初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形的性质求解8(附答案详解)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:
___
___
_
_
__
_姓名：___
_
__
___
_
_班级：__
___
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…○
…
…
…
…
订…
…
…
…
○
…
………线…………○………… 初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形的性质求解8（附答案详解） 一、单选题 1．如图，▱ABCD 中，E 为AD 的中点．已知△DEF 的面积为S ，则△DCF 的面积为( ) A ．S B ．2S C ．3S D ．4S 2．如图，已知ABC ，任取一点O ，连接,,AO BO CO ，分别取点,,D E F ，使13OD AO =，13OE BO =，13
OF CO =，连接,,DE DF EF ，得到DEF ，给出下列说法：①ABC 与DEF 是位似图形；②ABC 与DEF 是相似图形；③DEF 与ABC 的周长比为1:3；④DEF 与ABC 的面积比为1:6．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．在ABC 中，12,18,24AB BC CA ===，另一个和它相似的三角形最长的边是36，则这个三角形最短的边是（ ） A ．14 B ．18 C ．20 D ．27 4．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA ＝20cm ，OA′＝50cm ，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（ ） A ．5：2 B ．2：5 C ．4：25 D ．25：4 5．ABC ∆与DEF ∆相似，且面积比1:4，则DEF ∆与ABC ∆的相似比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 6．下列命题是真命题的是（ ） A ．平行四边形的对角线互相平分且相等 B ．任意多边形的外角和均为360° C ．邻边相等的四边形是菱形
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE AC ＝14，则ADE ABC S S 的值为（ ） A ．13 B ．14 C ．19 D ．116
8．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm ，9cm ，另一个三角形的最长边长为4.5cm ，则它的最短边长是（ ）
A ．1.5cm
B ．2.5cm
C ．3cm
D ．4cm
9．已知,8,6ABC A B C AB A B ∆∆'''=''=∽，则BC
B C =''（ ）
A ．2
B ．4
3 C ．3 D ．16
9
10．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，:1:3AD AB =，:ADE DEBC S S ∆四边形等于（ ）
A ．1:3
B ．1:8
C ．1:9
D ．1:4
二、填空题
11．如图，在ABC ∆中，//DE BC ，1
2AD
DB =，2DE =，则BC 的长为__________．
12．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1：3，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为_____． 13．已知ABC ∆DEF ∆,相似比为2,且ABC ∆的面积为4,则DEF ∆的面积为
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:
___
___
_
_
__
_姓名：___
_
__
___
_
_班级：__
___
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…○
…
…
…
…
订…
…
…
…
○
…
………线…………○………… 14．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____． 15．若△ABC ∽△A’B’C’，且△ABC 与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____． 16．如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ． 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为____________
17．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为______． 18．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为30cm ，与像CD 的距离是14cm ，//AB CD . 若物体AB 的高度为15cm ，则像CD 的高度是_________cm . 19．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ． 20．已知：如图，△ABC 的面积为16，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则△ADE 的面积为______． 三、解答题 21．如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴上，AB ∥OC ，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C 的坐标为（－18，0）. （1）求点B 的坐标； （2）若直线DE 交梯形对角线BO 于点D ，交y 轴于点E ，且OE=4，OD=2BD ，求直
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 22．如图，在ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，点F 在AE 上，BF 的延长线交射线CD 于点G ． （1）若点E 是BC 边上的中点，且AF
4FE =，求CD
CG 的值．
（2）若点E 是BC 边上的中点，且AF
m(m 0)FE =>，求CD
CG 的值．（用含m 的代数式
表示），试写出解答过程．
（3）探究三：若BE
n(n 0)EC =>，且AF
m(m 0)FE =>，请直接写出CD
CG 的值（不写解
答过程）．
23．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12cm ，BC ＝24cm ．动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以2cm/s 的速度移动；动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以4cm/s 的速度移动．如果P ，Q 两点同时出发．
(1)经过几秒，△PCQ 的面积为32cm 2？
(2)若设△PCQ 的面积为S ，运动时间为t ，请写出当t 为何值时，S 最大，并求出最大值；
(3)当t 为何值时，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？
24．已知如图，△ABC 中，AB ＝AC ，用尺规在BC 边上求作一点P ，使△BP A ∽△BAC （保留作图痕迹，不写作法）．
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___
____
____姓名：____
__
___
_
_班级：__
___
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…○
…
…
…
…
订…
…
…
…
○
…
………线…………○………… 25．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ， AC ＝PC ，∠COB ＝2∠PCB ．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC ＝12AB ； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB ＝8，求MN ·MC 的值． 26．如图，双曲线(0)k y x x =>经过AOB 的点顶()2,3A ，//AB x 轴，OB 交双曲线于点C ，且3OB OC = ()1求k 的值； ()2连接AC ，求点C 的坐标和ABC 的面积． 27．如图,在中，,点是上一点． （1）尺规作图：作，使与、都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）若与相切于点D ，与的另一个交点为点，连接、，求证：．
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 28．如图，将 ABC 进行折叠，使得点 A 与点 C 重合，折痕分别与边 AC ，BC 交于点 D ，E ，点 B 关于直线 DE 的对称点为点 F ． （1）画出直线 DE 和点 F ； （2）连接 DF ，EF ，若 DEF S 1=，BE 1
EC 3=，则 ABC S = ；
（3）若 DEF S a =，BE
n
EC m =，则 ABC S = ．
29．点P 到图形Ω（可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指:点P 与图形Ω中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段PQ 的长度都表示点P 到图形Ω的距离.
如图②，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为
(2,1),(0,3),(6,3)A B C ，点P 从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴的正方向运动了t 秒.
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:
___
___
_
_
__
_姓名：___
_
__
___
_
_班级：__
___
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…○
…
…
…
…
订…
…
…
…
○
…
………线…………○…………
（1）当t=0时，求点P 到△ABC 的距离； （2）当点P 到△ABC 的距离等于线段AP 的长度时，求t 的范围； （3）当点P 到△ABC 的距离大于5时，求t 的取值范围. 30．如图，点M 是ABC ∆内的一点，过点M 分别作直线平行于ABC ∆的各边，所形成的三个小三角形1∆，2∆，3∆（图中阴影部分）的面积分别是4、9、49，求ABC ∆的面积.
参考答案
1．B
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴ED：CB=EF：CF，
∵E为AD的中点，∴ED=1
2
AD=
1
2
BC，∴EF：CF=1：2，
从图中可以看出△EDF与△DCF共一顶点D，所以高相等，∴面积之比为：EF：CF=1：2，∴当△DEF的面积为S时，则△DCF的面积为2S．故选B．
2．C
【解析】
【分析】
根据位似图形与相似三角形的性质逐一判断即可．
【详解】
解：由题意，得DEF与ABC是位似图形，
∴DEF与ABC是相似图形，故①②正确；
∵
1
3
OD AO
=，
1
3
OE BO
=，
1
3
OF CO
=，
∴DEF与ABC的相似比为1: 3，
∴DEF与ABC的周长比为1:3，
DEF与ABC的面积比为1:9，故③正确，④错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了位似图形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的性质及位似图形与相似图形的关系．
3．B
【解析】
【分析】
设另一个三角形最短的一边是x，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．
【详解】
设另一个三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴
36 1224
x
=，
解得x＝18．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．4．B
【解析】
【分析】
先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】
如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，
∴AB
A B''
=
OA
OA'
=
20
50
=
2
5
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=AB
A B''
=2:5.
故选B.
5．B
【解析】
【分析】
根据面积比为相似比的平方即可得出答案．【详解】
ABC
∆与DEF
∆相似，且面积比1:4
∴ABC
∆与DEF
∆的相似比为1:2
∴DEF
∆与ABC
∆的相似比为2:1
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，比较简单，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质、多边形的外角和、菱形的判定及相似三角形的性质判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，故错误，是假命题；
B、任意多边形的外角和均为360°，正确，是真命题；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D、两个相似比为1：2的三角形对应边上的高之比为1：2，故错误，是假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的判断，涉及平行四边形的性质、多边形的外角和、菱形的判定及相似三角形的性质等知识点，掌握基本知识点是解题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
2
2
11
()
416 ADE
ABC
S AE
S AC
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
，
故选：D．【点睛】
本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据题意可得出两个三角形相似，利用最长边数值可求出相似比，再用三角形的最短边乘以相似比即可．
【详解】 解：由题意可得出：两个三角形的相似比为：
4.5192=， 所以另一个三角形最短边长为：15 2.52⨯
=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的相似比，根据题目求出两个三角形的相似比是解此题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】
∵△ABC ∽△A′B′C′, ∴````
AB BC A B B C = 又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴
BC B C ''=43 . 故选B.
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，难度不大
10．B
【解析】
由条件证明△ADE ∽△ABC ，求得其相似比，再利用相似三角形的性质可求得ADE ABC S S ，利用分比的性质即可求得答案．
【详解】
∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴22ADE ABC 11()()39
S
AD S AB ===， ADE ADE ABC ADE DEBC
11 918
S S S S S ===--四边形． 故选：B ．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11．6
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】
∵DE ∥BC
∴∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB
∴△ADE ∽△ABC ∴
AD DE AB BC = ∵
12AD DB = ∴13
AD DE AB BC == 又2DE =
∴BC=6
故答案为6.
本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成
12，这一点尤其需要注意.
12．1：9．
【解析】
试题分析：∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1：3，
∴△ABC 与△A′B′C′的面积之比为1：9．
考点：相似三角形的性质．
13．1
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
∵ABC ∆DEF ∆，相似比为2，
∴ABC ∆与DEF ∆，的面积比等于4：1，
∵ABC ∆的面积为4，
∴DEF ∆的面积为1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质定理，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
14．20°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠B 的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】
解：∵∠A ＝50°，∠C ＝110°，
∴∠B ＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.
15．1：2
【解析】
【分析】
由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】
解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.
16．3a
【解析】
【分析】
通过证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【详解】
解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴
2
()
ACD
BCA
AC
S
S BC
=
△
△
,
∴
1
4
BCA
a
S=
△
，
解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a-a=3a，故答案为：3a．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17．1：9．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9.
考点：相似三角形的性质.
18．7
【解析】
【分析】
根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案.
【详解】
作OE⊥AB与点E，OF⊥CD于点F
根据题意可得：△ABO∽△DCO，OE=30cm，OF=14cm
∴OE AB OF CD
=
即3015 14CD
=
解得：CD=7cm
故答案为7.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也成比例，周长同样成比例，均等于相似比.
19．60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴AB DC BE CE
=，
由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，5015
18
x
=，
解得x＝60，
经检验，x=60是原方程的解，
即高为50m的旗杆的影长为60m．
故答案为：60．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例. 20．4
【解析】
【分析】
根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE1
BC2
=，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三
角形的面积比等于相似比的平方即可得答案. 【详解】
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE1 BC2
=，
∴△ADE∽△ABC，
∴2
ADE
ABC
S1
()
S2
=
△
△
=
1
4
，
∵△ABC的面积为16，
∴S△ADE=
1
4
×16=4.
故答案为：4
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 21．（1）B（-6，,12）
（2）y=-x+4
【解析】
【分析】
（1）如图所示，构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标．（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．如图所示，证明
△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而应用待定系数法求出直线DE的解析式．
【详解】
解：（1）过点B作BF x
⊥轴于F，
在Rt BCF中，∠BCO=45°，BC=122，
∴CF=BF=12．
∵点C的坐标为（－18，0），∴AB=OF=18－12=6．
∴点B的坐标为（-6，12）．
（2）过点D作DG轴于点G，
∵AB∥DG，，
∴ODG OBA ．
23
DG OG OD AB OA OB ∴===． ∵AB=6，OA=12，
∴DG=4，OG=8．
∴()()D 48E 04-，，
，． 设直线DE 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将()()D 48E 04-，，
，代入，得 484k b b -+=⎧⎨=⎩，解得k 1b 4=-⎧⎨=⎩
． ∴直线DE 解析式为4y x =-+．
22．（1）2；（2）
m 2；（3）mn 1n
+ 【解析】
【分析】 （1）过点E 作EH ∥AB 交BG 于H ，证明△ABF ∽△EHF ，则
AB AF 4EH FE
==，所以AB=4EH ；同理证明△BHE ∽△BGC ，得CG=2EH ，所以CD AB 4EH 2CG CG 2EH
===； （2）由（1）得AB AF m EH FE ==，EH 1CG 2
=，将（1）中的4换成m ，代入计算即可得出结论：CD AB mEH m CG CG 2EH 2
===； （3）先由△ABF ∽△EHF ，则AB AF m EH FE
==，所以AB=mEH ；再由△BHE ∽△BGC ，得1n CG EH n +=，CD AB mn CG CG 1n ==+. 【详解】
解：（1）如图1，过点E 作EH //AB 交BG 于H ， ∴
FAB FEH ∠∠=，ABF EHF ∠∠=， ∴
ABF EHF ∽， ∴ AB AF 4EH FE
==， ∴ AB 4EH =，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD //EH ，AB CD =，
∴ BHE BGC ∠∠=，BEH BCG ∠∠=， ∴ BHE BGC ∽，
又∵ E 是BE 的中点， ∴ EH 1CG 2
=， ∴ CG 2EH =， ∴
CD AB 4EH 2CG CG 2EH ===；
（2）由（1）得AB AF m EH FE ==，EH 1CG 2=， ∴ AB mEH =，CG 2EH =，
∴ CD AB mEH m CG CG 2EH 2
===；
（3）如图2，过点E 作EH //AB 交BG 于H ， 则ABF EHF ∽，
∴ AB AF m EH FE
==， ∴ AB mEH =，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB//CD //EH ，AB CD =， ∴ BHE BGC ∠∠=，BEH BCG ∠∠=，
∴ BHE BGC ∽，
∴ EH BE
CG BC =， ∵ BE
n EC =， ∴ BE n
BC 1n =+， ∴ EH n
CG 1n
=+， ∴
1n CG EH n
+=，
∴
CD AB mEH mn
1n CG CG 1n EH n
===
++．
（1）过点E 作EH //AB 交BG 于H ，先证明ABF EHF ∽，则AB AF
4EH FE ==，所以AB 4EH =；同理证明BHE BGC ∽，得CG 2EH =，所以
CD AB 4EH
2CG CG 2EH
===； （2）由（1）得
AB AF m EH FE ==，EH 1
CG 2
=，将（1）中的4换成m ，代入计算即可得出结论：
CD AB mEH m
CG CG 2EH 2
===； （3）先由ABF EHF ∽，则
AB AF
m EH FE
==，所以AB mEH =；再由BHE BGC ∽，得1n CG EH n
+=，代入可得结论：CD AB mEH mn
1n CG CG 1n EH n
===
++．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定，常用的相似判定有两角对应相待的两三角形相似和平行的相似判定，根据比例式与已知条件列式解决问题．
23．(1) 2秒或4秒；(2) t ＝3时，S 的最大值为36cm 2；(3) t ＝3或1.2. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质解答；
（3）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】
解：(1)设经过x秒，△PCQ的面积为32cm2．
由题意得，PC＝12﹣2t，CQ＝4t，
则1
2
(12﹣2t)×4t＝32
解得：x1＝2，x2＝4，
答：经过2秒或4秒，△PCQ的面积为32cm2；
(2)∵出发时间为t，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，∴PC＝12﹣2t，CQ＝4t
∴S＝1
2
PC•CQ＝
1
2
(12﹣2t)×4t＝﹣4t2+24t，
S＝﹣4t2+24t＝﹣4(t﹣3)2+36
则t＝3时，S的最大值为36cm2；
(3)当△PCQ∽△ACB时，
PC CA ＝
CQ
CB
，即，
122t
12
-
=
4t
24
解得，t＝3，
当△PCQ∽△BCA时，
PC CB ＝
CQ
CA
，即，
122t
24
-
=
4t
12
解得，t＝1.2，
综上所述，当t＝3或1.2时，以P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积计算，掌握相似三角形的性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．详见解析
【解析】
【分析】
作出AB的垂直平分线，可得BP＝AP，则∠PBA＝∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC．【详解】
解：如图所示：点P即为所求，
此时△BPA∽△BAC．
【点睛】
此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）32
【解析】
【分析】
（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得
∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．
【详解】
（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．
（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB =∠CBO ， ∴BC =OC ．
1
2
BC AB =
∴ （3）解：连接MB ，MA ∵点M 是AB 的中点， ∴∠ACM =∠BCM ． ∵∠ACM =∠ABM ， ∴∠BCM =∠ABM ． 又∵∠BMN =∠CMB ， ∴△MBN ∽△MCB ． ∴
MB MN
MC MB
= ∴2MB MN MC =⋅
又∵AB 是⊙O 的直径，AM BM = ∴∴∠AMB=90°，AM=BM ． ∵AB =8， ∴42MB = ∴232MN MC MB ⋅== 【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
26．（1）6；（2）点C 的坐标为()6,1，ABC 的面积为16
【分析】
()1把点A 的坐标代入可直接求出k 的值；
()2通过作垂线，将坐标、线段的比、相似三角形联系起来，根据3OB OC =，可求出CD ，
即点C 的纵坐标，再代入求横坐标即可，最后将3OB OC =，转化为三角形的面积比，从而解决问题; 【详解】
解：()1把()2,3A 代入k
y x
=得：236k =⨯=， 答：k 的值为：6．
()2过点A 、C 、B 分别作AF x ⊥轴，CD x ⊥轴，BE x ⊥轴，垂足为F 、D 、E ，
()2,3A ，
2OF ∴=，3AF =，
由OCD ∽OBE 得：
1
3
OC CD OD OB BE OE ===， 1CD ∴=，
把1y =代入6
y x
=
得：6x =， ()6,1C ∴，
18OE ∴=，
()11
181631832422
OAB
OBE
OABE S
S S
∴=-=
+⨯-⨯⨯=梯形， 3OB OC =，
2
2
24163
3
ABC
AOB
S
S ∴=
=⨯=． 答：点C 的坐标为()6,1，ABC 的面积为16．
本题主要考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定以及三角形梯形的面积公式等知识，掌握反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定以及三角形梯形的面积公式是解题的关键.
27．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．
（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图，及为所求．
（2）连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
即，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∽
∴
∴． 【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键． 28．（1）见解析；（2）8；（3）2an 2am
n
+ 【解析】 【分析】
（1）根据题中描述，画出线段AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，然后作点B 关于直线DE 的对称点F.
（2）连接BD 、DE ，根据点B 与点F 关于直线DE 对称，所以可得DEB
DEF
S S
1==，因为
DE 将△BDC 面积分成了两部分，分别是DEB S
与DEC S
，易证得
DEB DEC
1
S
3
S BE EC =
=，可得DEC
S
3=，所以S
4BDC
=，因为D 为AC 中点，易证S S
=28ABC
BDC
=；
（3）因为DEB DEF
S
S
=a =由（2）可得
DEB DEC
S S
BE
EC
=
，根据DEB
S a =，
BE EC n
m
=，可得：DEC S
am n =
，所以S BDC
am am an
a n n
+=+=，又因为D 为AC 中点，易证22=S 2S ABC BDC am an
n
+=
. 【详解】
解：（1）如图即为所求：
（2）连接BD 、DE ，
∵点B 与点F 关于直线DE 对称， ∴△DEB 与△DEF 关于直线DE 对称， ∴DEB
DEF
S
S
1==，
∵设△BDC 中BC 边上的高为h ， 则：DEB
1
2
S
BE h =
⋅⋅，DEC
1
2
S EC h =⋅⋅， ∴
DEB DEC
1
12S 132
S
BE h
BE EC EC h ⋅⋅===⋅⋅，
∴DEC
S 3=， ∴DEB
DEC
S
=4S
S
BDC
+=，
∵D 为AC 中点， ∴S
S
=28ABC
BDC
=；
（3）由题可得DEB
DEF
S S
=a =，
由（2）可得DEB DEC
S S
BE
EC
=
， ∵DEB
S a =，
BE EC n
m
=， ∴DEC
S
am n
=
，
∴S
BDC
am am an
a
n n
+
=+=，
∵D为AC中点，
∴
22
=S2
S
ABC BDC
am an
n
+
=.
【点睛】
本题考查轴对称图形的性质以及三角形面积之间的关系，掌握两个轴对称图形全等是本题做题关键，在一个三角形中如果经过其中一个顶点的直线将两个三角形分成两部分，则这两部分的面积比，与对应底边的线段之比是相等的.
29．（1）3
2
2
；（2）当
5
1
2
t≤≤时，P到△ABC的距离等于线段PA的长度；（3）当t>5
时，点P到△ABC的距离大于5
【解析】
【分析】
（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，根据A、B、C三点的坐标求出△AMB为等腰直角三角形，继而求出∠OBN=45°，即可得到ON的长度；
（2）过点A分别作AB与AC的垂线，与x轴分别交于点D、E，当P运动到D、E之间时，P到△ABC的距离等于PA的长度，求得AD、AE的长度即可得到取值范围；
（3）由（1）可知P点只能在E点右侧，作PG⊥AC，作GH⊥x轴，利用三角形相似求出G点的横坐标为4，且HP=2FE=1，由此求出t的取值范围.
【详解】
（1）作AM⊥BC，ON⊥AB，
由(2,1),(0,3),(6,3)
A B C得BC∥x轴，
∴AM=BM=2
∴△AMB为等腰直角三角形，∠ABM=45°∴∠OBN=45°
∴
3 ON OB sin452
2
︒
=⨯=
（2）作AF⊥x轴，过点A分别作AB与AC的垂线，与x轴分别交于点D、E
当P运动到D、E之间时，P到△ABC的距离等于PA的长度
△ADF中，∠ADF=45° DF=AF=1，故点D横坐标为1
∵△AFE~△CMA
∴FE AM1 AF MC2
==
∴FE=1
2
，故点E的横坐标为
5
2
∴当
5
1t
2
≤≤时，P到△ABC的距离等于线段PA的长度
（3）直线AC的方程为
1
2 y x =
32 5
2ON
>=，P点只能在E点右侧，作PG⊥AC，作GH⊥x轴
△AFE~△GHP
AF AE FE1
GH GP HP2
===
故GH=2，又直线AC的方程为
1
2 y x =
当y=2时，1
2
2
x=得x=4，
∴G点的横坐标为4，且HP=2FE=1
故点P 的横坐标为5
当t>5时，点P 到△ABC 的距离大于5
【点睛】
此题考查点到线的距离，利用三角函数、相似求得对应的边长，（2）中点P 到△ABC 的距离等于线段AP 的长度即点P 到AB 、AC 的距离都大于AP 的长度，由此求值即可得到t 的取值范围；（3）中）由（1）可知P 点只能在E 点右侧，作PG ⊥AC ，作GH ⊥x 轴，利用三角形相似求出G 点的横坐标为4，且HP=2FE=1，由此求出t 的取值范围.
30．144
【解析】
【分析】
根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC ：DM ＝6：1，即36:1ABC FDM S ∆∆=：S ，从而得到△ABC 面积．
【详解】
解：过M 作BC 的平行线交AB 、AC 于D 、E ，过M 作AC 的平行线交AB 、BC 于F 、H ，过M 作AB 的平行线交AC 、BC 于I 、G ，
∵1∆，2∆，3∆的面积比为4：9：49，
∴他们对应边边长的比为2：3：7，
又∵四边形BDMG 与四边形CEMH 为平行四边形，
∴DM ＝BG ，EM ＝CH ，
设DM 为2x ，则ME ＝3x ，GH ＝7x ，
∴BC ＝BG ＋GH ＋CH ＝DM ＋GH ＋ME ＝2x ＋3x ＋7x ＝12x ，
∴BC ：DM ＝12x ：2x ＝6：1，
由面积比等于相似比的平方故可得出：36:1ABC FDM S ∆∆=：S ，
∴36364144ABC FDM S S ∆∆=⨯=⨯= ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．。