北京市十一学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题

北京市十一学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列叙述中，错误的一项为（ ） A ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形

D ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

2．下列函数中，在定义域内为奇函数，且在()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．()2log f x x =

B ．()2

2f x x =-

C ．()x

f x -=3

D ．()3

4

x f x =-

3．圆锥的高缩小为原来的1

3

，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ） A ．

23

B ．

32

C ．

43

D ．

34

4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β”是“αβ”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角

为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）

A

B C

D ．

3

6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．a ＝8

B ．a ＝9

C ．a ＝10

D ．a ＝11

7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．如图：正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）．

A ．线段

B ．圆弧

C ．椭圆的一部分

D ．抛物线的一部分

二、填空题

9．圆222210x y x y +--+=上的点到直线3480x y ++=的最大距离是______. 10．若将函数()sin 24f x x π⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图像向右平移ϕ个单位，

所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________.

11．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直.

以上四个结论中，正确的是______.

12．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则P 到点()0,2的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________．

13．在长方体1111ABCD A B C D -中，11BC CC ==，13

AD B π

∠=，则直线1AB 与1

BC 所成角的余弦值为________．

14．已知函数f(x)=ax 2−1的图像在点A(1,f(1))处的切线与直线x +8y =0垂直，若数列{1

f(n)}的前n 项和为S n ，则S n =__________．

15．如图，四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长均为1，记四面体ABCD 的体积为()F x ，则函数()F x 的单调增区间是____；最大值为____.

三、解答题

16．已知函数2

()sin

sin 1(02f x x x x πωωωω⎫

⎛⎫

=+⋅+

-> ⎪⎪⎝

⎭⎭

的相邻两条对称轴之间的距离为

2

π

． （1）求ω的值； （2）当,122x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣

⎦时，求函数()f x 的值域. 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足

112a b ==，222a b =，2213S T +=.

（1）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；

（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n H .

18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．

（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥PC ．

19．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点F ，点1()2M 在椭圆C

上．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为

4

2AB OP

λ+（λ为实数），求λ的值．

20．已知函数()()2

12ln 22

f x a x x x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．