2020年高考数学(理)一轮复习考点题库-考点测试57 排列与组合

2020年高考数学（理）一轮复习考点题库-考点测试57 排列与组合
第1步狂练小题•练基础
一、基础小题
1．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是()
A．C28C26C24A44A44B．A28A26A24A44
C．C28C26C24A44D．C28C26C24
答案C
解析(分组分配法)将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有C28C26C24种，再分配司机有A44种，故共有方案数C28C26C24A44种．
2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()
A．30种B．90种C．180种D．270种
答案B
解析由每班至少1名，最多2名，知分配名额为1,2,2，∴分配方案有C15·C24
A22·A 3
3
＝90(种)．故选B.
3．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()
A．12种B．18种C．36种D．54种答案B
解析先放1、2的卡片有C13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有C24
A22·A
2
2
种，故共有C13·C24＝18(种)．
4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()
A．12种B．18种C．24种D．36种
答案A
解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．
5．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()
A．48 B．44 C．36 D．24
答案B
解析分四类：第一类，4人全选乙题则有C24种；第二类，1人选甲题3人选乙题，则有C14·2种；第三类，2人选甲题2人选乙题，则有C24·2·2种；第四类，4人选甲题，则有C24种，则这4位同学不同得分情况种数为C24＋C14·2＋C24·2·2＋C24＝44，故选B.
6．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是()
A.3
10 B.
7
20 C.
2
5 D.
13
30
答案B
解析由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数A55.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件A，则事件A包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有A33种；当甲值周三时，有A33种；当甲值周四时，有2A33种，当甲值周五时，有3A33种．所
以事件A 包含的基本事件数n (A )＝A 33＋A 33＋2A 33＋3A 33＝7A 3
3，所以事件A 发生的概率为P (A )
＝7A 33
A 55
＝720，故选B.
7．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )
A ．1800
B ．3600
C ．4320
D ．5040 答案 B
解析 两个舞蹈节目不连排，可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目有A 5
5种排法，再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去，由分步计数原理，有A 55·A 26＝3600(种)，故选B.
8．一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，则总分不小于7分的取法有( )
A ．174种
B ．186种
C ．188种
D ．192种 答案 B
解析 设取x 个红球，y 个白球，于是⎩⎨⎧ 2x ＋y ≥7，x ＋y ＝5，其中⎩⎨⎧ 0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤6，y ∈N ，于是⎩⎨
⎧
x ＝2，
y ＝3或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎨⎧
x ＝4，
y ＝1，
因此所求的取法数是C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 1
6＝186. 9．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A ，B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先A 后B 的顺序经过A ，B 两城市(A ，B 两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有( )
A ．120种
B ．240种
C ．480种
D ．600种 答案 D
解析 已知A ，B 必选，则从剩下的5个城市中再选取3个，有C 35种情况，此时5个城市
已确定，将其全排列共有A 55种情况，又A ，B 顺序一定，则根据分步乘法计数原理，得不同的游览线路有C 35·A 5
5
A 22
＝600(种)，故选D.
10．从6名男生和4名女生中选出3人参加某个竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选择方法共有________种．
答案 96
解析∵这3人中必须既有男生又有女生的选法有两种：2男1女或1男2女，∴不同的选法共有C26C14＋C16C24＝15×4＋6×6＝96(种)．
11．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
答案336
解析甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，共有73＝343(种)站法，当三个人同时站到同一个台阶的站法有7种，故若每级台阶最多站2人，有343－7＝336(种)站法．12．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)
答案240
解析假设4个路口分别为A，B，C，D，如果A路口有2人，则共有C25·C13·C12·C11种选派方法，同理若B，C，D路口有2人，则每种情况共有C25·C13·C12·C11种选派方法，故总的选派方法有4C25·C13·C12·C11＝240(种)．
二、高考小题
13．[2016·四川高考]用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24 B．48 C．60 D．72
答案D
解析奇数的个数为C13A44＝72.
14．[2014·四川高考]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()
A．192种B．216种C．240种D．288种
答案B
解析若最左端排甲，其他位置共有A55＝120(种)排法；若最左端排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置有A44＝24种排法，所以共有120＋4×24＝216(种)排法．15．[2014·重庆高考]某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()
A．72 B．120 C．144 D．168
答案B
解析先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．
16．[2014·安徽高考]从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()
A．24对B．30对C．48对D．60对
答案C
解析利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，
它们的棱是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．故选C.
17．[2016·全国卷Ⅲ]定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()
A．18个B．16个C．14个D．12个
答案C
解析当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数
列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.
18．[2014·北京高考]把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
答案36
解析记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有A22 A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36(种)不同的摆法．
三、模拟小题
19．[2016·东北三省质检]已知函数f(x)＝ln (x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()
A．8 B．9 C．26 D．27
答案B
解析由题意可知当ln (x2＋1)＝0时，x＝0；当ln (x2＋1)＝1时，x＝±e－1；当ln(x2＋1)＝2时，x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取．①当定义域有3个元素时，满足条件的个数为C11C12C12＝4；②当定义域中有4个元素时，满足条件的个数为C11C34＝4；③当定义域中有5个元素时，满足条件的个数为1.所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．20．[2017·汉口模拟]某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有()
A．16种B．18种C．24种D．32种
答案C
解析将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A44＝24(种)不同的停放方法，故选C.
21．[2017·武汉调研]A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()
A．60种B．48种C．30种D．24种
答案B
解析由题知，不同的座次有A22A44＝48(种)，故选B.
22．[2016·成都二诊]给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三
种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有() A．18种B．24种C．30种D．32种
答案C
解析通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次．染五条边总体分两步．第一步选一色染1次有C13C15种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2C13C15＝30(种)染法．故选C.
23．[2016·福建福州八中模拟]甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有() A．12种B．24种C．48种D．120种
答案B
解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．24．[2016·山东威海一模]某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()
A．A26×A45种B．A26×54种
C．C26×A45种D．C26×54种
答案D
解析有两个年级选择甲博物馆共有C26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C26×54种，故选D.
25．[2016·福建厦门联考]将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()
A．240种B．180种C．150种D．540种
答案C
解析5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有1
2C
2
5
C23A33＝
90(种)方法，当5名学生分成3,1,1时，共有C35A33＝60(种)方法，根据分类计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法．
26．[2017·兰州月考]有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒内放2个球，其放法有________种；
(2)恰有2个盒内不放球，其放法有________种．
答案(1)144(2)84
解析(1)“恰有1个盒内放2个球”，即另外3个盒内放剩下的2个球，而每个盒内至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒，因此，“恰有1个盒内放2个球”，即“恰有1个盒内不放球”，故有C24C14A23＝144(种)放法．
(2)先从4个盒子中任意拿走2个，有C24种方法，问题转化为“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”．从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12＝8种放法；第2类，有C24＝6种放法．因此共有8＋6＝14(种)放法．由分步乘法计数原理得，“恰有2个盒内不放球”的放法有C24×14＝84(种)．
27．[2016·江西模拟]摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答)．答案20
解析先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C25·C12·C11·C11＝20.
28．[2016·湖北黄冈质检]在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男
生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．答案60
解析不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
29．[2017·山西康杰质检]由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．
答案120
解析由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有A33A34＝144(种)，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2、
5、6号位处，且5、6号位只能放一个偶数，因此偶数的可能性有2×2种，其余的奇数放在1、3、5(或6)号位处，共有A33＝6(种)，共有2×2×6＝24(种)，因此符合题意的六位数共有144－24＝120(个)．
30．[2017·长春质检]20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．
答案120
解析先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120(种)方法．
第2步精做大题▪练能力
本考点在近三年高考中未涉及此题型．。