高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教案(含解析)

§9.2 两条直线的位置关系
考情考向分析 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点．
1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2， 则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
的解．
2．几种距离
(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离
P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2.
概念方法微思考
1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？
提示 当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12·l l k k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．
2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示 (1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )
(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )
(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k
2
.( × ) (5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1
k
，且线段AB 的中
点在直线l 上．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P106T8]已知点(a ,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 答案
2－1
解析 由题意得|a －2＋3|
1＋1
＝1.
解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.
3．[P93T7]已知P (－2，m )，Q (m ,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1
解析 由题意知m －4
－2－m
＝1，所以m －4＝－2－m ，
所以m ＝1.
4．[P95T3]若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝2.
所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.
题组三 易错自纠
5．若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝________. 答案 2或－3
解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ≠0且2m ＝m ＋13≠4
－2，故m
＝2或－3.
6．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______． 答案
32
4
解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋1
2
＝0，
则两平行线间的距离为d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－122＝
32
4
.
7．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．
解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，
l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；
当a ＝0时，l 1：y ＝－3，
l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；
当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a
2
x －3，
l 2：y ＝
1
1－a
x －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，
解得a ＝－1，
综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，当a ≠－1时，l 1与l 2不平行． 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2
－1)－1×6≠0， ∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
a (a －1)－1×2＝0，
a (a 2
－1)－1×6≠0，
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－a －2＝0，a (a 2
－1)≠6，
可得a ＝－1，
故当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ≠－1时，l 1与l 2不平行． (2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，
l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；
当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，
l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a
x －(a ＋1)，
由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a
＝－1，得a ＝23.
方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝2
3
.
思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练1(1)(2019·如皋调研)已知直线l 1：ax －y ＋2a －1＝0和l 2：3x －(a －2)y ＋5＝0平行，则实数a 的值为________． 答案 －1
解析 当两直线平行时，有⎩⎪⎨
⎪⎧
－a (a －2)＝－3，5a ≠3(2a －1)，
解得a ＝－1.
(2)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． ①l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
②l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 ①∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，
又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.
故a ＝2，b ＝2.
②∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b
＝1－a .
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b
＝b .
故a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
题型二 两直线的交点与距离问题
1．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是________． 答案 －2
3
解析 由题意易知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y
＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，
所以由中点坐标公式得k ＝－23
.
2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________． 答案
29
10
解析 因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由
题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82
＝2910，所以PQ 的最小值为29
10. 3．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－1
2x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是
________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－1
2x ＋2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋1
2k ＋1.
(若2k ＋1＝0，即k ＝－1
2，则两直线平行，不合题意)
∴交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪
⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.
又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2－4k 2k ＋1>0，
6k ＋1
2k ＋1>0，
解得－16<k <1
2
.
方法二 如图，已知直线y ＝－1
2
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．
而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为
k 的动直线．
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA <k <k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.
∴－16<k <1
2
.
4．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________________． 答案
()1，－4或⎝
⎛⎭
⎪⎫277，－8
7
解析 设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，
∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋1
4－2
＝－1，
∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.
∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0. ①
又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴
|4a ＋3b －2|
42＋3
2
＝2，即4a ＋3b －2＝±10，
② 由①②联立解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝27
7，b ＝－8
7.
∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫27
7，－87.
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例2过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0
解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称
例3 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．
答案 210
解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对
称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22
＝210.
命题点3 直线关于直线的对称问题
例4 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是______________． 答案 x －2y ＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝y －2，
y 0＝x ＋2，
由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.
思维升华解决对称问题的方法 (1)中心对称
①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝2a －x ，
y ′＝2b －y .
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
n －b m －a ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n
2
＋C ＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练2已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －2
2
＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3313，y ＝4
13，
即A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413.
(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
13，b ＝30
13，
即M ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫613，3013.
设m 与l 的交点为N ，则由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0，
得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．
易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，
则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )， ∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
妙用直线系求直线方程
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系． 一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
例1求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程． 解 由题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解． 例2求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．
解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C ＝0，又直线过点A (2,1)，
所以有2－2×1＋C ＝0，解得C ＝0， 即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系
例3求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．
解 方法一 将直线l 1，l 2的方程联立，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2，
即直线l 1，l 2的交点为(－1,2)．
由题意得直线l 3的斜率为3
5，又直线l ⊥l 3，
所以直线l 的斜率为－5
3，
则直线l 的方程是y －2＝－5
3
()x ＋1， 即5x ＋3y －1＝0.
方法二 由于l ⊥l 3，所以可设直线l 的方程是5x ＋3y ＋C ＝0，将直线l 1，l 2的方程联立，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝2，
即直线l 1，l 2的交点为(－1,2)，则点(－1,2)在直线l 上，
所以5×(－1)＋3×2＋C ＝0，解得C ＝－1， 所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
方法三 设直线l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 整理得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.
由于l ⊥l 3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝1
5，
所以直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.
1．已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m ＝________. 答案 －1或3
解析 当m ＝0时，显然不符合题意； 当m ≠0时，由题意得，m －21＝3m ≠2m
7
， 解得m ＝－1或m ＝3.
2．若m ∈R ，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
解析 由log 6m ＝－1得m ＝1
6，若l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则两
直线斜率相等或斜率不存在，解得m ＝0或m ＝1
6，则“log 6m ＝－1”是“直线l 1：x ＋2my －1
＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行”的充分不必要条件．
3．已知过点A (－2，m )和B (m ,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为________． 答案 －10
解析 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m
m ＋2＝－2，解得m ＝－8.
又因为l 2⊥l 3，所以－1
n
×(－2)＝－1，
解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.
4．过点M (－3,2)，且与直线x ＋2y －9＝0平行的直线方程是________．
答案 x ＋2y －1＝0
解析 方法一 因为直线x ＋2y －9＝0的斜率为－1
2，
所以与直线x ＋2y －9＝0平行的直线的斜率为－1
2，
又所求直线过M (－3,2)，
所以所求直线的点斜式方程为y －2＝－1
2(x ＋3)，
化为一般式得x ＋2y －1＝0.
方法二 由题意，设所求直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，将M (－3，2)代入，解得c ＝－1，所以所求直线方程为x ＋2y －1＝0.
5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________． 答案
82
3
解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴
1a －2＝a 3≠6
2a
，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3
＝0，
∴l 1与l 2的距离d ＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝
82
3
.
6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________． 答案 (0,2)
解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．
7．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)
解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0， 即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y －6＝0，x －y ＝0，
易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.
答案
345
解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧
3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－1
2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3
5
，n ＝31
5，
故m ＋n ＝34
5.
9．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________________． 答案 x ＋2y －3＝0
解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－1
0－1＝2，
所以两平行直线的斜率为k ＝－1
2，
所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.
10．直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________． 答案 x －2y ＝0
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ＋3，
y ＝x ＋1，
解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， 所以可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.
在直线l 上取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|
22
＋1， 解得k ＝1
2(k ＝2舍去)，
所以直线l 2的方程为x －2y ＝0.
11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.
(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2，
故直线经过的定点为M (2，－2)．
(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知PQ ≤PM ，当且仅当Q 与M 重合时，
PQ ＝PM ，
此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， ∴M 与Q 不可能重合，而PM ＝42， ∴PQ <42，故所证成立．
12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是75
10.
(1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；
②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的1
2
；
③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)直线l 2：2x －y －1
2＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)
2
＝75
10， 所以
⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝
75
10，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝7
2
， 又a >0，解得a ＝3.
(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．
若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，
且
|c －3|5＝12
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪c ＋125
，即c ＝132或11
6，
所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋11
6＝0；
若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有
|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2
， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；
由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋13
2
＝0和x 0－2y 0＋4＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝－3，y 0＝1
2，(舍去)
联立方程2x 0－y 0＋11
6
＝0和x 0－2y 0＋4＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝1
9
，
y 0
＝37
18
.
所以存在点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫19，3718同时满足三个条件．
13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为________． 答案 (2,4)
解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
y －2x ＋4×2＝－1，
y ＋22＝2×－4＋x
2
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－2，
∴BC 所在直线方程为y －1＝
－2－1
4－3
(x －3)，
即3x ＋y －10＝0.
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，
则C (2,4)．
14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为________． 答案
5
解析 联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.
把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .
∴点(m ，n )到原点的距离
d ＝m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2
＝5(n ＋2)2
＋5≥5，
当且仅当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.
15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为________________． 答案 2x －4y ＋3＝0
解析 因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线， 又A (1，0)，B (0,2)，
故AB 的中点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，k AB ＝－2， 故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，
即2x －4y ＋3＝0.
16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,4)对称，求直线l 的方程．
解 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移
3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线
l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程
为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝3
4，∴直线l
的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,4)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，8－b －3m 4，∴8－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝98.∴直线l
的方程是y ＝34x ＋9
8，即6x －8y ＋9＝0.。