§1-3无穷小量和无穷大量

§1-3无穷小量和无穷大量

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§1-3无穷小量和无穷大量

§1-3 无穷小量和无穷大量

牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”

同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为，即称变量y为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时．．．0的变量．．．

刻，在这个时刻以后，能够使绝对值

y小于预先给出的任何正数。例如，

数列

1,n?

)和当x?0时的函数xn,nsinx,tanx等

都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[?(x)?0是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（n??或x??）中的无穷小量就简记成o(1)[读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o”是牛顿当初用过的记号.

定理1-1 limf(x)?C??f(x)?C?o(1)(x??).

x??

(充分必要条件)

特别，

函数f(x)在点c连续??f(x)?f(c)?o(1)(x?c) （※）

证若limf(x)?C，则lim[f(x)?C]?0，即

x??

x??

f(x)?C?o(1)(x??) 或 f(x)?C?o(1)(x??)

反之，若f(x)?C?o(1)(x??)，则

limf(x)?lim?C?o(1)??C?0?C

x??

x??

特别，当函数f(x)在点c连续时，因为limf(x)?f(c)，所以有结论(※).例如，当x?c

x?c

时，

xn?cn?o(1)， sinx?sinc?o(1)， cosx?cosc?o(1)

1.无穷小量的运算规则利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若o(1)是某一个极限过程(n??或x??)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有⑴ O?o(1)

o(1)[其中O是有界变量（*），特别它可以是常数]；

⑵ o(1)?o(1)?o(1)，o(1)?o(1)?o(1). 它们与常量的'运算规则是不同的！．．．．．．．．．．．．．．

2.无穷小量的比较在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量?看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量?与基本无穷小量?相比较.若有极限

lim

l(0?|l|) ?

（*）

记号O读作“大欧”，也不能读作“零”。

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§1-3 无穷小量和无穷大量

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则在这个极限过程中，

⑴当l?0时，称?与?.特别，当l?1时，称?与?记成或.例如sinx?x(x?0)，tanx?x(x?0)，因为

sinxtanx

1,lim?1

x?0xx?0x

⑵当l?0时，?与?相比较，称?为高阶无穷小量，并记成??o(?).例如，当x?0时，

lim

x?o(x),x2?o(x).

lim例8

x?1x?1

1?x?1

1?x?1

x?1

注意，其中当x?

1时，??定理1-2 设?和??0在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，

lim()?lim()（等价无穷小量替换）

[和或差的极限lim()不能用等价无穷小量替换！]

证 limlim?

1?limlim?????. ????

x2x2

,sinx2?x2，所以例如，当x?0时，因为sin22

2

x??x222sin?2?1?cosx21 lim2?lim?lim

x?0xsinx2x?0x2sinx2x?0x2?x22

2

2

再如，当x?

1时，因为

8就可以简单地做成

x?1

x??x?1

x?1定理1-3 若??0在某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个极限过程中，有高阶无穷小量的运算规则:

⑴ O?o(?)?o(?)（O为有界变量，特别可以是常数）; ⑵ o(1)o(?)，其中o(1)是无穷小量; ⑶ o(?)?o(?)?o(?)；o(?)?o(?)?o(?). 证明是简单的，譬如证⑶.根据极限的运算规则，因为

2

lim

o(?)?o(?)

lim

o(?)

lim

o(?)

0?0?0

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所以；而因为

lim

所以o(?)?o(?)?o(?2).

o(?)?o(?)

2

o(?)o(?)??lim0?0?0

定理1- 4 若?和??0都是同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中，

o(?) [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]

证 (?)因为lim

1，根据定理1-1，?1?o(1)，所以o(1)o(?). ??

o(?)?lim?1?0?1，所以. ??

例如，因为sinx?x(x?0)，所以可把它等价地写成sinx?x?o(x)(x?0)；同理，tanx?x?o(x)(x?0).

(?)因为lim

3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量yy在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y大于预先给出的任何正数，简记成“y??”. 特别，若能够使y大于预先给出的任何正数，则称变量y为正无穷大量，简记成“y”；若能够使y小于预先给出的任何负数，则称变量y为负无穷大量，简记成“y”.

“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结论.设变量y在某一个极限过程中不取数值0.

若变量y是无穷大量，则倒数是无穷大量.

具体到函数y?f(x)，当自变量x在某个极限过程x??中，若函数f(x)是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成

就是无穷小量；反之，若变量y是无穷小量，则倒数就yy

limf(x)??,

x??

limf(x),

x??

limf(x)

x??

请读者注意，这些都是记号，有时口语上也说“极限是无穷大”，但它们没有前面说的那种有穷极．．．．．

限的含义和运算规则！

a0?a1xanxn

例9 求lim(an?0,bm?0).

x??b?bxbxm

01m