江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣1集合与常用逻辑用语学案201812142252

1.集合与常用逻辑用语
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[问题1]已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.
答案0
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝
f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上
的点集．
[问题2]已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝__________.
答案{y|y≥1}
3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．
[问题3]已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范
围是________．
答案(－∞，4]
4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[问题4]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B＝
______.
答案[0，＋∞)
5．命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，而此命题的否定(非命题)是“若p，则
綈q”．
[问题5]已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案否命题：已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；
命题的否定：已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
1
6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A⊆B，则x∈A是x∈B的充分条件；若A B，则x∈A 是x∈B的充分不必要条件．
3
[问题6]已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是
x＋1
__________．
答案(2，＋∞)
7．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确地对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”．
[问题7]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________．(填序号)
①∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n；
②∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n；
③∃n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n；
④∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n.
答案④
8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．
1
[问题8]已知命题p：∃x∈R，ax2＋x＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是
2
________．
1
答案(，＋∞)
2
1
解析因为命题p是假命题，所以綈p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，
2
1
x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有Error!
2
1
即Error!解得Error!所以a> ，
2
1
即实数a的取值范围是(，＋∞).
2
易错点1忽视空集
例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B⊆A，求实数p的取值范围．
2
易错分析忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B＝∅时，符合题设．
解决有关A∩B＝∅，A∪B＝∅，A⊆B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解．
解集合A＝{x|－2≤x≤5}，
①当B≠∅时，即p＋1≤2p－1⇒p≥2.
由B⊆A得－2≤p＋1且2p－1≤5.
即－3≤p≤3，∴2≤p≤3.
②当B＝∅时，即p＋1>2p－1⇒p<2.
由①②得p≤3.
易错点2忽视区间端点的取舍
x＋3
例2记f(x)＝2－的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.若
x＋1
B⊆A，求实数a的取值范围．
易错分析在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．
x＋3 x－1
解∵2－≥0，∴≥0.
x＋1 x＋1
∴x<－1或x≥1，
即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)．
∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，
1
即a≥或a≤－2，而a<1，
2
1
∴≤a<1或a≤－2.
2
1
故当B⊆A时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[，1 ).
2
易错点3混淆充分条件和必要条件
例3已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要不充分的条件是__________．(填序号)
①a>b－1；②a>b＋1；③|a|>|b|；④2a>2b.
易错分析在本题中，选项是条件，而“a>b”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推
3
出“a>b”，而由“a>b”推不出选项是必要不充分条件．
解析由a>b可得a>b－1，
但由a>b－1不能得出a>b，
∴a>b－1是a>b成立的必要不充分条件；
由a>b＋1可得a>b，
但由a>b不能得出a>b＋1，
∴a>b＋1是a>b成立的充分不必要条件；
易知a>b是|a|>|b|的既不充分又不必要条件；
a>b是2a>2b成立的充要条件．
答案①
易错点4对命题否定不当
ax＋10
例4已知M是不等式≤0的解集且5∉M，则a的取值范围是________________．
ax－25
5a＋10
易错分析题中5∉M并不能转化为>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合
5a－25
的角度用补集思想来解．
解析方法一∵5∉M，原不等式不成立，
5a＋10
∴>0或5a－25＝0，
5a－25
∴a<－2或a>5或a＝5，故a≥5或a<－2.
5a＋10
方法二若5∈M，则≤0，
5a－25
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5，
∴当5∉M时，a<－2或a≥5.
答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)
1．(2018·江苏扬州中学模拟)已知集合A＝{－1,0,2}，B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，则A∩B＝
_____.
答案{－1}
2．设全集U＝R，A＝Error!，B＝{x|2x<2}，则图中阴影部分表示的集合为_________．
4
答案{x|1≤x<2}
解析A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A＝{x|1≤x<2}．3．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________.
答案－2
解析∵集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，
∴a＋3＝1，解得a＝－2.
4．已知集合A＝Error!，B＝{x∈R|(x－2a)·(x－a2－1)<0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值
范围是____________．
答案{1}∪[2，＋∞)
x－4
解析由≤0，得A＝{x∈R|－1<x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)<0}＝{x∈R|2a<x<a2 x＋1
＋1}．若B≠∅，则在数轴上可以看出2a≥4，所以a≥2；若B＝∅，只能a＝1.
1 1
5．(2018·江苏前黄中学等三校联考)已知命题p：> ，q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立
a4
是q成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必
要”)
答案充分不必要
解析p：0<a<4，关于不等式ax2＋ax＋1>0；
当a＝0时，不等式显然成立；
当a≠0时，由Δ＝a2－4a<0得0<a<4，
因此q：0≤a<4，
从而可知p是q的充分不必要条件．
6．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是____________．
1 2
答案(，
3 ]
2
2 1
解析∵p⇔a∈(－∞，3]，q⇔a∈(，1 )，
2
1 2
∴a∈(，3 ].
2
5
7．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.
答案 5
解析由题意知，A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
因为A∩B＝[2,4]，
故Error!
则m＝5.
8．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．
答案[1，＋∞)
解析由x2＋2x－3>0，可得x>1或x<－3，
“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.
9．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B
中元素的个数是________．
答案10
解析因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．因为
x∈A∩B，所以x可取0,1；因为y∈A∪B，所以y可取－1,0,1,2,3.
则(x，y)的可能取值如下表所示：
y
－1 0 1 2 3 x
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
故A*B中的元素共有10个．
10．给出下列命题：
①命题：“存在x>0，使sin x≤x”的否定是：“对任意x>0，sin x>x”；
2
②函数f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2 2；
sin x
③在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰或直角三角形；
④若直线m∥直线n，直线m∥平面α，那么直线n∥平面α.
6
其中正确的命题是________．(填序号)
答案①③
2
解析易知①正确；②中函数f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))，令t＝sin x，则g(t)＝t
sin x
2
＋，t∈(0,1]为减函数，所以g(t)min＝g(1)＝3，故②错误；③中由sin 2A＝sin 2B，可知2A
t
π
＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故③正确；④中直线n也可能在平面α内，故④
2
错误．
7。