高中数学第7章解析几何初步7.3.3.1直线与圆的位置关系学案湘教版必修3

第1课时直线与圆的位置关系
[学习目标]
1．理解直线和圆的三种位置关系．
2．会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．
2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．(其中D2＋E2－4F>0)
3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d
[预习导引]
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
要点一直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点； (3)没有公共点？
解 法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2
)x 2
－2(m 2
＋2m ＋2)x ＋m 2
＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，
∴当Δ>0时，即m >0或m <－4
3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m ＝0或m ＝－4
3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－4
3<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
法二 已知圆的方程可化为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4， ∴圆心为C (2，1)，半径r ＝2.
圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离
d ＝
|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|
1＋m
2
. 当d <2时，即m >0或m <－4
3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d ＝2时，即m ＝0或m ＝－4
3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d >2时，即－4
3<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
规律方法 直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性． 跟踪演练1 已知圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＝0，l 是过点P (3，0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能 答案 A
解析 将点P (3，0)的坐标代入圆的方程，得32
＋02
－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P (3，0)在圆内．
∴过点P 的直线l 必与圆C 相交． 要点二 圆的切线问题
例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2
＋(y －1)2
＝1的切线，求此切线的方程． 解 因为(4－3)2
＋(－3－1)2
＝17>1， 所以点A 在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －3－4k ＝0. 因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2
＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2
＋1， 所以k 2
＋8k ＋16＝k 2＋1. 解得k ＝－15
8
.
所以切线方程为y ＋3＝－15
8(x －4)，
即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，
圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.
规律方法 1.求过一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．
2．一般地圆的切线问题，若已知切点，则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若不知切点，则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式． 跟踪演练2 求过点(1，－7)且与圆x 2
＋y 2
＝25相切的直线方程．
解 因为12
＋(－7)2
＝50＞25，所以点(1，－7)在圆外．由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)， 即kx －y －k －7＝0. ∴|－k －7|k 2＋1
＝5.
解得k ＝43或k ＝－3
4
.
∴所求切线方程为y ＋7＝4
3(x －1)
或y ＋7＝－3
4
(x －1)，
即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0. 要点三 圆的弦长问题
例3 求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0截得的弦长．
解 法一 由⎩
⎪⎨⎪
⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2
－2y －4＝0， 得交点A (1，3)，B (2，0)，
∴弦AB 的长为|AB |＝（2－1）2
＋（0－3）2
＝10.
法二 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，
x 2＋y 2
－2y －4＝0，
消去y 得x 2
－3x ＋2＝0.
设两交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2. ∴|AB |＝（x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
＝（x 2－x 1）2
＋[－3x 2＋6－（－3x 1＋6）]2
＝（1＋32
）（x 2－x 1）2
＝10[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2] ＝10×（32
－4×2）＝10， 即弦AB 的长为10.
法三 圆C ：x 2
＋y 2
－2y －4＝0可化为x 2
＋(y －1)2
＝5，其圆心坐标(0，1)，半径r ＝5， 点(0，1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12
＝10
2， 所以半弦长为|AB |2＝r 2－d 2
＝
（5）2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1022
＝102， 所以弦长|AB |＝10.
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为
|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪
⎫|AB |22
＋d 2＝r 2，
即|AB |＝2r 2
－d 2
. (2)
代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
则|AB |＝（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|，其中k 为直线l 的斜率．
跟踪演练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2
－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6
答案 C 解析
圆的方程可化为C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝5，其圆心为C (1，2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连结CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|
12＋22
＝1.在Rt△ACP 中，|AP |＝R 2
－d 2
＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.
1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切
C ．相离
D ．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×（－1）＋12|32＋42
＝11
5<r ，又3×1＋4×(－1)＋12≠0，故选D.
2．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2 D ．无解
答案 B
解析 由圆心到直线的距离d ＝|m |
2＝m ，解得m ＝2.
3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2
＋y 2
＝1的两个交点，则 |AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
答案 D
解析 直线y ＝x 过圆x 2
＋y 2
＝1的圆心C (0，0)， 则|AB |＝2.
4．由点P (1，3)引圆x 2
＋y 2＝9的切线的长是________． 答案 1
解析 点P 到圆心O 的距离为|PO |＝10，又∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.
5．过原点的直线与圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 答案 2x －y ＝0
解析 圆的方程可化为(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，故圆的半径为1，圆心为(1，2)．因为弦长为2，所以所求直线过圆心(1，2)，又所求直线过原点，因此所求直线方程是2x －y ＝0.
1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决直线和圆相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|. 3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
一、基础达标
1．以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
答案 C
解析根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝|6＋4＋5|
＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
32＋（－4）2
2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )
A．2＋ 2 B．2－ 2
C. 2 D．0
答案 A
解析圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝2，∴所求最大距离为2＋ 2.
3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是( )
A．相离B．相切或相交
C．相交D．相切
答案 C
解析l过定点A(1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上．∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，
∴l与圆一定相交，故选C.
4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2
＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1
答案 C
解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即
|a －2＋3|
2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0所以a ＝2－1.故选C.
5．已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2
＋y 2
＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－12
B ．1
C ．2 D.12
答案 C
解析 由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为
x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2，2)，∴c ＝－2－2a ，∴
|1－2－2a |
1＋a
2
＝5，解得a ＝2.
6．以点P (－4，3)为圆心的圆与直线l ：2x ＋y －5＝0相离，则圆的半径r 的取值范围是________． 答案 (0，25)
解析 P 点到直线l 的距离d ＝|2×（－4）＋3－5|
22
＋1＝ 25，若满足以P 点为圆心的圆与直线l 相离，则0<r <2 5.
7．求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．
解 圆的方程化为标准式为(x －3)2
＋y 2
＝4， 故圆心(3，0)到直线x －my ＋3＝0的距离d ＝6
m 2＋1
，
圆的半径r ＝2. (1)若相交，则d <r ，即
6
m 2
＋1
<2，
所以m <－22或m >22；
(2)若相切，则d ＝r ，即6
m 2
＋1
＝2， 所以m ＝±22； (3)若相离，则d >r ，即6
m 2＋1
>2，
所以－22<m <2 2. 二、能力提升
8．在圆x 2＋y 2
＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
答案 C
解析 由圆的方程知圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝
|－1－2＋1|
2＝2，故圆上有3个点满足题意．
9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2
＋(y －2)2
＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－34，0 B.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－33
，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 答案 A 解析
设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，
|AC |＝|MC |2
－|MA |2
＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离
d ≤1.∴
|3k －2＋3|
k 2＋（－1）2
≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2
＋1.∴－34≤k ≤0.
10．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2
有两个公共点，则b 的取值范围是________． 答案 [1，2) 解析
如图所示，y ＝1－x 2
是一个以原点为圆心，半径长度为1的半圆，y ＝x ＋b 是一组斜率为1的直线系，要使直线与半圆有两个交点，连结A (－1，0)和B (0，1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与
AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．
11．(1)直线2x ＋y －5＝0与圆C 切于点(2，1)，且直线2x ＋y ＋15＝0也与圆C 相切，求圆
C 的方程；
(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 被圆C 截得的弦长为27，求圆C 的方程．
解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
. ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－（－5）|22＋12
＝45， ∴r ＝25，
∴|2a ＋b ＋15|22
＋1
＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，① |2a ＋b －5|
22
＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10，② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴
b －1a －2＝1
2
，③ 由①②③解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－2，b ＝－1.
∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．
∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2
， ∴m ＝±1，
∴所求圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9. 三、探究与创新
12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2
＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．
(1)求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．
(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，由⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 所以l 恒过定点A (3，1)．
因为圆心为C (1，2)，所以|AC |＝5<5(半径)，
所以点A 在圆C 内，
从而直线l 与圆C 恒交于两点．
(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .
因为k AC ＝－12
，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3，1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.
13．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.
(1)求y x 的最大值和最小值；
(2)求y －x 的最小值．
解 方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0可化为(x －2)2＋y 2＝(3)2，故方程表示圆心为(2，0)，半径r ＝3的圆．
(1)y x 的几何意义是：圆上的点P (x ，y )与(0，0)点连线的斜率．
设y x
＝k ，
则直线y ＝kx ，即kx －y ＝0与圆相切时，k 取最值． 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝± 3. ∴y x
的最大值为3，最小值为－ 3.
(2)令y －x ＝b .
易知，直线x －y ＋b ＝0与圆相切时b 取最值，
由|2＋b |2＝3知，b ＝－2± 6.
∴y－x的最小值为－2－ 6.。