辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)

辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测
模拟试题
一、单项选择题：（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.已知
()
5,3AB =-
，
()
1,3C -，2CD AB =
，则点D 的坐标是（
）
A.()11,3-
B.
()
9,3- C.
()
9,3 D.
()
4,0【正确答案】B
【分析】设点D(x,y)，根据向量的坐标运算得到CD
=（x+1,y-3），2AB
=（10，-6），根据向量相等的概念得到x=9,y=-3，进而得到结果.
【详解】设点D(x,y)，所以CD =（x+1,y-3），2AB
=（10，-6），
所以110
36x y +=⎧⎨-=-⎩
，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）.
故B
本题考查了向量加法的坐标运算，解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。

2.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
【正确答案】D 【分析】
先将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，根据旋转体的定义，可直接得出结果.【详解】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：
矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；
因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为：一个圆柱、两个圆锥.故选：D.
3.在ABC 中，A ∠
､B ∠､C ∠所对的边分别为a ､b ､c ，若π
3
A ∠=，a =b =，则
B ∠=
（）
A.
6
π
B.
π4
C.
34
π D.
π4或34
π，【正确答案】B
【分析】由正弦定理即可求得B ∠，再由大边对大角，舍去不符合要求的值，即可得到结果.
【详解】根据题意，由正弦定理sin sin a b
A B
=sin 32
B =
，
解得sin 2B =，故可得π4B =或34π，
由a b >，可得A B >，故π
4
B =.
故选:B.
4.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -=
，则向量a ，b 的夹角为（
）
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
【正确答案】C
【分析】对等式22a b -=
两边平方即可求得夹角.【详解】 |2|2a b -=
，224a b ∴-= ，
即2
2444a a b b -⋅+= ，
即2
2
44cos 4a a b b
θ-+=
，
又21b a ==
，
，48cos 44θ∴-+=，
解得1
cos 2
θ=
，[0,]θπ∈，所以60θ=︒.故选：C
5.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列四个命题中正确的是（）
A.若m n ∥，n α∥，则m α
B.若m α ，n ⊂α，则m n ∥
C.若αβ∥，m α⊂，则m β
D.若m n ∥，m α⊂，n β⊂，则αβ
∥
【正确答案】C
【分析】根据空间中，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】A 项：若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂，故选项A 不正确；B 项：若//m α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 异面，故选项B 不正确；
C 项：若//αβ，则α与β没有公共点，又因为m α⊂，所以m 与β没有公共点，所以//m β，故选项C 正确；
D 项：若//m n ，m α⊂，n ⊂α，则//αβ或α与β相交，故选项D 不正确.故选：C.
6.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（）
A.2+
B.3
C.4
+ D.6
+
【正确答案】D
【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为()
1
22262
S =+⨯+⨯=表.故选：D.
7.设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =- ，则OC =
（
）
A.1233AB AC
-+
B.2133
AB AC -
C.1233
AB AC -
D.2133
AB AC
-+
【正确答案】A
【分析】由中线向量公式得到()
12AD AB AC =+ ；由2AO DO =-
，利用线型运算得到23
AO AD = ，进而利用向量的减法运算OC AC AO =-
得到结论.
【详解】因为ABC 中BC 边上的中线为AD ，
所以()
12AD AB AC =+
，因为2AO DO =- ，所以2AO OD = ，
所以()
2O AO A AD =- ，
所以2211()()3323
AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，
所以OC AC AO AC =-= 21113333
AB AC AB AC --=-+
．
故选.A
8.如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图为A B C ''' ，已知1A O B O C O ''''''===，则ABC 的周长为（
）
A.6
B.8
C.2+
D.2+【正确答案】C
【分析】根据斜二测画法原则可还原ABC ，利用勾股定理求得,AC BC 后即可确定周长.【详解】由直观图可还原ABC 如下图所示，
其中1OB OA ==，2OC =，OC AB ⊥，
BC AC ∴===
，ABC ∴ 的周长为2AB AC BC ++=+.
故选：C.
二、多项选择题：（本大题共有4小题，每题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.下列命题正确的是（
）
A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行【正确答案】BD
【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.
【详解】对A ，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A 错误；
对B ，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确；对C ，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C 错误；对D ，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D 正确；故选：BD
10.已知向量()2,1a =r ，()3,1b =-
，则（
）
A.()
//a b a
+ B.向量a 在向量b 上的投影向量为12
b
-
C.a 与a b -
的夹角余弦值为
D.若525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则a c ⊥
【正确答案】BCD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A 选项的正误；设向量a
在向量b
上的投影向量为b λ
，根据题意得出2
a b b λ⋅= ，求出λ的值，可判断B 选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，()1,2a b +=- ，1122-⨯≠⨯ ，所以，a b + 与a
不共线，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 在向量b 上的投影向量为b λ
，则2
a b b λ⋅= ，即()2
23110λ⨯-+=，解得12
λ=-
，故向量a 在向量b 上的投影向量为12
b -
，B 选项正确；
对于C 选项，()5,0a b -=
，(
)
25
cos ,5
a a
b a a b a a b
⋅-<->==
⋅- ，C 选项正确；对于D 选项，若525,55c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则52521055a c ⎛⎫⋅=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，所以，a c ⊥ ，D 选项正确.故选：BCD.
11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（
）
A.若A B >，则sin sin A B
>B.若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则△ABC 为钝角三角形C.若cos cos a A b B =，则△ABC 一定是等腰三角形D.在锐角△ABC 中，一定有sin cos A B >【正确答案】AD
【分析】对于A ：利用大角对大边得到a b >，由正弦定理即可证明；对于B ：利用余弦定理求得
1
cos 08
C =
>，得到最大角C 为锐角，即可判断；对于C ：利用正弦定理和三角变换证明出ABC 是等腰或直角三角形，即可判断；对于D ：由锐角三角形可得ππ
022
B A <-<<，再运用sin y x =在
π
(0,2上单调递增及诱导公式运算即可判断.
【详解】对于A ：若A B >，由大角对大边得到a b >，设R 为ABC 的外接圆半径，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，得到sin A ＞sin B ，故A 正确.
对于B ：根据4,5,6a b c ===，可得2221
cos 028
a b c C ab +-==>，
又0πC <<，所以最大角C 为锐角，故ABC 为锐角三角形，故B 错误；对于C ：若cos cos a A b B =，则sin A cos A ＝sin B cos B ，可得sin 2A =sin 2B ，又0＜2A ,2B ＜π，所以2A ＝2B 或22πA B +=，即A ＝B 或π
2
A B +=，所以ABC 是等腰或直角三角形．故C 错误；对于D ：因为△ABC 为锐角三角形，
所以π02πππ0222π02B A B B A A ⎧
<<⎪⎪
⎪
+>⇒<-<<⎨⎪
⎪
<<⎪⎩
，
又因为sin y x =在π(0,)2
上单调递增，所以π
sin(
)sin 2
B A -<，即：cos sin B A <，故D 正确.故选：AD.
12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是线段11C D ，11A D ，1BD ，BC 的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（
）
A.//MN 平面APC
B.1//B Q 平面11ADD A C .
A ，P ，M 三点共线
D.平面//MNQ 平面ABCD
【正确答案】AB
【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平面的性质以及平面与平交的性质进行判断即可.
【详解】平面APC 即为平面11ACC A ，1111,MN //AC AC //AC ，即//MN AC ，而AC ⊂平面11ACC A ，因此有//MN 平面11ACC A ，所以A 正确.由平面11//BCC B 平面11ADD A ，又1B Q ⊂平面11BCC B ，故1//B Q 平面11ADD A ，所以B 正确.平面APC 即为平面11ACC A ，1,,A P C 共线，所以A ，P ，M 三点不共线；所以C 不正确.
平面MNQ 与平面ABCD 是相交的.所以D 不正确.故选：AB
本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的性质以及平面与平交的定义，属于基础题.三、填空题：（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
13.设向量()(),1,4,2a n b ==-- ，且a b ⊥ ，则实数n 的值是__________.
【正确答案】1
2
-
##0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】由()(),1,4,2a n b ==-- ，a b ⊥ ，
得420a b n ⋅=--=
，解得12
n =-.故答案为.12
-
14.已知平面向量()1,2a =-r ，()4,b y = ，
若a 与a b + 的夹角为锐角，则y 的取值范围为____________.
【正确答案】()9,88,
2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
【分析】已知条件可转化为()
0a a b +> ，且a 与a b +
不共线，利用平面向量数量积的坐标公式以及
共线公式列不等式，解出y 的取值范围．
【详解】因为a 与a b + 的夹角为锐角，所以()
0a a b +> ，且a 与a b + 不共线，
()1,2a =-r
，()5,2a b y +=- ，即()15220y ⨯-->，且()1225y ⨯-≠-⨯，
解得9
2
y <
且8y ≠-故()9,88,
2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
15.圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为____________；【正确答案】
34
π【分析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可.
【详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，
∴该圆柱的体积为23(124
V ππ=⨯=.故
34
π
16.在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24
a c
b C ==-，
.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.
【正确答案】233⎛ ⎝【分析】根据题意和余弦定理，求得224a c ac =+-，再结合余弦定理求得1
cos 2
B =，再由正弦定理可得
a A =
，c C =，化简84
sin 2363ac A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据ABC 是锐角三角形求得
6
2
A π
π
<<
，得到1sin 2,162A π骣
纟琪ú-Î琪
琪ú桫
û
，即8,43ac ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦，结合面积公式，即可求解.
【详解】由余弦定理可得224cos 424a c a c
C a +-==-，整理得224a c ac =+-，
又由2241
cos 22
a c B ac +-==，
因为()0,B π∈，所以3
B π
=
．
由正弦定理可知：sin 32b B ==
，所以a A =
，c C =，故1616216
31sin sin sin sin sin cos sin 333322ac A C A A A A A π⎛⎫⎛⎫=⋅=-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
)
28
81184
cos sin sin 2cos 2sin 23
3222363
A A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，02
2032A C A πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
，解得62A ππ<<，
可得52,6
66A π
ππ骣琪-
Î琪琪桫，所以1sin 2,162A π骣纟琪ú-Î琪琪ú桫û，故8,43ac ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，又由ABC 的面积13sin 234S ac ac π==
，所以233S ⎛∈ ⎝．
故233⎛
⎝四、解答题：（本大题共有6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
17.在ABC 中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，设AB a = ，AC b = ．
（1）试用a ，b 表示AD
；
（2）求AD BC ⋅
的值．
【正确答案】（1）2133a b + ；（2）8
3
-.
【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可得结果；
（2）将AD 和BC
分别用a ，b
表示，再结合向量数量积的运算律即可得结果.
【详解】（1）∵D 是边BC 上一点，2DC BD =，∴13
BD BC =
，
又∵AB a = ，AC b = ，BC b a =- ，
∴13
AD AB BD AB BC
=+=+ ()
121333a b a a b =+-=+ ．
（2）∵2a AB == ，1b AC ==
，120BAC ∠=︒，
∴cos a b a b BAC ⋅=⋅∠
211201=⨯⨯︒=-，
()
()22222111211281123
33333333AD BC a b b a b a b a ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-=⨯+⨯--⨯=- ⎪⎝⎭ .
18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求B 的大小；（2）若a ＝1
，b =ABC 的周长．
【正确答案】（1）π3
（2
）3+【分析】（1）利用正弦定理将题中的边角关系转化为角的关系，结合三角恒等变换化简求解；（2）根据余弦定理求解c ，进而得到三角形的周长．【小问1详解】
因为2cos cos cos b B a C c A =+，
所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以1cos 2
B =
，
由()0,πB ∈，得π3B =.【小问2详解】
a ＝1，
b =
，π3
B =
，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2
1
3122
c c =+-⨯
，解得2c =，ABC ∴
的周长是3．
19.平面内给定两个向量()3,1a =r ，()1,2b =-r
.
（1）求32a b +
；
（2）若()()
//2a kb a b +-
，求实数k 的值.
【正确答案】（1）（2）1
2
k =-
【分析】（1）计算出32a b + 的坐标，再利用平面向量的坐标可计算出32a b + ；
（2）计算出a kb + 、2a b -
的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于k 的等式，即可解得k
的值.
【小问1详解】
解：由已知()()()3233,121,27,7a b +=+-= ，因此，32a b +== .
【小问2详解】
解：由已知()()()3,11,23,12a kb k k k +=+-=-+ ，()()()223,11,27,0a b -=--=
，
因为()()
//2a kb a b +- ，则120k +=，解得12
k =-.
20.正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1）若侧棱长为，求棱台的表面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【正确答案】（1）20（2）
4
3
【分析】（1）设1,O O 分别为上，下底面的中心，分别取11,BC B C 的中点,E F ，利用梯形1ECC F 求出斜高，从而求出表面积；
（2）根据已知条件求出斜高,再由直角梯形1O OEF 求出四棱台的高.【小问1详解】
如图，设1,O O 分别为上，下底面的中心，
分别取11,BC B C 的中点,E F ，连接1,,OE EF O F ，则EF 为正四棱台的斜高，
EF ===
则棱台的表面积()1
2442244202
S =
⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】
两底面面积之和为222420+=，正四棱台的侧面积为14(24)202EF ⨯
⨯+⨯=，解得53
EF =，
正四棱台的高143O O ===.
21.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，1
2
BC AD =
，E 是PD 的中点．
（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．【小问1详解】
在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．
【小问2详解】
取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，1
2
EF AD =
，又由（1）可得BC ∥AD ，且1
2
BC AD =
，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ．
22.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且tan 21tan A c
B b
+
=
（1）求角A ；
（2）若2(0,1),(cos ,2cos )2
C m n B =-= ，试求m n + 的最小值．
【正确答案】（1）π
3
A =
．（2）m n + min 22
=
【分析】（1）切化弦后由正弦定理化简求解（2）将模长平方后转化为三角函数求解
【详解】（1）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +
=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C
B A B
+=，∴sin()sin 2sin sin cos sin cos sin A B C C
B A B A B
+==，
∴1cos 2
A =，π
3A =．
（2）m n + 2(cos ,2cos
1)(cos ,cos )2
C B B C =-=，∴m n + 222222πcos cos cos cos ()
3
B C B B =+=+222213353cos (cos sin )sin cos sin cos 22442B B B B B B B
+-+=+-=)1311c 1π
sin(os 2s 2in 24426
B B B =-+--∵π
3A =
，∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666
B -<-<．
∴当
πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．所以，m n +
min 2=
．
辽宁省沈阳市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测
模拟试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点
()()1,3,4,1,
A B -则与AB
同方向的单位向量为A.3455⎛⎫
- ⎪⎝
⎭， B.435
5⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C.3455⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
， D.4355⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，【正确答案】A
【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =---=- ,所以与AB
同方向的单位向量为
1
34(3,4)(,)5
55AB e AB ==-=-
，故选A.
考点：向量运算及相关概念.2.已知i 为虚数单位，复数1i
12i
-+的共扼复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【正确答案】B
【详解】∵()()()()1i 2i 11i 13i 2i 12i 12i 155z --+-=
==--++-+，故1355
z i =-+，∵130,055
-
∴z 在第二象限，故选B
3.三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，
2h ，3h ，则它们的大小关系正确的是（
）
A.213h h h >>
B.123h h h >>
C.321h h h >>
D.231
h h h >>【正确答案】A
【分析】根据半球、圆锥、圆柱的结构确定正确答案.
【详解】喝酒的过程中，酒杯中酒水的水面，面积下降最快是圆锥，其次是半球，而圆柱是不变的，所以，体积减少一半后剩余酒的高度最高为2h ，最低为3h ，所以213h h h >>.故选：A
4.如图，在ABC ∆中，23AD AC = ，13
BP PD = ，若AP AB AC λμ=+
，则λμ+的值为
A.
1112
B.
34
C.
89
D.
79
【正确答案】A 【分析】
根据向量线性运算，可利用AB 和AC 表示出AP
，从而可根据对应关系求得结果.
【详解】由题意得：()
11314444
AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+
-=+
3123144346AB AC AB AC =+⨯=+
又AP AB AC λμ=+ ，可知：31114612
λμ+=+=
本题正确选项：A
本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.5.直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为（）A
.1694
π B.169π
C.288π
D.676π
【正确答案】B
【分析】由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.
【详解】解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，则球O 是长方体1111ABEC A B E C -的外接
球.所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为213R ==，故球O 的表面积24169R ππ=.故选：B.
本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.
6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，11B C ，11C D 的中点，则异面直线DE 与FG 所成角的余弦值为（
）
A.
5 B.
5
C.
510
D.
5
【正确答案】B
【分析】连接BD ，BE ，11B D 可得BDE ∠即为异面直线DE 与FG 所成角，设正方体的棱长为2，由余弦定理可得答案.
【详解】连接BD ，BE ，11B D ，则11////BD B D GF ，则BDE ∠即为异面直线DE 与FG 所成角，
设正方体的棱长为2，则BE DE ==BD =，
则222cos
25BD DC BE BDE BD DC +-∠===
⨯，
即异面直线DE 与FG 所成角的余弦值为5
.故选：B.
7.在如图（1）所示的四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为正方形，且侧面ABC 垂直于底面BCDE ，水平放置的侧面ABC 的斜二测直观图如图（2）所示，已知2A B ''=，1A C ''=，则四棱锥A BCDE -的侧面积是（
）
A.12+
B.20+
C.2++
D.2++
【正确答案】D
【分析】先利用题给条件求得四棱锥A BCDE -的棱长以及其中的垂直关系，再利用其结构特征即可求得该四棱锥A BCDE -的侧面积.
【详解】四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为正方形，且侧面ABC 垂直于底面BCDE ，则CD ⊥侧面ABC ，BE ⊥侧面ABC
由水平放置的侧面ABC 的斜二测直观图可知，2,AB AC AB AC ==^，
由勾股定理可得BC =AD AE ==，
所以等腰三角形ADE 的面积为1
2
⨯=，
直角三角形ACD 与直角三角形ABE 的面积均为1
22
⨯=，
等腰直角三角形ABC 的面积为1
2222
⨯⨯=，
故该几何体的侧面积是2+故选：D
8.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了ABD △，测得AB =5，BD =6，AC =4，AD =3，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算cos ACD ∠的值（
）
A.1
2
B.
59
C.
146
D.
6
【正确答案】D
【分析】先根据三条边求出cos ADB ∠，利用平方关系得到sin ADB ∠，结合正弦定理可得sin ACD ∠，再根据平方关系可求cos ACD ∠.
【详解】由题意，在ABD △中，由余弦定理，
222936255
cos 22369
AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯；
因为(0,π)ADB ∠∈
，所以sin 9
ADB ∠===
，在ACD 中，由正弦定理
,sin sin AC AD
ADB ACD
=∠∠3
sin 2149
ACD =∠，
解得sin ,6
ACD ∠=
由题意，因为ACD ∠
为锐角，所以cos 6
ACD ∠===故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是（）
A.若α⊥β，m ⊥α，则m //β
B.若α/β，m ⊥α，则m ⊥β
C.若m //α，m ⊥β，则α⊥β
D.若m //α，m //β，则α//β
【正确答案】BC 【分析】
根据线面和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A ，若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 错误；对选项B ，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，故B 正确；对选项C ，若//m α，则平面α内存在直线l ，使得//l m ，又m β⊥，所以l β⊥，故αβ⊥，故C 正确；
对选项D ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故D 错误.故选：BC
10.设,,a b c
是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（
）
A.若a b a b +=- ，则a b
⊥ B.若a b = ，则()()
a b a b
+⊥-
C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b - 不与c
垂直
D.()()
b c a a c b ⋅-⋅ 不与c 垂直
【正确答案】AB
【分析】根据模长公式即可判断A ，根据数量积是否为0可判断BCD.
【详解】对于A ，由a b a b +=- 平方可得2222220a b a b a b a b a b a b
++⋅=+-⋅⇒⋅=⇒⊥
，故A 正确，
对于B,若a b = 则()(
)
22
220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ，所以()()
a b a b +⊥- ，故B 正确，
对于C,若a c b c ⋅=⋅ ，则(
)()00a b c a b -⋅=⇒-= 或()
0a b c -⊥= 或0c =
（舍去），故a b - 可
能与c
垂直，故C 错误，
对于D ，()()()()()()()()
0b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，所以()()
b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦
，故D 错误，故选：AB
11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（）
A.若sin sin A B <，则A B
<B.若ABC 是锐角三角形，sin cos A B <恒成立
C.若10a =，9b =，60B =︒，则符合条件的ABC 有两个
D.若60B =︒，2b ac =，则ABC 是等边三角形【正确答案】ACD
【分析】由正弦定理可以判断A ；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B ；作出示意图判断C ；根据余弦定理可以判断D.
【详解】对A ，由正弦定理可知a b A B <⇒<，正确；
对B ，因为三角形为锐角三角形，所以02002222A B B A A B πππππ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<⇒<-<<⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
，则
sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，B 错误；
对C ，如示意图，点A 在射线BA '上，CA BA ''⊥，易得CA '=910<<，即符合条件的三角形有2个，正确；
对D ，由余弦定理可知，()2
222222cos 0b a c ac B a c ac ac a c a c =+-=+-=⇒-=⇒=，而60B =︒，即该三角形为正三角形，正确.故选：ACD.
12.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12CC BC ==，D ，E 分别为棱1AA ，11B C 的中点，则（）
A.四面体1C ABC -为鳖臑
B.//DE 平面1
ABC
C.若AB =，则AB 与DE 所成角的正切值为
3
D.三棱锥1C ABC -的外接球的体积为定值
π3
【正确答案】ABD
【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A ；连接11B C C B 、相交于点O ，可得四边形ADEO 为平行四边形，//DE AO ，再由线面平行的判定定理可判断B ；由B 选项知AB 与DE 所成角即AB 与AO 所成角为BAC ∠或其补角，求出AO BO 、，在ABO 中由余弦定理得cos BAO ∠，再求出sin BAO ∠可得BAO ∠正切值可判断C ；由1C AB △、1C CB △均为直角三角形可得点O 是三棱锥1C ABC -的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D.
【详解】对于A ，在堑堵111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，、、AC BC AB Ì平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥，1CC AB ⊥，所以1C AC 、1C CB △均为直角三角形，
因为AB AC ⊥，所以ABC 为直角三角形，
且1CC AC C =I ，1CC AC ⊂、平面1ACC ，所以AB ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，所以1AB AC ⊥，所以1ABC 为直角三角形，所以四面体1C ABC -为鳖臑，故A 正确；对于B ，
如图，连接11B C C B 、相交于点O ，所以点O 为1C B 的中点，连接、EO AO ，
所以1//EO B B ，11=2EO B B ，因为1//AD B B ，11=2
AD B B ，所以//AD EO ，=AD EO ，所以四边形ADEO 为平行四边形，所以//DE AO ，
因为DE ⊄平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，所以//DE 平面1ABC ，故B 正确；
对于C ，AB =，由B 选项知，//DE AO ，
所以AB 与DE 所成角即AB 与AO 所成角BAC ∠或其补角，
因为12CC BC ==，所以1122=
=BO BC ，连接1A E ，所以111112==A E B C ，所以22112=+=DE A E A D ，所以=2=AO DE ，
在ABO 中，由余弦定理得2226cos 24223
+-∠===⨯⨯⨯AO AB BO BAO AO AB ，所以BAO ∠为锐角，则2610sin 144⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
BAO ，则AB 与DE 所成角的正切值为615310
=，故C 错误；对于D ，如下图，连接AO ，由A 选项可知，1C AB △、1C CB △均为直角三角形，
且190 C AB Ð=，190
C CB =，且点O 为1C B 的中点，所以12C O CO BO AO ====，
所以点O 是三棱锥1C ABC -2，
因为AB AC ⊥，所以ABC
为直角三角形，
所以三棱锥1C ABC -的外接球的体积为34ππ3
3
=，与AB AC 、长度无关，故D 正确.故选：ABD.方法点睛：异面直线所成角的求法有几何法和向量，几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中，利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形，求出3边或3边的比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量，求两向量夹角的余弦，因为直线夹角为锐角，所以对2的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知i 为虚数单位，若
()i i,,1i
a b a b =+∈+R ，则a b +=___________．【正确答案】1
【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出,a b 的值，进而求解即可.【详解】因为
i i 1i a b =++，所以i i(1i)1i 11i i 1i (1i)(1i)222a b -++====+++-，所以12a =，12b =，则11122
a b +=+=，故答案为.1
14.如图所示，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积为_________.
【正确答案】140π3##140π3
【分析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，作出图形，利用圆台和球体体积公式可求得几何体的体积.
【详解】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，如下图所示，
其中圆台的体积为()22221156ππ2π2π5π5433⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
，半球的体积31416ππ2233⨯⨯⨯=，则所求体积为156π16π140π333-=．故答案为.140π315.在AOB 中，OA a = ，OB b = 满足||||2a b a b a ⋅=-== ，则AOB 的面积___________.3
【分析】由向量模的运算可得||2b = ，然后结合向量的夹角公式运算即可得解.
【详解】解:由题意可得||2a b -= ,
即2224a b a b +-⋅= ,
又||2a b a ⋅==
,则||2b = ,
设,a b
的夹角为θ,则1cos 2
a b a b θ⋅== ,则3sin 2
θ=,则113sin 223222
ABC S a b θ∆==⨯⨯⨯= ,故答案为:
3.本题考查了向量的夹角公式及向量模的运算，属基础题.
16.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，
且ABC 的面积为
212
c ，则b a a b +的值为______．【正确答案】4
【分析】由条件结合正弦定理可得222ab b a c =+-，再利用余弦定理以及角的范围可得π3
C =
，然后根据三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】由正弦定理及()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，得222ab b a c =+-，所以2221cos 22
b a
c C ab +-==①，又()0,πC ∈，所以π3C =，由ABC 的面积为2312c ，得231sin 122
c ab C =，即23c ab =，代入①，得224b a ab +=，所以224b a b a a b ab
++==．故4
本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数z 满足(1i)13i z +=-（i 是虚数单位）
（1）若复数(1i)a z +是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若复数z 的共轭复数为z ，求复数
1
z z +的模．【正确答案】（1）12
（2）2【分析】（1）根据复数的运算法则求得12i z =--，得到(1i)21(2)i a z a a +=--+，结合题意列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得到12i z =-+，化简
11i 12
z z =--+，利用复数模的计算公式，即可求解.【小问1详解】
解：由复数z 满足(1i)13i z +=-，可得()()()()
13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z -----====--++-，可得(1i)(1i)(12i)21(2)i a z a a a +=+--=--+，
因为复数(1i)a z +为纯虚数，可得21020
a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =，即实数a 的值为12.【小问2详解】
解：由12i z =--，可得12i z =-+，则()12i 2i 12i 42i 11i 112i 12i 2i 42
z z -+⋅-+--====--+--+-⋅，
所以12z z ==+，即复数1
z z +的模为52.18.如图，ABC 中，22
AC BC AB ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．
（1）求证：//GF 平面ABC ；
（2）求证：AC ⊥平面EBC ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接AE ，可知F 为AE 的中点，利用中位线的性质可得出//FG AC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用面面垂直的性质定理可得出BE ⊥平面ABC ，可得出AC BE ⊥，再利用勾股定理可得出AC BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】（1）证明：连接AE ．
四边形ABED 为正方形，F 为BD 的中点，F ∴为AE 的中点，
又G 为CE 的中点，所以，//FG AC ，
FG ⊄ 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//FG ∴平面ABC ；
（2）证明： 四边形ABED 为正方形，BE AB ∴⊥，
因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，BE ⊂平面ABED ，
BE ∴⊥平面ABC ，
AC ⊂ 平面ABC ，AC BE ∴⊥，
22
AC BC AB == ，由勾股定理可得222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，BC BE B =Q I ，AC ∴⊥平面BEC .
方法点睛：证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
19.ABC 的内角A B C ，，的对应边分别为a b c ，，，230b B == ，.
（1）若1c =，求cos A ；
（2）若a c >，ABC 31，求a .
【正确答案】（1）1358
-；（2）2.
【分析】（1）根据正弦定理，可求得sin C 的值，根据同角三角函数关系，可求得cos C 值，根据诱导公式及两角和的余弦公式，展开计算，即可得答案.
（2）根据面积公式，可求得ac 的值，根据余弦定理，可求得a c +的值，联立即可求得答案.
【小问1详解】
在ABC 中，由正弦定理得：sin sin c b C B
=，所以12sin 12
C =，所以11sin sin 42C B =<=，
所以°30C B <=，所以cos C ===，所以()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C
=-+=-+111
24248
-=-⨯+⨯=；【小问2详解】
因为ABC
所以11sin 124
S ac B ac ===-，解得4ac =，
在ABC 中，由余弦定理得：(()2
222222cos 434b a c ac B a c a c =+-⋅=+-=+-，
所以a c +=，
所以,a c 为方程240x x -++-=的两根，
解得x =x =，
因为a c >，所以a =20.如图，BD 是平面四边形ABCD 的一条对角线，已知AB DB AD BD ⋅=⋅ ，且AB AD DB += .
（1）求证：ABD 为等腰直角三角形；
（2）若2BC =，1CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.
【正确答案】（1）见解析；（254+
.【分析】（1）首先利用题中的条件AB DB AD BD ⋅=⋅ ，结合向量的运算法则，得到AB AD =，再根据条件AB AD DB += ，转化得到0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，从而得到2A π=，进而证得结果；（2）设C θ=，利用余弦定理得到254cos BD θ=-，将四边形ABCD 的面积转化为两个三角形的面积之和，应用辅助角公式化简，从而得到其最大值.
【详解】（1）证明：因为AB DB AD BD ⋅=⋅ ，所以0AB DB AD DB ⋅+⋅=
，即()()0AB AD AB AD +⋅-= ，
所以22AB AD = ，即AB AD =，又AB AD DB += ，所以222()()AB AD DB AB AD +==- ，
整理得0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，所以AB AD ⊥，即2
A π=
，所以ABD 是等腰直角三角形.
（2）设C θ=，可得241221cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-，
则四边形ABCD 的面积21115521sin sin cos
222444ABD CBD S S S BD πθθθθ⎛⎫=+=⨯+⨯⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝
⎭ ，
因为(0,)θπ∈，所以当34πθ=
时，S 54+.该题考查的是有关向量与三角形的问题，涉及到的知识点有向量的运算，向量的数量积，向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量垂直的条件，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，难度一般.21.如图，在三棱锥-P ABC 中，点P 在底面ABC 上的射影D 在BC 上，PA PB =，2AB AC =，60CAB ∠=︒．。