《概率论与数理统计》第一章考点手册

《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
考点1 随机事件基本概念（★三级考点，选择、填空）
1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。

2.样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。

3.随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A 、B 、C 。

4.任何事件均可表示为样本空间的某个子集。

5.基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。

6.事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。

7.两个特殊事件:
1）必然事件：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。

2）不可能事件：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。

考点2 事件的关系与运算（★三级考点，选择、填空）
1.包含关系：“事件A 发生必有事件B 发生”
记为A ⊂B ，称A 包含于B 。

A ＝
B ⇔A ⊂B 且B ⊂A.
2.和事件：“事件A 与事件B 至少有一个发生”，记作A ⋃B
3.积事件:事件A 与事件B 同时发生，记作A ⋂B ＝AB
A 和
B 的公共部分
4.互斥的事件：即事件A 与事件B 不可能同时发生。

AB ＝φ
5.差事件：A －B 称为A 与B 的差事件,表示事件A 发生而事件B 不发生
6.互逆的事件：A ⋃B ＝Ω,且AB ＝φ。

B A B A 易见，称为称为A 的对立事A 记作B =-=
7.事件的运算
交换律：A ⋃B ＝B ⋃A ，AB ＝BA
结合律：(A ⋃B)⋃C ＝A ⋃(B ⋃C)，(AB)C ＝A(BC)
3、分配律：(A ⋃B)C ＝(AC)⋃(BC)，(AB)⋃C ＝(A ⋃C)(B ⋃C)
4、对偶律：
考点3 频率（★三级考点，选择、填空）
1.在相同条件下，事件A 在n 次重复试验中发生m 次，则称比值m/n 称为事件A 在n 次试验中发生的频率，记为fn(A)。

考点4 概率的定义与性质（★★二级考点，选择、填空）
1.若对随机试验E 所对应的样本空间Ω中的每一事件A ，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件：
(1)非负性：P(A) ≥0；
(2)规范性：P(Ω)＝1；
(3)可列可加性：若事件A 1，A 2，…,两两互斥，即A i A j ＝φ，(i ≠j),i,j ＝1,2,…,有P(A 1⋃A 2⋃…)＝P(A 1)＋P(A 2)+….
则称P(A)为事件A 的概率。

2.概率的性质：
(1)P(Φ)=0；
(2)有限可加性：设事件A 1，A 2，…A n 两两斥，即A i A j ＝φ，(i ≠j),i,j ＝1,2,…,n,则有P(A 1⋃A 2⋃…⋃A n )＝P(A 1)＋P(A 2)+…P(A n );
(3)互补性：P(A)＝1－P(A)
(4)单调不减性：若事件A B Ì，则
P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥P(A)
(5)加法公式：对任意两事件A 、B ，有
P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n 个事件A1，A2，…，An 的情形；
考点5 古典概型（★★★一级考点，选择、填空、综合、应用）
1.古典概型：若某试验E 满足：
1）有限性：样本空间},...,,{21n w w w =W
2）等可能性：})({...})({})({21n P P P w w w ==
则称E 为古典概型也叫等可能概型。

则，
.
)()(1基本事件总数中包含基本事件数
A n k P A P k r i r ===å=w
考点6 条件概率（★★★一级考点，选择、填空、计算、应用）
设A 和B 是两个事件，且P(B)＞0，称
)()
()|(B P AB P B A P =
称为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。

考点7 乘法公式（★★★一级考点，选择、填空、计算）
设A 、B ∈Ω，P （A ）>0,P(B)>0时，则
P(AB)＝P(A)P(B|A)。

P(AB)＝P(B)P(A|B)。

称为事件A 、B 的概率乘法公式。

考点8 全概率公式与贝叶斯公式（★★★一级考点，选择、填空、计算、应用）
1.事件组B 1，B 2，…，B n (n 可为∞)，称为样本空间Ω的一个划分，若满足：
则对任何事件A ∈Ω有
∑=n
i i i B A P B P A P 1)
|()()(＝
2.贝叶斯公式
设B 1，…,B n 是Ω的一个划分，且P(B i )>0，(i ＝1，…，n)，则对任何事件A ∈Ω，有
)
,...,1(,)
|()()
|()()|(1n i B A P B P B A P
B P A B P n j j j i i i ==å=
称为贝叶斯公式。

考点9 事件的独立性（★★★一级考点，选择、填空、计算）
1.设A 、B 是两事件，P(A)≠0,若
P(B)＝P(B|A)则称事件A 与B 相互独立。

表明事件B 的发生不影响A 的发生。

2.判断：P(AB)＝P(A)P(B)
3.以下四件事等价：
(1)事件A 、B 相互独立；(2)事件A 、B 相互独立；
(3)事件A 、B 相互独立；(4)事件A 、B 相互独立；。