高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》难题汇编及答案解析

高中数学《数列》复习知识点
一、选择题
1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，
得810
2
16a q a =
=，得q 2＝2. ∴4
624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，
又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()111116
1111442
b b S b
+⨯=
==.
故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.
2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列
{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(),3-∞-
B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1
21
n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】
∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，
∴2
n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，
∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2
2
110n n n
n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，
∴1
21
n λ<-
+对*n N ∈恒成立， ∴13
λ<-.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且
*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列
(){}5n
f ()*
n N ∈的前2020项的和为（ ）
A ．1010
5
1+
B ．1010514-
C ．1010512
-
D ．101051-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】
解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n
n
n f =-=； 当n 为奇数时，1
1
1222(5)5545n n n n f +--=-=⨯， 所以01100920204(555)S =++⋯+，
101051451
-=-g ，
101051=-．
故选：D 【点睛】
本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
4．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
2131
n n A n B n -=+，则
3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}
(1)n
n a -的前40
项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80
【答案】B 【解析】 【分析】
先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式
作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}
(1)n
n a -，两两组
合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362
a a S +=
= ，
∴134a a +=，①
∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，
∴{}
(1)n
n a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，
故选：B . 【点睛】
本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题
6．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,, (2222222222)
n
n n ，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2
C ．
111989
2
D ．
1120192
【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2
m -， 所以第12个括号里的第995项是111989
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =-，则9S =（ ） A ．993 B ．766 C ．1013 D ．885
【答案】C 【解析】 【分析】
计算11a =，()1121n n a a -+=+，得到21n
n a =-，代入计算得到答案.
【详解】
当1n =时，11a =；
当2n ≥时，1121n n n n a S S a --=-=+，∴()1121n n a a -+=+，
所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，即21n
n a =-，∴
1222n n n S a n n +=-=--，
∴10
92111013S =-=．
故选：C . 【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则4
2
S S ( ) A ．3 B ．9
C ．10
D ．13
【答案】C 【解析】 【分析】
设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2
60,0q q q --=>，解得q ，
再利用求和公式即可得结果. 【详解】
设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，
Q 满足645,3,a a a -成等差数列，
()
2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，
则
()
()
4124221313131103131
a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
9．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
10．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=
（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．
123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．设数列是公差
的等差数列，
为前项和，若，则
取得最
大值时，的值为
A ．
B ．
C ．或
D ．
【答案】C 【解析】
，进而得到
，即
，
数列
是公差
的等差数列，所以前五项都是正数，
或时，
取最大值，故选C.
13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10
6
S S 等于（ ） A ．-3 B ．5
C ．-31
D ．33
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解10
6
S S 的值，得到答案. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，
可得3133663
16(1)1121(1)1118
1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105
1055
16
(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q
---===+=---. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
14．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90
C ．72
D ．24
【答案】B
【解析】
由于152436a a a a +=+=，所以1555()536
9022
a a S +⨯=
==，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
15．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
55
151
16(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
16．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）
A
．4B ．19 C ．20 D ．23
【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】
设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，
由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，2
12213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以3
7813271623a a d q +=++=+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考
查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
17．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016 B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019
S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
18．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
19．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则
16S =（ ）
A ．48
B ．90
C ．105
D ．106
【答案】C 【解析】 【分析】
根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】
由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，
所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的S 的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．
【详解】
由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，；
第二次运算：，；
第三次运算：，；
第四次运算：，；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】
本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。