9.1.2分层随机抽样(教案)- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第九章统计
9.1 随机抽样
9.1.2 分层随机抽样
教学设计
一、教学目标
1. 结合实际问题情境，理解分层抽样的概念；
2. 学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；
3.理解分层抽样与简单随机抽样的区别与联系.
二、教学重难点
1. 教学重点
分层抽样的概念及其步骤.
2. 教学难点
掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数.
三、教学过程
（一）新课导入
探究：在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
（学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师引导出下面内容）
（二）探索新知
在上述问题中，影响身高的因素有很多，性别是其中的一个主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本.由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.
思考：对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？
为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些.因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理的方式，即
男生样本量=
男生人数
全体学生数
×总样本量，
女生样本量=
女生人数
全体学生数
×总样本量.
这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.当总样本量为50时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为
n 男=
326
712
×50≈23，
n 女=
386
712
×50≈27.
按上述方法抽取一个容量为50的样本，其观测数据（单位：cm）如下：
男生
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
女生
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
通过计算，得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6，160.6.根据男生、女生身高
的样本平均数以及他们各自的人数，可以估计总体平均数为170.6326160.6386
165.2
712
⨯+⨯
≈.
即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.
上面我们按性别变量，把高一学生划分为男生、女生两个身高差异较小的子总体分别进行抽样，进而得到总体的估计.
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
1. 分层随机抽样的特点：
（1）从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.
（2）分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量
为n 的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于
n N
. （3）分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表注，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛.
2.分层随机抽样的实施步骤：
（1）根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； （2）根据总体中的个体数N 和样本量n 计算抽样比n
k N
=
； （3）确定第i 层应该抽取的个体数目i i n N k ≈⨯（i N 为第i 层所包含的个体数），使得各i n 之和为n ；
（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n 的样本.
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量分别为m 和n .我们用12,,,M X X X 表示第1层各个个体的变量值，用
12,,
,m x x x 表示第1层样本的各个个体的变量值；
用12,,,N Y Y Y 表示第2层各个个体的变量
值，用12,,,n y y y 表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平
均数分别为
121
21
1
,11M
m
m
M
i i i i x x x X X X X X x x M
M m m ==++
+++
+====∑∑. 第2层的总体平均数和样本平均数分别为
1
2121
1
,11N
n
N
n
i
i i i Y Y Y y y y Y Y y y N
N
n n ==+++++
+====∑∑. 总体平均数和样本平均数分别为
1
1
1
1
,M N
m n
i
i
i i
i i i i X Y
x y
W w M N
m n
====++=
=
++∑∑∑∑.
由于用第1层的样本平均数x 可以估计第1层的总体平均数X ，用第2层的样本平均数y 可以估计第2层的总体平均数Y ，因此可以用M x N y M N
x y M N M N M N
⨯+⨯=++++估计
总体平均数W .
实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明
显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法.分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计. （三）课堂练习
1.现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样，②分层随机抽样 B.①分层随机抽样，②简单随机抽样 C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层随机抽样
答案：B
解析：在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层随机抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样.故选B.
2.某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5:3:2，若采用分层随机抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为( ) A.300 B.250 C.200 D.100
答案：D
解析：由题意可知白色口罩有2
10000200010
⨯=（只）
，则抽到白色口罩的只数为500
200010010000
⨯
=（只）
，故选D. 3.某镇有,,A B C 三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为3:4:7，现在用分层随机抽样的方法从中抽出一个容量为n 的样本，其中A 村抽取了15人，则样本量n 为( ) A.50 B.60 C.70 D.80
答案：C
解析：设,,A B C 三个村人口数分别为3,4,7x x x ，则由题意可得334715x x x x
n
++=
，解得70n =，故选C.
4.某橘子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层随机抽样的方法共抽取10亩进行统计.如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩，则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为_________. 答案：36，84
解析：设所抽取的平地的亩数为x ，则抽取的山地的亩数为21x +，2110x x ++=∴，得3x =，
∴这个橘子园的平地的亩数为
3
12036
37
⨯=
+
，山地的亩数为1203684
-=.
5.某大型企业针对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下：
（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值.
（2）从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少？年龄在35岁以下的人数是多少？
答案：（1）由题意得
6
100200200400800100100400
n
=
++++++
，
解得40
n=.
（2）年龄在35岁以下的人数为
5
4004 500
⨯=，
年龄在35岁及以上的人数为
5
1001 500
⨯=.
（四）小结作业
小结：
1.分层随机抽样的概念及步骤；
2.分层随机抽样中的平均数.
作业：
四、板书设计
9.1.2 分层随机抽样
1. 分层随机抽样的概念；
2. 分层随机抽样的特点；
3. 分层随机抽样的实施步骤；
4. 分层随机抽样中的平均数.。