第二章随机变量及其概率分布复习ppt课件

P( X
5)
C42 C53
6 10
X 345 136
P
10 10 10
例3 对一目标连续进行射击，直到击中目标为止。如 果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律。 解 Ｘ的可能取值为１，２，３，…..
设Ai (i 1, 2, 3, 4)表示“第i次射击未中”
事件{X=k}表示“前k-1次射击未中，第k次命中” 则{X k} A1A2...Ak1 Ak 又每次射击命中与否是相互独立的， 则X的分布律为
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{X a} 0. 由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b} F(b) F(a)
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
例10 设随机变量 X 的分布函数为
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ B(n, p) 二项分布 n 1 两点分布
泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0,1, 2, ,而取 各个值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ P().
二项分布是 (0 1) 分布的推广, 对于 n 次独 立重复伯努里试验,每次试验成功的概率为p, 设
当1X<2时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6 当2X时，F(x)=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1} +P{X=2}=1
例9 设离散型随机变量 X 的分布函数为
0, x 1,
a,
1 x 1,
F
(
x
)
2 3
a,
1 x 2,
(2) P{X 1 2}1 P{X 1/ 2} 1 F(1/ 2)11/ 6 5/ 6
(3) P{X 3 2} F(3/ 2) 3/ 4
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{ X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
说明: 分布函数本质上是一种累计概率.
1!
2!
则 P{X 4} 24 e2 2 e2 4! 3
随机变量的分布函数
(1)定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数
F(x) P{X x} 称为 X 的分布函数.
(2)说明
分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.
(3)性质 10 0 F( x) 1, (,);
0.72 0.32 0.4
例例211- 14 设随机变量 X 的概率密度为
c, | x | 1 f ( x) 0, | x | 1 求 : (1) 常数c;(2) X 落入(-3, 1 / 2)的概率。
解: 由概率密度的性质
+
f ( x)dx = 1,
-
+
-1
1
f (x)dx = 0dx cdx + 0dx = 2c 1
pk P{ X k} P( A1 A2 ...Ak1 Ak ) P( A1 )P( A2 )...P( Ak1 )P( Ak ) (1 p)k1 p, k 1, 2, ...
例4 设 X ~ B(2, p),Y ~ B(3, p), 设P{ X 1} 5
求P{Y 0}
9
解
由P{ X 1} 1 P{ X 0}
（3）任取4件，4个元件中至少有1个元件的寿命大于1500 小时的概率是多少？
例 13 设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具 有以下的概率密度
二项分布的泊松逼近 泊松定理 设>0是常数，n是任意正整数，且= np， 则对于任意取定的非负整数k，有
lim
n
Cnk
pk (1
p)nk
k
k!
e
由泊松定理 若n很大p很小时，且= np，则有
P{X
k} Cnk pk (1
p)nk
k
k!
e
典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0,
20 F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
30 F () lim F ( x) 0, F() lim F( x) 1;
x
x
40
lim F ( x)
x x0
F ( x0 ),
( x0 );
即任一分布函数处处右连续.
(4)重要公式
P{X b} F(b)
P{a X b} F(b) F(a), P{X a} 1 F(a).
例8 已知离散型随机变量Ｘ的分布律为
X -1 0
1
2
P 0.2 0.1 0.3 0.4
求X的分布函数。
解：
•
•
•
1 o 1
当X<-1时， F(x)=P{Xx}=0
•
2x
当-1X<0时，F(x)=P{Xx}= P{X=-1}=0.2
当0X<1时，F(x)=P{Xx}= P{X=-1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3
x0
x0
由此得到 b= - 1
例7 设随机变量X的分布函数为
0,
x 0,
F
(
x)
x x
3, 2,
0 x 1, 1 x 2,
1,
x 2,
求 (1) P{1 2 X 3 2} (2) P{X 1 2} (3) P{X 3 2}
解：(1) P{1 2 X 3 2} F(3/ 2) F(1/ 2) 3/ 4 1/ 6 7 /12
例6 设随机变量X的分布函数为
典型例题
a be x , x 0
F(x)
0,
x0
其中 0 为常数，求常数 a和b的值
解 F（+ ）= lim F(x)= lim (a bex ) a
x
x
又 F（+ ）= 1 则 a=1,
又F(x)右连续，得到 F(0 0) F(0) 0
F(0 0) lim F(x)= lim (a bex ) a b 0
离散型随机变量的分布律
(1)定义
设离散型随机变量X所有可能取的值为xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk }的概率,为
P{ X xk } pk , k 1, 2,. 称此为离散型随机变量X 的分布律.
(2)说明
10 pk 0, k 1,2,;
20 pk 1;
1, 若第 i 次试验成功 Xi 0, 若第 i 次试验失败,
(i 1,2,,n)
它们都服从 (0 1) 分布并且相互独立, 那末
X X1 X2 Xn 服从二项分布,参数为 (n, p).
pk P{X k} Cnk pkqnk , k 0,1, 2, ..., n 其中0 p 1, p q 1
得p 1 3
1
C
0 2
p0 (1
p)2
5 9
又由P{Y
0}
C
0 3
p
0
(1
p)3
8 27
例5 设随机变量Ｘ服从泊松分布，且已知
P{X 1} P{X 2}求 P{X 4}
解 设Ｘ服从参数为λ的泊松分布．则
P{X 1} 1 e , P{X 2} 2 e
1!
2!
由已知得 1 e 2 e 解得 2
2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率 a 2a 4a 8a
P{ X 2 X 0}.
解 利用概率分布律的性质 pi 1,
i
有
1
i
pi
1 a
3 2a
5 4a
7 8a
37 , 8a
故 a 37 , 8
典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0, 2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率
a 2a 4a 8a P{ X 2 X 0}.
解 因此 X 的分布律为
X 2 0 2
5
8 12 10 7
P
37 37 37 37
X 的分布律为
X 2 0 2
5
8 12 10 7
P
37 37 37 37
而 P{ X 2 X 0} P{ X 2, X 0} P{ X 0}
P{ X 0} P{ X 2}
0, x 0,
F
(
x)
x2
,
0
x 1,
1, x 1.
求 : (1) 随机变量 X 的概率密度;
(2) P{0.3 X 0.7};
解 (1) 随机变量 X 的概率密度为
2x, 0 x 1, f ( x) F( x) 0, 其它.
(2) P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3)
x
F ( x) f (t)d t,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x) 称为 X的概 率密度函数,简称概率密度.
(2)性质
1o f ( x) 0;
2o
f (x)d x 1.
3o
P{x1 X x2} F( x2 ) F( x1)
来自百度文库
x2 f ( x)d x.
x1
4o 若 f ( x) 在点 x 处连续, 则有 F( x) f ( x).
由此解得 a 1 , b 5 . 66
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
12 11 32
连续型随机变量的概率密度
(1)定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F ( x),存在 非负函数,使对于任意实数 x 有
F(x)
x2 2
,
x2 2
2x
1,
1,
x0 0 x1
1 x2 x2
例 13 设某种型号的电子元件的寿命X（以小时计），具
有以下的概率密度
f
(
x)
1000
x2
,
x
1000
0 ,其他
现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立），问
（1）任取1件，其寿命大于1500小时的概率是多少？
（2）任取4件，4个元件中恰有2个元件的寿命大于1500小 时的概率是多少？
-
-
-1
1
故 c 1/ 2
P{3 X 1/ 2}
1/ 2
f ( x)dx
3
1
1/ 2
0dx 1/ 2dx 3/ 4
3
1
例例21215 设随机变量 X 的概率密度为
x, 0 x 1 f ( x) 2 x, 1 x 2
0, 其他
求 X 的分布函数F ( x).
解:
当x<0时,
随机变量通常用Ｘ，Ｙ，Ｚ，．．．来表示
随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
随机变量的分类
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量. (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.
F(x)
x
f
(t )dt
0
当0x<1时, F(x)
x
f (t)dt
x
x2
tdt
0
2
当1x<2时, F(x)
x
f (t)dt
1
tdt
x
(2 t)dt
0
1
x2
2x 1
2
当x2时, F(x)
x
f (t)dt
1
tdt
2
(2 t)dt 1
0
1
所以X的分布函数为
1,
k 1
30 离散型随机变量的分布律也可表为
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.
二项分布
X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
C
1 n
pq
n1
Cnk pk qnk
pn
(k 0,1,2,,n, 0 p 1)
a b, x 2.
且 P{ X 2} 1 ,试确定常数a,b,并求 X 的分布律. 2
[思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律.
解 利用分布函数 F ( x) 的性质 :
由F () 1, 得 a b 1.
由 1 P{X 2} 2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
一、重点与难点
1.重点
(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算
2.难点
连续型随机变量的概率密度函数的求法
二、主要内容
随机变量
定义 设 E 是随机试验,它的样本空间是 .如 果对于每一个 e ,有一个实数 X (e)与之对应,这 样就得到一个定义在上的单值实值函数 X (e), 称 随机变量.
P{ X 0} P{ X 2} P{ X 5}
22 . 29
例2 袋子中有５个同样大小的球，编号为１~５， 从中同时取出３个球，记Ｘ为取出的球的最大编号 ，求Ｘ的分布律.
解 Ｘ的可能取值为３，４，５
P( X
3)
1 C53
1, 10
则Ｘ的分布律为
P( X
4)
C32 C53
3, 10