福建宁德2024年七年级下学期期末数学试题含参考答案

宁德市2023-2024学年度第二学期期未七年级质量检测数学试题
（满分：100分；考试时间：90分钟）
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效，
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 如图，直线,AB CD 相交于点,35O BOC ∠=
°，则AOD ∠的度数是（ ）
A. 145°
B. 55°
C. 40°
D. 35° 2. “北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度，20纳秒相当于0.000000020秒．数据0.000000020用科学记数法表示是（ ）
A. 82.010−×
B. 92.010−×
C. 92010−×
D. 102.010−× 3. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A B. C. D. 4. 如图，,∥A
B CD CE 交AB 于点O ，若65
C =°∠，则AOE ∠的度数是（ ）
A. 65°
B. 105°
C. 115°
D. 135° 5. 下列计算正确的是（ ）
A. 235a a a ⋅=
B. 623a a a ÷=
C. ()
325a a = D. ()33ab ab = 6. 随意掷一枚质地均匀的骰子，连续掷7次都是数字6朝上，则掷第8次时数字6朝上的概率是（ ） A. 0 B. 1 C. 13 D. 16
.
7. 如图AC BD 、相交于点,O OA OD =，用“SAS ”证ABO DCO △≌△还需（ ）
A. AB DC =
B. A D ∠=∠
C. OB OC =
D. AOB DOC ∠=∠ 8. 如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A. 23
B. 1
2 C. 1
3 D. 16
9. 如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（ ）
A. 截①②都可以
B. 截①②都不可以
C. 只有截①可以
D. 只有截②可以 10. 用边长分别为,()a b a b >A 和B ，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为12,S S ，下列关于12,S S 的大小关系表述正确的是（ ）
A 12S S > B. 12S S < C. 12S S ≥ D. 12S S
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11 计算：0(3)π−=_______．
12. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是___________．
..
13. “太阳每天从东边升起”是____事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”）
14. 如图，,30,80ABE FDC FCD A
∠=°∠=°△≌△，则ABE ∠的度数是____°．
15. 某小组做“油的沸点”实验（沸点是指液体沸腾时候的温度），研究一种食用油的温度随加热时间变化而变化，他们得到如下数据：
小红发现，加热到105s 时油恰好沸腾，则油的沸点是______℃．
16. 如图，在ABC 中，,=⊥AC BC CE AB 于点E ，将ABC 沿着AC 翻折得到ADC △，延长EC 交AD 于点F ，连接BD ，设()45BAC αα∠=<°，以下四个结论：
（1）点E 是AB 的中点；
（2）直线AC 是BD 的垂直平分线；
（3）4BCD α∠=；
（4）902DCF α∠=°−；
其中一定正确的是______（填写序号）．
三、解答题（本大题共7题，满分52分）
17. 求值：()()()2a b a b b a b ab +−++−，其中12,2
a b =−=． 18. 某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满100元，就能获得一次摸球的机会． 游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个．随机摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖．
（1）顾客摸一次球，求获得一等奖的概率；
（2）商场准备将获得二等奖的概率提高到
310
，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里最少添加多少个何种颜色的球？
19. （1）根据图形填空： ①若180ABC BCD
∠+∠=°，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若AD BC ∥，则根据“_________”，可得1∠=
________．
（2）已知：ABC ．求作：DEF ，使DEF ABC ≌．（保留作图痕迹，不写作法）
20. 周末，妈妈带小明兄弟俩去公园．到公园后，小明在亭子里看书，妈妈带着弟弟往小路走，几分钟后，小明发现弟弟的水杯忘记拿了，跑步去追妈妈和弟弟，小明跑步过程速度保持不变．如图，表示到公园后小明和弟弟行走的路程()m s 与弟弟行走的时间()min t 之间的关系．请结合图象，解答下列问题：
（1）曲线刻画的变化关系中，自变量是________，因变量是________；
（2）图中点A 表示的实际意义是什么？
（3）小明的速度是多少米/分？直接写出小明的路程s 与时间t 的关系式．
21. 课外实践活动
活动主题：测量小河两岸,A M 两点之间的距离，如图1．
使用工具：一把皮尺和一台测角仪，如图2．
工具作用：皮尺的功能是直接测量可到达的任意两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的,P Q 两点，可测得POQ ∠的大小，如图3．
测量方案：
①如图4，在河岸同侧取两个可以直接到达点A 的点C ，点N ，测得CAM ACN ∠=∠；
②取AC 的中点B ；
③在射线CN 上找到一点D ，使得点,,M B D 在同一条直线上，测得,C D 两点间的距离．则CD 的长即为,A M 两点之间的距离．
完成下列问题：
（1）说明上述测量方案的理由；
（2）请你设计一种不同的测量方案．（要求：画出示意图，不必说明理由）
22. 规定：一个两位数的十位上数字与个位上数字相同，就称这个数是叠数；一个两位数的十位上数字与个位上数字的和是10，就称这个数是互补数．
下面研究“叠数乘互补数”的速算规律 问题：若aa 是叠数，bc 是互补数，研究aa bc ×的速算规律．
（1）写出几个“叠数乘互补数”算式，并计算结果；
（2）①将bc 表示成10b c +，则aa bc ×=
__________； ②根据（1）的算式及计算结果，通过观察、归纳、猜想这种速算的规律，并用含,,a b c 的等式表示出来； （3）验证你的猜想的正确性．
23. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DF 交BC 于点D ，连接,AD ACB ∠的平分线交AD
于点
的
E ．若2,4,5,6ADC DAC CD BD AC ∠=
∠===．
（1）求ACD 周长；
（2）试说明AD 平分BAC ∠；
（3）求AE 的长．
的
宁德市2023-2024学年度第二学期期未七年级质量检测数学试题
（满分：100分；考试时间：90分钟）
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效，
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 如图，直线,AB CD 相交于点,35O BOC ∠=
°，则AOD ∠的度数是（ ）
A. 145°
B. 55°
C. 40°
D. 35°
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵35BOC ∠=°, ∴35AOD BOC ∠=
∠=°, 故选：D ．
2. “北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度，20纳秒相当于0.000000020秒．数据0.000000020用科学记数法表示是（ ）
A. 82.010−×
B. 92.010−×
C. 92010−×
D. 102.010−×
【答案】A
【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a −×，其中110a ≤＜
，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000020用科学记数法表示为82.010−×，故A 正确．
故选：A ．
3. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有选项B 符合轴对称图形的定义，
故选：B ．
4. 如图，,∥AB CD CE 交AB 于点O ，若65C =°∠，则AOE ∠的度数是（ ）
A. 65°
B. 105°
C. 115°
D. 135°
【答案】C
【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，得出65BOE C ∠=∠=°，进而根据邻补角互补，即可求解．
【详解】解：∵AB CD ∥
∴65BOE C ∠=∠=°，
∴180115AOE BOE ∠=°−=°，
故选：C ．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. 235a a a ⋅=
B. 623a a a ÷=
C. ()325a a =
D. ()3
3ab ab = 【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法除法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即
可．
【详解】解：A. 235a a a ⋅=，选项计算正确，符合题意；
B. 624a a a ÷=，选项计算错误，不符合题意；
C ．()326a a =，选项计算错误，不符合题意；
D. 333()ab a b =，选项计算错误，不符合题意；
故选：A ．
6. 随意掷一枚质地均匀的骰子，连续掷7次都是数字6朝上，则掷第8次时数字6朝上的概率是（ ）
A. 0
B. 1
C. 13
D. 16 【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单随机事件的概率，根据概率的意义进行解答即可．
【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，前7次都是6点朝上，掷第8次时，不会受前7次的影响， 掷第8次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第8次时6点朝上的概率是
16
， 故选：D ．
7. 如图AC BD 、相交于点,O OA OD =，用“SAS ”证ABO DCO △≌△还需（ ）
A. AB DC =
B. A D ∠=∠
C. OB OC =
D. AOB DOC ∠=∠
【答案】C
【解析】 分析】利用对顶角相等得AOB DOC ∠=∠，则要根据“SAS ”证ABO DCO △≌△需添加对应边OB OC =相等．
【详解】解：OA OD = ，AOB DOC ∠=∠，
∴当OB OC =时，可利用“SAS ”判断ABO DCO △≌△．
故选：C ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中
的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对
【
边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 8. 如图，三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是（ ）
A. 23
B. 1
2 C. 1
3 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是根据概率公式计算概率，结合图形求解是解题关键.
【详解】解：∵三条中线把三角形分成6个面积相等的区域，且阴影部分占2个相等的区域， ∴一个小球在三角形上自由地滚动，最后停留在阴影部分的概率是
2163
=， 故选：C ．
9. 如图，①②是两根细直木棒，现需要将其中一根截成两段，首尾相接搭成一个三角形框架，则下列说法正确的是（ ）
A. 截①②都可以
B. 截①②都不可以
C. 只有截①可以
D. 只有截②可以
【答案】D
【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】解：∵32>，
∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将②的直铁丝分为两段，
即只有②可以，①不可以，
故选：D ．
10. 用边长分别为,()a b a b >的两种正方形A 和B ，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为12,S S ，下列关于12,S S 的大小关系表述正确的是（ ）
A. 12S S >
B. 12S S <
C. 12S S ≥
D. 12S S
【答案】B
【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：()()22
123S a b a b a b =++−− 2222323a ab b a b =++−−
23ab b −；
()2223233S a a b a b =+−−
2223633a ab a b =+−−
26ab b −
∵()22216330S S ab b ab b
ab −=−−−>
∴12S S <
故选：B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 计算：0(3)π−=
_______． 【答案】1．
【解析】
【分析】由01(0)a a =≠解题即可．
【详解】0(3)1π−=
故答案为：1．
【点睛】本题考查零指数幂，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
12. 如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是___________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解三角形稳定性是解题的关键．
从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可解答．
【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性．
13. “太阳每天从东边升起”是____事件．（填“随机”或“必然”或“不可能”）
【答案】必然
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的概念，掌握知识点是解题关键．根据必然事件的概念进行判断即可．
【详解】解：太阳每天从东边升起是必然的，
∴太阳每天从东边升起是必然事件，
故答案：必然．
14. 如图，,30,80ABE FDC FCD A
∠=°∠=°△≌△，则ABE ∠的度数是____°．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握这性质是关键．根据三角形全等的性质，得出
30E FCD ∠=∠=°，然后求出18070ABE A E ∠=°−∠−∠=°即可．
【详解】解：∵ABE FDC ≌，
为
∴30E FCD ∠=∠=°，
∵80A ∠=°，
∴18070ABE A E ∠=°−∠−∠=°．
故答案为：70．
15. 某小组做“油的沸点”实验（沸点是指液体沸腾时候的温度），研究一种食用油的温度随加热时间变化而变化，他们得到如下数据： 时间/s t 0 10 20 30 40 50
油温y ℃ 20 40 60 80 100 120
小红发现，加热到105s 时油恰好沸腾，则油的沸点是______℃．
【答案】230
【解析】
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量或函数值，先根据表格中的数据得出每秒
油温升高2℃，从而得出油温y 与时间t 的关系式为：220y
t =+，把105t =代入220y t =+得出210520230y =
×+=，即可得出答案． 【详解】解：根据表格中的数据可知：每10s 油温升高20℃，
∴每秒油温升高2℃，
且当0=t 时，油温为20℃，
∴油温y 与时间t 的关系式为：220y
t =+， 把105t =代入220y
t =+得： 210520230y =
×+=， ∴油的沸点是230℃．
故答案为：230．
16. 如图，在ABC 中，,=⊥AC BC CE AB 于点E ，将ABC 沿着AC 翻折得到ADC △，延长EC 交AD 于点F ，连接BD ，设()45BAC αα∠=<°，以下四个结论：
（1）点E 是AB 的中点；
（2）直线AC 是BD 的垂直平分线；
（3）4BCD α∠=；
（4）902DCF α∠=°−；
其中一定正确的是______（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④．
【详解】解：∵AC BC =，CE
AB ⊥，
∴AE EB =，∠BBBBBB =∠BBBBBB 即点E 是AB 的中点，故①正确．
∵将ABC 沿着AC 翻折得到ADC △，
∴AB AD =，∠BBBBBB =∠DDBBBB ，∠BBBBBB =∠BBDDBB ，ACB ACD ∠=∠，
∴AC BD ⊥，且AC 平分BD ， 即直线AC 是BD 的垂直平分线；故②正确．
∵()45BAC
αα∠=<°， ∴∠BBBBBB =∠BBDDBB =∠DDBBBB =∠BBBBBB =αα， ∴∠BBBBBB =∠BBBBDD =180°−2αα，
∴∠BBBBDD =360°−∠BBBBBB −∠BBBBDD =360°−2(180°−2αα)=4αα，故③正确． ∵∠BBBBBB =180°−2αα， ∴∠EEBBBB =12∠BBBBBB =90°−αα，
∴∠DDBBDD =180°−∠BBBBDD −∠EEBBBB =180°−4αα−(90°−αα)=90°−3αα，故④错误．
综上①②③正确，
故答案为：①②③
三、解答题（本大题共7题，满分52分）
17. 求值：()()()2a b a b b a b ab +−++−，其中12,2
a b =−=． 【答案】2a ab +，3
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先用平方差公式展开，计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式2222a b ab b ab =−++−
2a ab =+．
当2a =−，12
b =时， 原式()212(2)32
=−+−×=． 18. 某商场为了吸引顾客，设置了摸球有奖游戏，顾客消费满100元，就能获得一次摸球的机会． 游戏规则：一个不透明的盒子中装有除颜色外都相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球1个，黄球2个，白球5个．随机摸出一个球，摸到红球、黄球、白球分别可以获得一、二、三等奖．
（1）顾客摸一次球，求获得一等奖的概率；
（2）商场准备将获得二等奖的概率提高到
310，同时适当降低获得一等奖的概率，那么应该往盒子里最少添加多少个何种颜色的球？
【答案】（1）18
（2）应该加入1个黄球和1个白球
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，解题的关键是熟练掌握概率公式．
（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）根据获得二等奖的概率提高到
310，同时适当降低获得一等奖的概率，进行解答即可． 【小问1详解】 解：顾客摸一次球，获得一等奖的概率为
111258
=++． 【小问2详解】
解：∵获得二等奖的概率提高到310
， ∴至少需要增加2个球，且其中1个是黄球，
又∵要降低获得一等奖的概率，
∴添加的另一个球是白球，
此时球的总数为13610++=， 获得二等奖的概率为
310
， 获得一等奖的概率为：110， ∵11108
<， ∴符合题意．
综上所述：应该加入1个黄球和1个白球．
19. （1）根据图形填空：
①若180ABC BCD
∠+∠=°，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若AD BC ∥，则根据“_________”，可得1∠=
________．
（2）已知：ABC ．求作：DEF ，使DEF ABC ≌．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）①AB CD ∥；②两直线平行，内错角相等；D ∠；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作三角形；
（1）①根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解；
②根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解．
（2）根据题意作DEF ABC ≌，即可求解．
【详解】（1）①若180ABC BCD
∠+∠=°，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB CD ∥； ②若AD BC ∥，则根据“两直线平行，内错角相等”，可得1∠=
D ∠． 故答案为：①AB CD ∥；②两直线平行，内错角相等；D ∠
（2）如图所示，DEF 即为所求
20. 周末，妈妈带小明兄弟俩去公园．到公园后，小明在亭子里看书，妈妈带着弟弟往小路走，几分钟后，小明发现弟弟的水杯忘记拿了，跑步去追妈妈和弟弟，小明跑步过程速度保持不变．如图，表示到公园后小明和弟弟行走的路程()m s 与弟弟行走的时间()min t 之间的关系．请结合图象，解答下列问题：
（1）曲线刻画的变化关系中，自变量是________，因变量是________；
（2）图中点A 表示的实际意义是什么？
（3）小明的速度是多少米/分？直接写出小明的路程s 与时间t 的关系式．
【答案】（1）弟弟行走的时间t s
（2）弟弟行走5min ，行走的路程是240m 时，小明追上弟弟
（3）240m/min ；240960s t =−
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意得出自变量和因变量即可；
（2）根据题意得出点A 表示的实际意义即可；
（3）根据题意求出小明的速度，得出小明的路程s 与时间t 的关系式即可．
【小问1详解】
解：曲线刻画的变化关系中，自变量是弟弟行走的时间t ，因变量是弟弟行走的路程s ；
【小问2详解】
解：图中点A 表示的实际意义是弟弟行走5min ，行走的路程是240m 时，小明追上弟弟；
【小问3详解】
解：小明的速度是：()()24054240m /min ÷−=
， ∵小明的速度是240m /min ，小明在弟弟出发后4min 开始出发，
∴小明行驶的路程()2404240960s t t =−=−．
21. 课外实践活动
活动主题：测量小河两岸,A M 两点之间距离，如图1．
使用工具：一把皮尺和一台测角仪，如图2．
工具作用：皮尺的功能是直接测量可到达的任意两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的,P Q 两点，可测得POQ ∠的大小，如图3．
测量方案：
①如图4，在河岸同侧取两个可以直接到达点A 的点C ，点N ，测得CAM ACN ∠=∠；
②取AC 中点B ；
③在射线CN 上找到一点D ，使得点,,M B D 在同一条直线上，测得,C D 两点间的距离．则CD 的长即为,A M 两点之间的距离．
完成下列问题：
（1）说明上述测量方案的理由；
（2）请你设计一种不同的测量方案．（要求：画出示意图，不必说明理由）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，
（1）证明ABM CBD ≌△△，根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）方案1：构造等腰三角形，使得90AEM EAM EAH ∠=°∠=∠，，则线段AF 的长就是A ，M 之间的距离．
方案2：测得2AGM PAM αα∠=∠=，，则线段AG 的长就是A ，M 之间的距离．
【小问1详解】
解：理由如下：
的的
由测量，得CAM ACN AB BC ∠=∠=
，， ∵ABM CBD ∠=∠，
∴ABM CBD ≌△△．
∴AM CD =．
【小问2详解】
方案1：①在河岸同侧取两个可以直接到达点A 的点E ，点H ，如图5，测得
90AEM EAM EAH ∠=°∠=∠，；
②在射线AH 上找到一点F ，使得点F ，E ，M 在同一条直线上，测得A ，F 两点间的距离．则线段AF 的长就是A ，M 之间的距离．
方案2：
①在河岸边选点P ，G ，如图6，测得2AGM PAM αα∠=∠=
，； ②测得A ，G 两点间的距离．
则线段AG 的长就是A ，M 之间的距离．
22. 规定：一个两位数的十位上数字与个位上数字相同，就称这个数是叠数；一个两位数的十位上数字与个位上数字的和是10，就称这个数是互补数．
下面研究“叠数乘互补数”的速算规律 问题：若aa 是叠数，bc 是互补数，研究aa bc ×的速算规律．
（1）写出几个“叠数乘互补数”的算式，并计算结果；
（2）①将bc 表示成10b c +，则aa bc ×=
__________； ②根据（1）的算式及计算结果，通过观察、归纳、猜想这种速算的规律，并用含,,a b c 的等式表示出来； （3）验证你的猜想的正确性．
【答案】（1）1128308×=，33461518×=
（答案不唯一） （2）①()()1010a a b c ++②()()1010100(1)a a b c a b ac ++
=++
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，整式的乘法的应用；
（1）根据题意，写出几个“叠数乘互补数”的算式，并计算结果； （2）①根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
②根据①中规律得出等式，即可求解；
（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：依题意1128308×=，33461518×=
（答案不唯一） 【小问2详解】 解：①将bc 表示成10b c +，则aa bc ×=()()1010a a b c ++
②()()1010100(1)a a b c a b ac ++
=++ 【小问3详解】
∵10b c +=,
∴10c b =−．左边=()11101099110a b b ab a +−=
+， 右边=()1001001099110ab a a b ab a ++−=+．
∴左边=右边．
∴()()1010100(1)a a b c a b ac ++
=++ 23. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DF 交BC 于点D ，连接,AD ACB ∠的平分线交AD 于点
E ．若2,4,5,6ADC DAC CD BD AC ∠=
∠===．
（1）求ACD 的周长；
（2）试说明AD 平分BAC ∠；
（3）求AE 的长．
【答案】（1）15 （2）见解析
.
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AD BD =，根据ACD 的周长15CD AD AC CD BD AC =++=++=求出结果即可；
（2）根据AD BD =，得出B BAD ∠=∠，根据三角形内角和定理得出2ADC B BAD BAD =+=∠∠∠∠．根据2ADC DAC ∠=∠，得出BAD DAC ∠=∠，即可证明结论； （3）作线段AE 的垂直平分线交AC 于点G ，证明2CGE DAC ∠=∠，得出2ADC DAC ∠=∠，得出ADC EGC ∠=∠，证明DCE GCE ≌ ，得
出CD CG DE GE =，=．
根据()3AE AD DE AD AC CD =−=−−=求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵DF 是AB 的垂直平分线，
∴AD BD =，
∵456CD BD AC ===，，，
∴ACD 的周长15CD AD AC CD BD AC =++=++=；
【小问2详解】
由（1），得AD BD =，
∴B BAD ∠=∠，
在ABD △中，180B BAD ADB ∠+∠+∠=°，
又∵180ADC ADB ∠+∠=°，
∴2ADC B BAD BAD =+=∠∠∠∠．
∵2ADC DAC ∠=∠，
∴BAD DAC ∠=∠．
即AD 平分BAC ∠；
【小问3详解】
解：如图3，作线段AE 的垂直平分线交AC 于点G ，
则EG AG =，
∴EAG AEG =∠∠，
∵180EAG AEG AGE ++=°∠∠∠，180CGE AGE +=°∠∠，
∴2CGE DAC ∠=∠，
∵2ADC DAC ∠=∠，
∴ADC EGC ∠=∠，
∵CE 平分ACD ∠，
∴DCE GCE ∠=∠，
∵CE CE =，
∴DCE GCE ≌ ，
∴CD CG DE GE =，=．
∵EG AG =，
∴DE AG =．
∴()3AE AD DE AD AC CD =−=−−=．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形全等的判定和性质，补角的性质，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．。