【精准解析】河南省普通高中2020届高三质量测评(二)数学(文)试题

大象联考 2020年河南省普通高中高考质量测评（二）
数学（文科）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答丰本试题上无效
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用3B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 参考公式锥体的体积公式：1
3
V Sh =
（其中为S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}
2
|0B x x x =->，则A
B =（ ）
A. {|12x x <<}
B. {|2x x <}
C. {|12x x ≤≤}
D.
{|14x x ≤<} 【答案】A 【解析】 【分析】
求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<.
故选：A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2. 已知复数z 满足21i
z i
-=
+，则z =（ ）
A. 13 2
i
+
B.
13
2
i
-
C.
3
2
i+
D.
3
2
i-
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，
间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）
A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题结合图形即可得出结果．
【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，
而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4. 已知角θ的终边过点()3,4-，则()cos πθ-=（ ） A. 45
-
B.
45
C.
35
D.
35
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角θ的终边过点()3,4-， 所以3cos 5θ=-，3cos()cos 5
πθθ-=-=. 故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数
定义，诱导公式，属于容易题.
5. 若椭圆
22
1(0)2x y p p p
+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =
>的焦点重合，则p =（ ） A. 2 B. 3
C. 4
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为())
,
，
抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 2
p
=
，解得4p =， 故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题.
6. 已知函数()x
f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab
的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案.
【详解】∵()1x
f x ae '=+，
∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7. 函数2
sin ()1
x x
f x x +=
+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2
sin()()
()()()1
x x f x f x x -+--=
=--+，∴()f x
是奇函数，故排除A ；22sin ()011
f πππ
πππ+==>++，排除B ，C.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.
8. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在
PC 上且1
3PF PC =，G 在PB 上且23
PG PB =，则（ ）
A. 3AG EF =，且AG 与EF 平行
B. 3AG EF =，且AG 与EF 相交
C. 2AG EF =，且AG 与EF 异面
D. 2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D 【解析】 【分析】
取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且
AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且1
2
EF DH =
，综上，即可得到本题答案.
【详解】
取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，
2
3
PG PH PB PC ==，所以GH BC //，2
23
GH BC =
=，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH
的中点，所以EF DH //，且1
2EF DH =，所以EF AG //，且12
EF AG =，即2AG EF =. 故选：D
【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.
9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和
为（ ）
A. 2020
2021 B.
2018
2020 C. 20182019
D. 20212020
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式及728S =，可得4a 的值.代入22a =由等差数列通项公式，即可
求得首项与公差，进而得数列{}n a 的通项公式.结合裂项求和法即得数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020
项和.
【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =， 由等差数列前n 项和公式可得74728S a == 所以44a =，结合22a =，
由等差数列通项公式可得4121342a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
1a d =⎧⎨=⎩
，
由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=， 则
()
111
1n n a a n n +=+.
所以12233420202021
1111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+ 111112233420202021=
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+⋅⋅⋅+-
20202021=. 故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.
10. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可.
【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）
4,4n i ==；
（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ．
【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的
方式解答问题.
11. 现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,6
4
DAB BAC π
π
∠=∠=
，三棱锥的外接球的表面
积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）
A.
3
3
B.
36
C.
324
D.
348
【答案】B 【解析】 【分析】
设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.
【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且3,1,2AD BD AC BC =
===当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， 所以1113
311332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=
△. 故选：B.
【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.
12. 设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤
>∈⎢⎥⎣⎦
，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 13
6
ω=
B. 116
ω=
C. 74
ω=
D. 34
ω=
【答案】A 【解析】 【分析】
设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ
-
<-， 所以5342222ππωππ
-<-，即15783
ω<，满足的只有A. 故选：A.
【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若||3a =，||2b =，237a b +=，则a 与 b 的夹角为______________. 【答案】
3
π 【解析】
【分析】
由222|2|44a b a a b b +=+⋅+及||||cos a b a b θ⋅=⋅，即可得到本题答案. 【
详
解
】
设
a
与
b
的夹角为
θ
，则
222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，得1cos 2
θ=
，所以3πθ=.
故答案为：
3
π
【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n ﹣2a 1}也为等比数列，则
4
3
S S =_____ 【答案】
1514
【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，根据数列{S n ﹣2a 1}为等比数列得到﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，解得q 1
2
=
，再计算43S S 得到答案.
【详解】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，
对于等比数列{S n ﹣2a 1}，其前三项为：﹣a 1，a 2﹣a 1，a 3+a 2﹣a 1，
则有（﹣a 1）（a 3+a 2﹣a 1）＝（a 2﹣a 1）2，变形可得：﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，
解可得：q 12=或0（舍），则q 1
2=，则()
()
4
14
433
3111151114
11a q S q q S q a q q
---===---； 故答案为：
1514
． 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.
15. 某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100克，次品重110 克.现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品），如果将5袋产品以1-5编号，第i 袋取出i 个产品（i =1，2，3，4，5），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ,若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =__________克；若次品所在袋子的编号是n ,此时的重量y =_________克．
【答案】 (1). 1520 (2). 150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈
【解析】 【分析】
按照题意，可得从5个袋子中取得的总个数及第2个袋子中取的个数，进而确定总质量；再写出次品是第n 个时的个数及对应解析式即可.
【详解】第1袋中取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共15个.
若次品从第2袋中取，则共有13个正品，2个次品，所以总质量为
1001311021520y =⨯+⨯=；
若次品是第n 袋中取，则15个产品中共有次品n 个，正品15n -， 则()10015110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{}1,2,3,4,5n ∈
故答案为：1520；150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈
【点睛】本题考查了实际问题中函数的应用，属于基础题.
16. 已知点P 是双曲线2
2
13
y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满
足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫
++= ⎪⎝
⎭，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】2
2
1(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】
设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得
2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11
||12
OQ AF =
=，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，
所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.
因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11
||12
OQ AF =
=， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为2
2
1(0)x y y +=≠.
故答案为：22
1(0)x y y +=≠.
【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；
（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3
B π
=（2）
321
14
【解析】
【分析】
（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；
（2）由余弦定理可得，2221
cos 22a c b B ac +-==，
代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c B C b =可求．
【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1
cos 2
B =
. 又因为(0,)B π∈，所以3
B π
=
（2）由余弦定理可得，2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
216361
2462
b +-=⨯⨯，
所以27b =，
由正弦定理可得，sin 321
sin c B C b =
=
. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．
18. “不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(]12,16内的人数为92.
（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；
（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(]16,20，(]20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率. 【答案】（1）13.64（2）2
5
【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；
（2）用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,
；在(]20,24内为1人，设为A ，列出基本事件，根据古典概型计算概率即可.
【详解】（1）由已知可得，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=， 所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为
()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.
（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以92
2000.11504
n =
=⨯.
故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=， 参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.
则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,
；在(]20,24内为1人，设为A.从这5人中选取3人的事件空间为：
{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，
共10种情况，
其中全是二等奖的有4种情况. 故42
105
P =
=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题. 19. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D
重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.
（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；
（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥
P ABC -体积最大时，回答下列问题.
（i ）证明：//EF 平面PAQ ； （ii ）求三棱锥A OEF -的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）4
27
【解析】 【分析】
（1）由PC PD ⊥，AD PC ⊥可得PC ⊥平面PAD ，即可证明；
（2）（i ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，利用平行线分线段成比例可得//EF MN ，即可得//EF AQ 得证； （ii ）根据A EOF E AOF V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为ABCD 是轴截面， 所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，
又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径， 所以PC PD ⊥， 又AD
PD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ， 故平面PAD ⊥平面PBC
（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，
所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .
（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，
则//MN AQ ，
因为,E F 分别为三角形的重心，所以2
3
PE PF PM PN ==， 所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，
又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ， 所以//EF 平面PAQ . （ii ）因为PO ⊥平面ABO ， 所以PO BO ⊥， 又AO BO ⊥，AO
PO O =，
所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，
所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高. 又22233EF BO =
=
1112
223323
AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=， 所以112224
||3327
A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==
⋅==
. 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属于中档题.
20. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，且过点
31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，求证
2
AB
GF 为定值. 【答案】（1）22
143
x y +=（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；
（2）由题意设直线AB 为1x my =+，联立椭圆方程可求||AB ，求出ABQ ∆外接圆圆心
21,034G m ⎛⎫
⎪+⎝⎭，计算2GF ，化简即可证明2
AB GF 为定值.
【详解】（1）由题意知2a =，
将P 点坐标代入椭圆方程22
221x y a b
+=得29
1414b
+=
，解得b =
所以椭圆方程为22
143
x y +=.
（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得(
)
2
2
34690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222
69
,3434
m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为22
43,3434m m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
，
所以()
2122
12134
m AB y y m +=-=-+.
因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，
AB 的垂直平分线方程为22
343434m y m x m m ⎛
⎫+
=-- ⎪++⎝⎭
， 令0y =，得21
34x m =+，即21,034G m ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，所以2222
13313434m GF m m +=-=++， 所以
()
22222121||1234433334
m AB m m GF m ++===++，所以2
||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21. 已知函数()2(12)ln a f x x a x x
=+-+. （1）讨论()
f x 的
单调性；
（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫
'> ⎪⎝⎭
. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 进行求导得2
()(21)
()(0)x a x f x x x
-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；
（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证
12
2
x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222
122(12)()(21)
()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.
①当0a 时，(0,),()0,()x f x f x '
∈+∞>单调递增；
②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '
∈<单调递减；
(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.
综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；
当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，
当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；
当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '
=.
不妨设120x a x <<<， 要证1202x x f +⎛⎫'>
⎪⎝⎭
，即证12
2x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，
因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--
2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡
⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦
4(12)ln()(12)ln()a a
x a a x a a x a x a x
=+-+---+
-+-， 22
1212()4()()a a a a
g x a x a x a x a x --'=+
+--+-+- ()()22222222222
242(12)
4()()()()
a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.
又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫
'>
⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）2
4y x =，290x y ++=（2
【解析】 【分析】
（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；
（2
）设212P s ⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.
【详解】（1）C 的直角坐标方程为：2
4y x =，
将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2
）设212P s ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则点P 到直线l
的距离21|9
s d ++==
，
当s =-
d =
=【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23. 已知函数()|1||24|f x x x =++-.
（1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma nb +=，求
23a b +的取值范围.
【答案】（1）[]13,x ∈-（2）
2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；
（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩
，
所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩
， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.
综上，[]
13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩
，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，
即236a b +=，所以132
a b +=. 23232313252323266
a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65
a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。