形，找出必要的信息是解题的关键.。