“反例法”在中学数学解题中的应用

“反例法”在中学数学解题中的应用
江苏兴化市海河学校（225700）张庆大
［摘要］在数学解题中应用“反例法”可以有效提高解题效率，拓宽解题思路.教师在课堂教学和问题训练中应让学生充分体会反例，进一步训练学生的辩证思维.
［关键词］中学数学；反例法；解题
［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2020）17-0014-02
在数学教学中，师生往往是指出正确的命题，并
专注于获得正确的解决方案，而忽略了如何找出错
误.举反例是发现并纠正错误的普遍方式.反例可以
丰富和深化学生的抽象理解，特别是对一些数学理论
的掌握大有裨益；反例也可以形成清晰认知，特别是
对数学性质、概念、定理等的理解.教师列举的反例必
须遵循从一般到特殊的原则，并具备形象化、直观性、
代表性等诸多特性，使学生容易学习、掌握、理解，学
生的感知印象能够在理解反例中得以增加，使学生透
彻理解所学的知识.
一、反例的概念
在数学中，反例一般指的是对某理论和概念的结
论相反的例子，但其条件完全相同.从某种程度上说，
所有例子都可以作为反例来使用，因为它总是可以指
出一定的命题是错误的.然而，我们所研究的反例，它
是一种基于已在数学领域被证明并且具有一定作用
的理论和逻辑推理的反面教材.一个反例可以看作是
证明的特殊方法.一般来说，反例有许多个，我们列举
反例时，只需要选出其中的一个就可以了.数学的反
例可以分成下面的几种.
1.基本形式的反例
数学命题可以分成四种基本的形式：全称否定
判断，全称肯定判断，特称否定判断，特称肯定判断.
（如表1）.
表1数学命题的基本形式
项目类型标准
A
全称肯定判
断
所有S都是
P
B
特称否定判
断
有S不是P
C
全称否定判
断
所有S都不
是P
D
特称肯定判
断
有S是P
注：其中A和B可以相互成为反例，C和D可以相互成为反例
2.关于必要条件假言判断和充分条件假言判断的反例
充分条件就是某种事物是另一种事物的充分条件，前者可以推出后者.能够表述为“P→Q”，即“有P 必然有Q”.反过来“没有P，不一定说明没有Q”.能够举出反例“没有P，却可以有Q”.这种反例则称为关于充分条件假言判断的反例.
必要条件就是某一种事物是另一种事物的必要条件，后者能推出前者.能够表述为“P←Q”，也就是说“没有P，一定没有Q”，但是“有了P，却不一定有Q”.能够举出反例“有了P，没有Q”.
3.条件变化型反例
条件变化型反例是在数学命题中的条件改变后发生的，且结论与原先条件下会有不同.条件的变化可以分为较多的形式.如命题条件的增减以及相应参数的改变.这样的反例形式对于教学和理论的研究有着较大的作用.
二、反例的作用
通过举出反例的方法，可以进一步促进新的方法和概念的产生.在数学的历史发展过程中，很多理论的更新以及创造都是由反例得出的.这也让反例在数学领域不断被应用，并起到重要的作用.在数学定理和概念中有许多结构复杂的情况，贯穿其中的结论，有时很难理解.反例可以使概念更加清晰、明确，并能使定理、结论之间的充分性和必要性非常明显.数学中有特别多这样的反例.数学是一门严谨的学科，有很强的学科性，有自己独特的思维特色和独立的逻辑推理体系，不能仅仅凭借着直观和客观去了解和理解它，这样会对其形成模糊的认知.然而数学教学的过程中，让学生了解严谨的逻辑推理和思维特点的同时，还应该掌握各类的反例，这样才能够使学生牢牢巩固数学基础知识和基本技能，提高数学修养与培养科学思维及创新能力.
数学·解题研究
三、构造反例的方法1.分类法
分类是数学思维的一种非常重要的方式.通过将一堆事物进行归类，将其中具有一定特征的事物放到一起的方法就叫作分类法.它可以减少寻找反例的范围，避免盲目使用反例进行论证.如何利用分类法列举出反例就成了关键问题.一般地，可以先把题设条件分成甲、乙两大类，命题成立属于甲类，命题不成立属于乙类；然后再在乙类中举出一个相反的例子.
［例1］命题“平面外的两条平行线在该平面内的射线是平行线”对吗？为什么？
分析：这个命题在已经给出的条件下看似正确，但是却没有考虑两条平行线是否与平面平行.这样很容易举出反例进行说明.
如图1所示，当两条平行线a 、b 都与平面α垂直时，它们在α内的射影为两个不同点A 、B ，而不是两条相互平行的线.因此该命题是错误的.
分类法可以有效识别命题中的条件，并且可以避免遗漏相关条件以至于推出的结论出现错误.
2.特殊化法
特殊化法就是在命题的条件下，举出一些较为特殊和极端的例子，以证明该命题是否正确.
［例2］不等式||x -1+||x +2<5的解集是（）.
A .（-3，2）
B .（-1，2）
C .（-2，1）
D .()
-32,-7
2
分析：把x =-2代入不等式中可知x =-2是它的一个解，所以B 、C 、D 都不对，故选A .
由本题x =-2就是B 、C 、D 的一个反例.可以看出举反例是解选择题的一种巧妙方法.
3.穷举法
［例3］命题“在△ABC 中，BC 边上的高AD 等于
BC ，H 是垂心，M 是BC 的中点，则MH +DM =1
2
BC ”是
否正确？为什么？
分析：这道题的易错点在于，常规的方法只考虑角B 和角C 小于90°的情况，而忽略了其他的情况.
当∠C =90°时，如图2所示
.
图2图3
易证MH +DM =BC ，于是原命题不成立.当∠ACB >90°（如图3），
∵Rt△ADC ~Rt△BDH.
∴AD BD =DC DH ，即AD ·DH =BD ·DC ∵AD =BC ，BM =MC ，
∴BD =DM +12BC ，DC =DM -1
2
BC .
代入可得AD ·DH =()DM +12BC ()
DM -1
2
BC .
把DM 2=MH 2-DH 2代入整理得
MH -DH =1
2
BC.
即当∠ACB 是钝角时，命题不成立.
关于三角形的命题，在解答时不能只考虑一种角度，而是要考虑多种角度在命题条件下是否成立.
4.推理分析法
推理反例主要是通过命题给出的条件，根据相关的理论和原理推出相应的结论.
［例4］命题“设△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a +1a =b +1b =c +1c ”，则△ABC 是正三角形”对吗？为什么？
分析：由已知得a -b =1b -1
a ，即（a -
b ）（ab -1）=0.
∴a =b 或ab =1.可设a =2，b =1
2
，c =2可构成三角形，也
满足条件a +1a =b +1b =c +1
c
.但不是等边三角形，
故原命题不成立.
这些都是常见的解决实际应用题的方法，对学生的思维训练非常好.国外研究者对于反例的作用早有阐释，并且证明其在应用中可以激发学生去探索数学奥秘.因此，在课堂教学和习题训练中让学生充分体会反例，有利于学生有效学习，能进一步训练学生的辩证思维.
［参考文献］
［1］黄建桥.巧用反例学习数学：论初中数学教学反例的运用
［J ］.教育界：综合教育研究，2018（1）：77-78.
［2］卢成，俞春.三视图表示的几何体不唯一的另一反例［J ］.
中学数学教学，2017（6）：29.
（责任编辑黄桂坚
）
图1
数学·解题研究。