第十四讲 乘除法的巧算1 四年级数学思维拓展 教师版

第14讲乘除法的巧算
积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将因数(或被除数、除数)转化成整百、整千的数，或者使算式中的一些数变得易于心算，从而简化计算。

例1计算(1)25×5×64×125 (2)75×16
解 (1)25×5×64×125
=25×5×2×4×8×125
=(25×4)×(5×2)×(8×125)
=100×10×1000
=1000000
(2)75×16
=3×25×4×4
=(3×4)×(25×4)
=12×100
=1200
【思路点拨】5的好朋友是2,25的好朋友是4,125的好朋友是8。

因为它们相乘后，得到的都是整十整百整千的数。

根据乘法交换律、结合律，可交换题中因数的位置重新分组求积。

因为25×4,5×2,125×8可以“凑整”,所以第(1)题将64分解成2×4×8;第(2)题将75分解成3×2516分解成4×4,可以使计算简便。

例2(1)125×(10+8) (2)(20-4)×25 (3)4004×25 (4)125×798
解(1)125×(10+8)
=125×10+125×8
=1250+1000
=2250
(2)(20-4)×25
=20×25-4×25
=500-100
=400
(3)4004×25
=(4000+4)×25
=4000×25+4×25
=100000+100
=100100
(4)125×798
=125×(800-2)
=125×800-125×2
=100000-250
=99750
【思路点拨】凑整是简便运算的一种基本思维方式，上面这些题目都可以运用，同时结合乘法的运算定律来计算。

它们都可以用乘法分配律来计算，因为乘法。

分配律对两个数的差与一个数相乘的情况同样适用，即(a-b)×c=axc-bxc。

可以把一个因数看做是两个数的和，再与另一个因数相乘；也可以把一个因数变为两个数的差，再与另一个因数相乘。

比如第(3)和第(4)就可以这样思考。

例3计算(1)146×31÷73×75 (2)1248÷96×24 (3)1000÷(125÷4)
解 (1)146×31÷73×75
=146÷73×31×75
=2×75×31
=150×31
=4650
(2)1248÷96×24
=1248÷(96÷24)
=1248÷4
=312
(3)1000÷(125÷4)
=1000÷125×4
=8×4
=32
【思路点拨】有时候计算的顺序是可以在适当的范围内交换和改变的。

比如这里的乘除混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换乘数或除数的位置。

如果要在除号后面加括号，后面是乘号的要变成除号，是除号的要变成乘号。

如果要去掉除号后面的括号，括号里的乘号要变成除号，除号要变成乘号。

例4计算(1)625÷25 (2)58500÷900
解 (1)625÷25
=(625×4)÷(25×4)
=2500÷100
=25
(2)58500÷900
=(58500÷100)÷(900÷100)
=585÷9
=65
【思路点拨】首先要观察这些算式的特征，熟练地记住一些常用的运算公式、定律、性质。

这里要运用的是商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外）商不变。

利用这一性质可以使一些除法计算简便
例5 计算(1)(350+165)÷5 (2)(702-213-414)÷3 解 (1)(350+165)÷5
=350÷5+165÷5
=70+33
=103
(2)(702-213-414)÷3
=702÷3-213÷3-414÷3
=234-71-138
=25
【思路点拨】其实除法是没有分配律的，可是某些时候除法可以借鉴乘法分配律的思维方法。

就是说，两个数的和(差)除以一个数(在都能整除的情况下),可以用这个数分别去除这两个数，再求两个商的和(差),比如(48+200)÷4=48÷4+200÷4=12+50=62。

要注意的是，不可以这样理解： 一个数除以两个数的和(差)等于这个数分别除以两个数再相加(减),比如12÷(2+1)不等于12÷2+12÷1。

用简便方法计算下面各题。

(1)184×17+184×83 (2)981+5×9810+49×981 (3)496×837-496×637
(4)248×68-17×248+248×48 (5)9999×7778+3333×6666
(6)(125×99+125)×16 (7)25×64×125 (8)301×467
(9)(36+66)×(172÷4)+4 (10)234×124000+766000×124
(11)56000÷(14000÷16) (12)45000÷(25×90) (13)37500÷4÷25
(14)9600÷25 (15)125×91÷25 (16)871×364÷182
(17)204×312÷197÷312×197÷204 (18)(10000-1000-100-10)÷10
(19)(30+32+34+36+38+40)÷5 (20)8÷7+9÷7+11÷7 【答案】1.18400 2.98100 3.99200 4.24552 5.99990000 6.200000 7.200000
8.140567 9.4400 10.124000000 11.64 12.20 13.375 14.384 15.455 16.1742 17.1 18.889 19.42 20.4
1.计算：(1)153×24+153×76: (2)1347×99。

【答案】 (1)原式=15300;(2)原式=133353。

提示：(1)仔细观察，原式中其实就是24个153加上76个153,一共是100个153,153×24+153×76=153×(24+76)=153×100=15300;
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同步精练
(2)1347×99=1347×(100-1)=134700-1347=133353。

2.计算：(1)64×125; (2)25×32×125。

【答案】 (1)原式=8000;(2)原式=100000。

提示：(1)64×125=8×8×125=8×(8×125)=8×1000=8000;
(2)同样也可以将32拆分为4×8,一个8和125相乘是1000,另外一个4和25相乘是100,所以结果是100000。

3.计算：248×68-16×248+248×48。

【答案】原式=24800。

提示：248×68-16×248+248×48
=248×(68-16+48)=248×100=24800。

4.计算：(1)14200÷25; (2)145000÷125。

【答案】 (1)原式=568;(2)原式=1160。

提示：(1)14200÷25=14200÷(100÷4)=14200÷100×4=142×4=568;
(2)145000÷125=145000÷(1000÷8)=145000÷1000×8=145×8=1160。

5.计算：(1)981+5×9810+49×981； (2)(125×99+125)×16。

【答案】 (1)原式=98100;(2)原式=200000。

提示：(1)981+5×9810+49×981=981+50×981+49×981=981×(1+50+49)=98100;
(2)(125×99+125)×16=125×100×8×2=200000。

6.计算：(1)56000÷(14000÷16); (2)45000÷(25×90)。

【答案】 (1)原式=64;(2)原式=20。

提示：(1)56000÷(14000÷16)=56000÷14000×16=4×16=64;
(2)45000÷(25×90)=45000÷25÷90=45000÷90÷25=50O÷25=20。

7.计算：(1)37500÷4÷25; (2)9600÷25 (3)125×91÷25。

【答案】(1)原式=375;(2)原式=384;(3)原式=455。

提示：(1)37500÷4÷25=37500÷(4×25)=37500÷100=375;
(2)9600÷25=9600÷(100÷4)=9600÷100×4=96×4=384;
(3)125×91÷25=125÷25×91=5×91=455。

8.计算：(1)(10000-1000-100-10)÷10; (2)(30+32+34+36+38+40)÷5;
(3)8÷7+9÷7+11÷7。

【答案】 (1)原式=889;(2)原式=42;(3)原式=4。

提示：(1)(10000-1000-100-10)÷10=1000-100-10-1=889;
(2)(30+32+34+36+38+40)÷5=70×3÷5=42;
(3)8÷7+9÷7+11÷7=(8+9+11)÷7=28÷7=4。

9.计算：871×364÷182。

10.计算：216÷24×6。

9.【答案】原式=1742。

提示：871×364÷182=871×(364÷182)=871×2=1742。

10.【答案】原式=54。

提示：216÷24×6=216÷4÷6×6=54。