2022年合肥168中学自主招生数学试题

科学素养测试
数 学 试 题
【卷首语】亲爱同窗们，欢迎参与一六八中学自主招生考试，但愿你们凝神静气，考出水平！开放一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为150分，共21题；用时120分钟。

一、选用题（本大题共8小题，每题5分,共40分）
1. 设非零实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-=+-0
42032z y x z y x
，则xz yz xy z y x ++++2
22值为（ ）
A. 2
B.
2
1
C. －2
D. 1
2. 已知两直线k x k y k kx y ++=-+=)1(,121（k 为正整数），设这两条直线与x 轴所围成三角形面积为k s ，则2014321s s s s +++值是（ ）
A.
2014
2013
B.
2015
2014
C.
2013
2014
D.
2015
1007
3. 有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观测 成果如图所示,如果记6对面数字为m ，2对面数字为n ，那么n m -2值为（ ）
A. 2
B. 7
C. 4
D. 6
4. 如图，已知△ABC 面积为36，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，且4BC CF =，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影某些面积为（ ）．
A. 8
B. 6
C. 9
D. 12
5. 设{}y x ,m ax 体现y x ,两个数中最大值，例如{}{
}107,10m ax ,33,0m ax ==，则函数}2,2max{+=x x y 可以体现为（ ）
第4题图
A. x y 2=
B. ⎩⎨
⎧≥+<=)2(2)
2(2x x x x y
C. 2+=x y
D. ⎩⎨
⎧<+≥=)
2(2)
2(2x x x x y
6. 在平面直角坐标系中作OMN ∆，其中三个顶点分别是O(0,0)，M(1,1)，N(x,y)22,22(≤≤-≤≤-y x ,x,y 值均为整数），则所作OMN ∆不是直角三角形概率为（ ）
A.
5
2
B.
4
3
C.
5
3
D.
6
5 7. 如图，以半圆一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若3
2
=DB AD ，且10=AB ，则CB 长为（ ） A. 54
B. 34
C. 24
D. 4
8. 矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿C→B 以2cm/s 速度运动至B 点停止，动点F 从点C 同步出发沿C →D 以1cm/s 速度运动至点
D 停止．如图可得到矩形CFH
E ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩
形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余某些面积为y (单位：2
cm )，则能大体反映y 与x 之间函数关系图象是下图中（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
A
D F C
E
H
B
（第8题图）
O
D C
B
A 第7题图
第9题图
二、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分）
9. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,CE 是BCD ∠平分线，且AB CE ⊥,E 为垂足，BE =2AE ，若四边形AECD 面积为1，则梯形ABCD 面积为_______；
10. 分解因式：=-++-2
222n n m mn m ________________； 11. 已知b a ,为有理数，且满足b a +=+334
21
，则b a -=______； 12. 已知抛物线bx x y +=
2
2
1通过点A(4,0)，设点C （1，3-）
，请在抛物线对称轴上拟定一点D,使得CD AD -值最大，则D 点坐标为___________；
13. 若)(,2121x x x x <是方程)(1))((n m n x m x <=--两个根，则实数n m x x ,,,21大小关系为_______________；
14. 如图，点D ，E 分别是△ABC 边AC ，AB 上点，直线BD 与CE 交于点F ，已
知△CDF ，△BFE ，△BCF 面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 面积是
_________;
15. 如图，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ．下列四个结论：
1
902
BOC A ∠=∠①°+；
②觉得E 圆心、BE 为半径圆与觉得F 圆心、CF 为半径圆外切； ③设OD m AE AF n =+=，，则mn S AEF 2
1
=∆； ④EF 不能成为ABC △中位线．
E
D
B C A A
D F
C
Ｂ
Ｏ
Ｅ
第15题图
第14题图
其中对旳结论是_____________．（把你觉得对旳结论序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （12分）
（1）已知y 为实数，且
2)3(33
22
=---y y y
y ，求232+-y y 值； （2）b a b a m b a m b a +-⨯--=-++--+19919932253，求m 值。

17. （12分）
已知三角形三边长为三个持续正整数，并且有一种内角为另一种内角2倍，求这个三角形三边长。

18. （12分）
如图，在直角三角形ABC 中，
30,35,90=∠==∠C BC B ,点D 从点C 出发，沿
CA 方向以每秒2个单位速度向点A 匀速运动，同步，点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长速度向B 匀速运动，当其中一种点达到终点时，另一种点也随之停止运动。

设点D 、E 运动时间是t 秒)0(>t ，过点D 作BC DF ⊥于点F ，连接DE 、EF 。

（1）四边形AEFD 可觉得菱形吗？如果能，求出相应t 值；如果不能，阐明理由。

（2）当t 为什么值时，DEF ∆为直角三角形？请阐明理由。

第18题图
19. （13分）
如图(1)，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在AD （含端点）上，落点记为E ，这时，折痕与边BC 或边CD
（含端点）交与点F ，然后再展开铺平，则以点B 、E 、F 为顶点
BEF ∆称为矩形ABCD“折痕三角形”。

（1）如图(2)，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当它“折痕BEF ∆”顶点位于边AD 中点时，画出“折痕BEF ∆”，并求出点F 坐标；
（2）如图(3)，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形与否存在面积最大“折痕BEF ∆”？若存在，求出点E 坐标，若不存在，阐明理由。

20. （13分）
某县城一楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售），商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米售价增长40元；反之，从第八层起楼层每下降一层，每平方米售价减少20元，已知商品房每套面积均为120平方米，开发商为购买者制定了两种购房方案。

方案一：购买者先缴纳首付金额（商品房总价30%），再办理分期付款（即贷款）； 方案二：购买者若一次性付清所有房款则享有8%优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）
（1）请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x x x ,232(≤≤是正整数）之间函数解析式； （2）小王已筹到10元，若用方案一购房，她可以购买哪些楼层商品房？
（3）有人建议老李使用方案二购买第十六层，但她觉得此方案还不如不免收物业管理费而直接享有9%优惠划算，你觉得老李说法对旳吗？请阐明理由。

21. （13分）
如图，已知抛物线)0(32
>++=a c ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交与A 、B 两点，点A 在点B 左侧，点B 坐标为（1,0），OC=3OB 。

（1）求抛物线解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上动点，求四边形ABCD面积最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，与否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边平行四边形？若存在，求点P坐标，若不存在，请阐明理由。

第21题图。