(完整word版)量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点汇总(良心出品必属精品)

第一章 量子力学的历史渊源
§1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就
到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：
(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，
(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；
(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。

这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。

经典物理学所遇到的问题
(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。

一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量
黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。

辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。

所以在t ∆时间，从面积S ∆上发射出频率在ννν-+∆范围内的能量表示为： (,)E T t S νν∆∆∆
因此，(,)E T ν的量纲为：
2
2
=1×⨯
能量焦耳米
秒米
秒。

可以证明：
（(,)v T ρ的单位为
3
⋅焦耳秒米
）。

吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。

G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明：
对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即
（f 与组成物体的物质无关）。

对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。

所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。

辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：
(,)(,)E v T dv E T d λλ∞
∞
=⎰⎰
由于c νλ=知2
c
d d νλλ
=-
代入上式得：0
2
(,)
(,)c
E v T d E T d λλλλ
∞
∞
-=⎰⎰
32
2
(,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T c
c
λνλλ⋅⇒=
=
焦耳米秒或
2、黑体的辐射本领
黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。

实验测得的辐射曲线满足下列定律：
(i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law ）
黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比， 即
54
4
842322() 5.6710(K s m )15B
k R T T J h c πσσ-⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
个定理其中()(,)R T E T d λλ=⎰为黑体辐射能量。

这是斯托藩1879年实验测定的，而1884年玻尔兹曼
从热力学理论推导出来。

(ii)、Wien 位移定律（Wien Displacement Law ） 地有一维恩发现， 对于一个确定的温度0T ，相应即
波长0λ使00(,)E T λ达到极大值，而00T λ=常数。

3001122 5.110(K m)T T T λλλ-===
=⨯⋅
这说明随着温度升高，热辐射峰值向短波高频方向移动。

温度越高，波长越短的光(即绿光和蓝光)越多；温度越低，波长越长的光(即红光)越多。

3、经典物理学的缺陷
利用经典物理学理论推导出的理论公式不能完全地符合实验，展现出经典物理学理论的局限性。

(i)、黑体辐射谱的维恩（Wien ）经验公式：
维恩(1894)根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 231(,)c v E v T c v e
-= 其中2
122
B c h c c h k π⎧=⎨=⎩，而-23o J K 1.3810B k =⨯是玻尔兹曼常数。

维恩公式在高频率(短波段)与实验符合，但在中、低频率（长波段）区，特别是低频率区与实验偏离很大。

(ii)、瑞利-金斯（Rayleigh-Jeans ）公式：
瑞利(1900)根据经典电动力学及金斯(1905)由经典统计力学的能均分定理严格得到黑体辐射本领公式：
2
38(,)B v E v T k T c
π=
(,)E v T 仅当频率足够低（或长波段）
，温度足够高（即()1
10o K 10S v T -⋅<<）时，符合（即B k T hv >>）实验曲线。

但在频率v 很高紫外区域（或很小λ的短波段）时，(,)E v T d ν→∞⎰，
即著名“紫外发散灾难”。

这两个公式并不完全符合实验结果，但理论上给出的结论是确切无疑的。

总之，用经典物理学理论解释黑体辐射谱的实验规律完全失败。

二、固体低温比热
根据经典理论，如一个分子有n 个原子，而每个原子有3个自由度。

对于1摩尔该分子固体有0N 个分子（23
0 6.0210N ⨯=mol 称为阿伏加德罗常数），故有03nN 个自由度。

所以，
固体定容比热为：
033V B V
E C N nk nR T ⎛⎫
∂=== ⎪∂⎝⎭， 其中(K mol)
8.314J
o
R ⋅=是气体常数。

称为能均分定理（Dulog –Relit 经验规律）。

实验发现，对单原子固体，在室温下v Constant C =符合能均分定理； 但在低温下，
3v 0C T ∝→，因而这个实验结果与经典理论不符。

如何解决这些问题呢？
在经典物理学框架下，解释黑体辐射定律的多次失败后，物理学家逐渐地认识到必须引入一个新的理论。

三、Planck 假说（1900） 1、普朗克公式
1900/10/19普朗克在柏林物理学会会议上公布了他通过实验数据，采用数学插值法得到的公式：
此公式与实验曲线符合得相当好。

1900/12/14普朗克又在柏林物理学会上给他的公式以量子说明，这就是量子论的生日。

2、普朗克的“能量子”假设
频率为ν的电磁辐射的能量以h ν为单位（h 是Planck 常数）不连续地变化。

h ν称为能量子或光量子。

0, 1, 2, n E nhv n n ω=== 式中346.62610h -⋅=⨯焦耳秒或342 1.054510h π-⋅==⨯焦耳秒。

注意：能量不连续的概念与经典物理学中能量是连续的完全不相容的！ 利用普朗克假设求普朗克公式如下： 辐射的平均能量可如此计算得到：
在经典物理学中，在E E dE -+区间内, 经典的能量几率分布: )()0
B
B E k T E k T e dE
e dE
∞
--⎰
（玻尔兹曼几率分布）， 则对于连续分布的辐射平均能量为
(
)())()
()
()
B B B B B E k T E k T E k T B B
E k T E k T k T E e
e dE
Ee dE
E k T e
dE
e
dE
∞
∞
∞
---∞
∞
----=
=
=⎰⎰⎰
⎰
；
而对于普朗克假设下的能量分布几率，则为())
0n B n B E k T E k T n e e ∞
--=∑，故分立的平均辐射能
量为
1()
()
1
()
()
2()1(1)(1)(1) (1)111
n B B B n B B B ny y E k T h nh k T y n k T
n n n y E k T nh k T ny
n n n y y y h k T y y y d d
h e e E e
nh e
dy dy E h e e
e
e
e e h e h h h e e e e ννννννν
ννν
ν∞∞
∞
-----====∞
∞
∞
-----===--------=
=
=-
=---====
----∑∑∑∑∑∑。

上式计算中取y
e
x -≡并用到幂级数展开公式：
1
1n n x x ∞
==-∑。

因此，用电动力学和统计力学导出的Rayleigh-Jeans 公式：2
22(,)B v E v T k T c
π=应改为
这就是Planck 假设下的辐射本领， 它与实验完全符合。

由辐射本领与能量密度的
关系(,)(,)4
c E v T v T ρ=
知，普朗克公式：
其中ρνν()d 是表示黑体辐射的频率在d ννν-+内的空间能量密度、c —光速、B k —玻尔兹曼常数、T —绝对温度。

Planck 公式与实验完全符合。

对普朗克公式进行下列讨论: ① 极限情况：
当B k T hv <<（高频区）：23()31122222(,) ,B hv k T c v T B hv h h E v T e
c v e c c c c k ππ--⎛⎫
≈=== ⎪⎝
⎭, 即Wien 公式; 当B k T hv >>（低频区）：32
()22212(,)1B B hv k T hv E v T k T c e c
ππν=≈-, 即Rayleigh-Jeans 公式。

② 斯托藩-玻尔兹曼定律
()
4
331
()224
4
3423
23
4
1
1212()(,)(1)1221
6B x B h k T B nx B n n k T h h R T E T d d x e dx c e c h k T k x e dx T c h c
h n
νπνπνννππ-∞
∞
-==⎛⎫
===- ⎪
-⎝⎭=
=⨯⨯⎰⎰⎰
∑∑⎰
③ 维恩位移定律 2
23
2
()
()
2
5
2121(,)(,)1
1
B B h k T hc k T h hc E T E T c
c c
e
e
νλννπνπλνλ
=
=
⨯
=
--
对于一个固定的温度值0T , 求导()
,dE T d λλ
：
()2
2
()()65251'(,)011B B B hc k T hc k T hc k T T hc e hc kT E T e e λλλπλλλλ⎛
⎫ ⎪=-+= ⎪-- ⎪
⎝⎭
固定
从而有
()()
200
1 5 0.289810(K )B hc k T B hc
e
T
m k T λλλ
---=⇒=⨯⋅。

④ 固体的低温定容比热（详细见固体物理学（黄昆著）P122-130） 由总辐射能量密度（单位：3
焦耳
米
）
5454
4
4333338442()(,)(,)1515B B k k W T T d E T d T T c c h c h c ππρλλλλ⎛⎫==== ⎪⎝⎭
⎰⎰ (横波2所受) 可推出固体中原子振动能量密度为
54
4333342115B
T L k T c h u u π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
其中T u 和L u 分别为固体中的横向声速和纵向声速。

∴ 低温下，3V C T ∝。

该公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离的2倍，即22u a u a νν>⇒<），而在低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽略，所以这样推出的公式只适用于低温）。

§1.2 Einstein 的光子说
一、爱因斯坦“光量子”假说(1905) 1、
光电效应现象[1887赫兹(Hertz)]
光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：
A 、发射光电子依赖于频率，而与光强度无关。

要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率min ν。

B 、当照射光的频率min νν>时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。

这从经典物理学角度是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。

因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。

所以，经典理论与实验绝然相反。

2、Einstein(1905)的“光量子”假设:
Einstein （1905）创立了狭义相对论，并在这年将Planck “能量子”假设推广为“光量子”的概念。

(i)、“光量子”的概念： 一束单色光由辐射能量大小为hv ε=的光量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量hv 。

(ii)、光子的动量与波长的关系：p h c h νλ==。

光子的静止质量00m =，根据狭义相对论的光的能量-动量关系：22422220E m c p c p c =+=； 又由于E h =ν, 所以p h c h ν==（c λν=是光的波长）。

对解释光电效应实验如下：
电子要飞离金属，必须克服吸引而做功0W （逸出功），所以飞出光电子电子的动能K e :
K h W e =-ν0, 0W -电子在金属中的脱出功
由于电子吸引两个光量子的几率几乎为0，故要想飞离金属，则至少0e K =；
∴ min 0hv W =， 即有一最低频率。

而()0min e K hv W h v v =-=-。

我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量ε除以频率v 为一个常数，即
()h v
ε
=常数
而这个常数h 与光的频率v 、光的强度、电子以及金属材料都无关。

该常数并不能由
经典物理学中常数所
给出。

因此，hv ε=是一个与经典物理学完全不相容的关系式。

意义： 证明电磁场的能量子h ν可以和单电子相互作用，从而它本身也可视为一种粒子，称为“光子”。

3、
密立根(Millikan)实验(1916)
密立根在1910开始研究光电效应，到1916通过实验证实了爱因斯坦的光电方程，并推算出普朗克常量346.5610J s h -=⨯⋅。

这为爱因斯坦的光量子理论提供了第一个直接而全面的实验证据。

1921年爱因斯坦由于光电效应等理论工作获得诺贝尔物理学奖，密立根也于1923年荣获诺贝尔物理学奖。

4、康普顿散射（Compton Scattering ）
Compton 实验(1923)是光在自由电子上的散射(或称光子-电子的碰撞)。

证实了光具有粒子性。

实验发现，单色x 射线与电子作用使电子发生散射，散射x 射线的波长增大： ()1cos A λθ∆=-
实验结果和特点经典物理无法解释。

康普顿引入“光子”的概念并利用相对论力学对散射过程成功地进行理论解释如下：
根据爱因斯坦假设：x 射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现， 因此它们交换能量和动量。

设x 入射波长为λ， 则入射的x 射线的能量和动量为
hc
E h E h h p n n n
c c νλ
νλ
==
===。

假定电子开始处于静止状态，其初始能量为2e m c 。

当x 射线与电子发生相互作用后，
x 射线以动量p '沿着θ方向射出，此时波长为λ'，能量和动量分别为
hc E h E h h p n n n c c νλνλ''==
'
''''''
==='
而电子的反冲角为φ，
能量为e E =和动量为e p ：
根据散射前后的能量、动量守恒有
2'e e e h m c E h p p p νν⎧+=+⎪⎨'=+⎪⎩2(') (1) (2)
e e e h m c E p p p νν⎧-+=⎪
⇔⎨'-=⎪⎩
由22(1)(2)c -⨯得:
()()2
2
2222224
'e e e e h m c c p p E c p m c νν'⎡⎤-+--=-=⎣⎦
22222222(')2(')20e h m c h c p c p c p p νννν''⇒-+---+⋅=
利用'p h c h p h h νλνλ==⎧⎨''==⎩
, 上式变为()22(')'1cos e h m h c ννννθ-=-
()2
1cos ''
e c c h
m h θλλλλ⎛⎫⇒-=- ⎪⎝⎭'(1cos )e h m c λλθ⇒-=-
122.4310c e h m c m λ-≡=⨯称为电子的康普顿散射波长。

[例题1] 当光对自由质子散射时，求它的波长的改变。

解：根据康普顿散射公式(1cos )h
mc
λθ∆=
-得 对于质子，31184018409.110e m m kg -==⨯⨯
342
152318
22 6.62610(1cos )sin (2) 2.6510sin (2)18409.110310
h h m mc mc λθθθ---⨯⨯∆=-===⨯⨯⨯⨯⨯。

[例题2] 当氢原子放射一个频率ω的光子时，求它的反冲，并求当反冲时由于把能量传递给原子而产生的ω的改变。

解：设氢原子的质量为m ，不反冲时光子的频率为ω，反冲时光子的频率为ω'。

由能量和动量守恒得：
2120
mv mv c ωωω⎧''
-=⎪⎨⎪''+=⎩2
22()2mc ωωω''⇒-=222
2mc ωωωωω'∆-⇒==''。

综上所述，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系
E h νω==
E h h p n n n k c c νλ=
=== 2k πλ
=
式中 起着重要作用， 很小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连续→连续，辐射的微粒性消失。

§1.3 玻尔旧量子论 一、原子结构的稳定性
1、原子“行星模型”（1911 Rutherford ）
卢瑟福（Rutherford ）组用α粒子轰击原子发现，α粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个α粒子约有一个α粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。

以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。

对原子行星模型，按经典电动力学观点：原子中电子绕原子核加速运动，电子会不断向外辐射电磁波(即发光)致使其运动的总能量减少而减速， 从而从轨道半径逐渐缩小将发生“原子坍塌”(610-秒)。

但事实上原子基态是出奇地稳定，也没有辐射发生(因负电荷粒子加速)， 这给经典理论带来了困难。

2、氢原子光谱的经验公式
氢原子特征谱线的频率为：（1885 Balmer ）
221
1H cR m n ν⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 1,2,3,m n <=， 其中110967758.1H R m -=---Rydberg 常数。

分为五个线系：远紫外区（赖曼(Lyman)系）、可见光和近紫外区（巴尔末(Balmer)系）、近红外区（帕邢(Paschen)系）、较远红外区（布喇开(Brackett)系）、远红外区（普逢得(Pfund)系）。

每个线系均具有以下规律性：沿波长减小的方向，谱线越来越密集且谱线强度越来越弱。

谱线公式中的每一项称为“光谱项”：2
1
n H
cR n ν=， 可认为每个光谱项对应着氢原子的一种能量状态。

这样，氢原子的能量就是不连续地变化的，其可能的值为：
21
n n H
E h hcR n
ν=-=- 这称为氢原子的能谱。

里兹“并合规则”：若ν1和ν2在特征光谱中，则有时νν12+和21νν-也在特征光谱中。

其意义是氢原子的任何一条谱线的波数都等于断续系列中的某两项之差。

为了解释上面的现象，玻尔将卢瑟福的原子结构模型与普朗克-爱因斯坦的光子理论结合，提出了原子结构的旧量子论。

二、Bohr 模型(1913 N. Bohr)
1、玻尔模型的基本假设： (i)、定态假设
电子在原子中只能沿着某些特殊轨道运动，当电子在这些轨道上时， 既不发出也不吸收光辐射。

(ii)、跃迁假设
当电子由一个定态“跳”（跃迁）到另一个定态时会发出或吸收光辐射，其频率为： ()n m E E h ν=-，式中n E 和m E 为跃迁前、后的能量。

(iii)、角动量量子化条件：
电子在原子中的允许轨道上满足下面的条件：它的轨道角动量是的整数倍, 即 () 1,2,J rp n n ===（对于圆形轨道）。

2、经典力学加玻尔假设可成功解释氢原子光谱
氢原子中电子绕核运动的方程为：222220044e e v e e F m m v r r r πεπε==⇒=
总能量：222
001248e e e E T V m v r r
πεπε=+=-=-
再利用玻尔量子化条件： e J n rp m vr ===222
2
204e e n e m v m r r πε⇒==22
02
4n e n r m e πε⇒=
42222
011
, 1,2,3,2(4)e n H m e E hcR n n n
πε⇒=-=-=,
其中定义精细结构常数2
01374e c
απε≡≈，
e m 是电子质量，e 是电子电荷。

因而22e H m c
R h α=与实验数值完全符合。

3、玻尔模型的实验证据
(i)、氢原子光谱和类氢原子光谱，(ii)、Franck-Hertz 实验(1913)也证明了原子能量的不连续性；
(iii)、斯特恩-盖拉赫实验(1921)证明角动量量子化的，(iv)、X 射线的特征辐射等。

三、威尔逊-索末菲（Sommerfeld ）量子化条件(1915) 索末菲推广了玻尔的角动量量子化，重新表述为: 对于任何周期运动的自由度(),i i p q ，有量子化条件
() 1,2,i i p dq nh n ==⎰ 其中 i q —广义坐标，i p —广义动量。

[例] 考虑一个电子绕电荷为Ze 的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。

[解] 系统的哈密顿函数为2
22
201()24r p Ze H p m r r
ϕπε=+-
由有心力下角动量守恒，知p ϕ=常数 ()0p H ϕϕ=∂∂=。

由量子化条件p d n h ϕϕϕ=⎰得
p n ϕϕ
=。

由2
22
2
0224r p p Ze E m mr r
ϕπε=+-
得r p = 令2
2002042A p mZe B C mE ϕπε⎧=-<⎪
⎪
=-<⎨⎪
⎪=⎩
，则r p ==
利用公式
(
) 02C B C C ⎧⎛⎫=⎪⎪⎪
⎛⎫⎪
=<⎨⎪⎪
⎪=-⎪⎩⎰得
max max min min min min max
min
22122
r r r
r
r r r r r d Cr Br A A B
B p dr
C dr A r r ++=++=+⎤
⎛⎫⎛⎫=-⎥⎥⎦⎰⎰
⎰⎰⎰
其中max r 和min r 由积分0=决定，即max min
r =2040C B AC <⎧⎨-≥⎩。

max
min
1=
得max
min
arcsin 2arcsin1r r π⎛⎫
=-=-⎪⎭
max
min
1=±
得max
min
arcsin 2arcsin1r r π⎛⎫
==⎪⎭ 故由量子化条件r r p dr n h =⎰(1,2,)r n =
得r h
22r n h π⇒=
22r p n h ϕπ⇒=
(2) (1,2,)r n n n n ϕ⇒=-==22
01(1,2,)8Ze E n a n
πε⇒=-=，其中2024a mZe πε=。

旧量子理论虽然在解释氢原子和类氢原子上取得一定成功，但也存在着严重的缺陷： (i)、对含有多个电子体系的复杂原子光谱、半整数角动量等等无能为力， (ii)、不能求解谱线的强度； (iii)、只能做周期运动；
(iv)、无法理解人为假设(加速不辐射和量子化条件等)。

因此，必须有崭新的理论来解释客观存在的物理现象与经典物理学理论矛盾的事实。

§1.3 物质粒子的波动性
一、德布罗意的“物质波”假设(de Broglie/1923)
德布罗意根据对辐射具有微粒性的研究，提出“物质波”假设： (i)、具有一定动量的粒子和一定波长的波相联系
h p λ= 即p k = （||2k πλ=）称为德布罗意关系 (ii)、能量E 与频率ν关系: E h νω== （称为Einstein 关系）。

这两个关系把表征粒子性的动力学变量（能量和动量）与波动性的特征量（频率和波矢）联系起来。

也就是说，对一个具有确定能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波矢（波数及一定的传播方向n p p ≡）。

而我们知道，具有一个固定频率和波长的波（并有一定的传播方向）是一个平面波 ()i k r t Ae ω⋅- ⇒ ()
i p r Et Ae ⋅- p k ⇐，E ω⇐ 2k n π
λ
=
物质波：把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）。

而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。

只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。

通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。

关于德布罗意波长的计算：
在非相对论情况下：22 k E p m p h p λλ=⇒=⇒==⎪⎭
当粒子是电子时，319.10810e m kg -
=⨯，从而e λ=
Å。

当粒子是质子或中子时，27 1.6710p n m m kg -
⨯，从而有,p n
λ=Å。

在相对论情况下：e E =
2
0222240 k E E m c p E p c m c h p λλ⎫=+⎪
⇒=⎬=+⎪⎭⇒=⎪
=⎪⎭。

当20k m c
E >>，则λ≈
德布罗意提出“物质波”时并没有实验根据，只是一个假设。

其目的是为了用电子的波动性解释玻尔量子化理论的困难， 他把原子定态与驻波联系，即把束缚运动实物粒子的能量量子化与有限空间中驻波的波长的分立性联系。

例如：氢原子中电子
做稳定的圆周运动，把玻尔理论中的定态对应于电子在圆周轨道上的驻波，即相当于物质波沿着圆形轨道传播，只有波的首尾相连时波的传播才处于稳定状态。

此时，
轨道周长等于波长的整数倍，即驻波条件 2 (1,2,3,)r n n πλ==22n p nh
J rp n λππ
⇒==
==， 这样就得到了玻尔的量子化条件。

德布罗意的“物质波”思想直接导致了量子力学的诞生。

1925年11月薛定谔在苏黎世的一个讨论会上给出了德布罗意假设波的解释，德拜向他提出一个问题：“波所满足的方程在哪?”。

与此同时，1925年海森堡以矩阵力学的形式建立了量子力学，随后1926年薛定谔就以波动力学的形式创建了量子力学。

二、实物粒子的波动性实验证据
1、戴维逊、革末电子衍射实验(1927)
（Davisson and Germer, Nature 119 (1927) 558） 上，
当可变电子束(30600)eV -照射到抛光的金属镍单晶发现在某角度φ方向有强的反射（即有较多电子波吸收），而φ满足
sin a n h p φ= （a 是晶面上相邻原子间距）
若h p λ=，则上式与Bragg 光栅衍射公式相同(sin )a n φλ=，证明电子入射到晶体表面发生散射，具有波动性而相应波长h p λ=这现象无法用粒子的图象来解释。

2、G. P. Thomson(小汤姆逊)实验(1927) 电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象
反映了电子的波动性(1040keV -，波长06.04.0~-Å可穿透厚度为1000Å的箔)。

如象x 射线照到单晶粉末压成的金箔上，满足2sin d n θλ=一
样，
电子入射满足2sin d n h p θ=，而产生衍射。

（注意现在不是明暗相间，而是电子数多少。

）
注意，这是小晶粒（金属箔）组成，所以晶面方向是无规的，总有一些晶粒的面与入射电子夹角满足衍射条件2sin d n θλ=，而又由于是无规的（因此，对绕入射束一周，而又保持晶面与入射束的夹角不变的晶粒总是存在。

）。

所以，形成衍射环。

这一特点，不仅电子有波动性，后来热中子试验都有，即物质粒子还有波动性，当然，经典物理学是无法解释的。

一、本章小结 基本内容
1、黑体辐射、光电效应等现象揭示了光的波粒二象性。

Planck 的假说：解决了黑体辐射的困难。

Planck 公式：3381
h kT h d d c e νπννρν=-
Einstein 的光量子假说成功地解释了光电效应。

康普顿效应进一步证实了光具有粒子性。

2、原子结构的玻尔理论
(1)、1913年玻尔对氢原子光谱线系的巴尔末（Balmer ）公式
221,2,3,1
1 2,3,4,m Rc n m m n n ν=⎛⎫
⎛⎫=->
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝
⎭
做出理论解释。

玻尔在原子的核模型（行星模型）的基础上引入定态的概念，并提出量子化假设和频率条件：
J rp n ==
n m
E E h
ν-=
并利用经典力学推导出Balmer 公式。

(2) 索末菲（Sommerfeld ）为处理多自由度体系的周期运动的分立能级将玻尔的量子化条件推广为：
() 1,2,3,i i i i p dq n h n ==⎰ 3、微观粒子的波粒二象性假设
(1)、1924年德布罗意(de Broglie)提出了微观粒子具有波动性的假设，从而把光(波场)的波粒二象性推广到实物粒子具有波粒二象性：
德布罗意假设：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的物质波的频率和波长分别为
E h h
p k νωλ==⎫
⎪
⎬==⎪
⎭
----德布罗意公式 (2)、德布罗意把原子中的定态与驻波联系起来，即把粒子能量的量子化问题与有限空间中驻波的频率及波长的不连续性联系起来。

在氢原子中作稳定圆形轨道运动的电子所相应的德布罗意驻波的一种波形。

驻波条件要求绕原子核传播一周后应光滑地衔接起来，这对轨道有所限制，即轨道的周长应为波长的整数倍：
()2 1,2,3,
r n n πλ==，利用德布罗意关系h
p
λ=
可得到粒子的角动量J n =，这正是玻尔的量子化条件。

(3) 德布罗意波：与自由粒子联系的波是平面波()i
p r Et Ae ψ⋅-=
(4) 1927年戴维逊与革末在电子衍射实验中直接证实了德布罗意波的存在。

二、题型分析 三、思考题 本章习题解答
1、 利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量与绝对温度的四次方成正比，
并求比例系数。

[证明] 由普朗克公式：3381
v hv kT hv dv
dv c e πρ=-得
()344333300
088 11v hv kT x h v dv k T x dx
U dv x hv kT c e h c e ππρ∞∞∞
===≡--⎰⎰⎰
3333411000
01 ()11x nx y
x x n n x dx e x dx x e dx y e dy y nx e e n ∞
∞∞∞
-∞∞
---==⎛⎫===≡ ⎪--⎝⎭∑∑⎰⎰⎰⎰ 利用积分公式0!n x
x e dx n ∞
-=⎰得303!y
y e dy ∞
-=⎰，又有441190n n π∞
==∑；所以34
115x x dx e π∞
=-⎰。

于是，得到5444
33815k U T T h c πσ=⋅=，式中5433815k h c
πσ=⋅。

2、
由黑体辐射公式推导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长max λ与温
度T 成反比，即 max ()T b λ=常数
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

[证明] 在频率间隔v v dv -+之间的能量为3381
v hv kT hv dv
dv c e πρ=-，用波长表示的能量为
v d dv λρλρ=
由v c λ=得2
c
dv d λλ
=
代入上式得5
81
hc kT
hc d d e
λλπλρλλ
=
-
为了使能量密度λρ取极大值，有0d d λρλ=即6815011hc kT hc kT hc kT
hc e hc
e e kT λλλπλλ⎡⎤⋅-=⎢⎥--⎣⎦
501hc kT hc kT e hc
e kT
λλλ⇒⋅-=- 令hc x kT
λ≡，则上式变为：501015x x x xe x e e --=⇒+-=-是一个超越方程，其根为 4.9651x =。

因此，30max 2.89710K hc
T b m kx
λ-=
=≈⨯⋅
3、利用玻尔-索末菲的量子化条件求：
(i)、一维谐振子的能量，(ii)、在均匀磁场中做圆周运动的电子轨道的可能半径。

[解] (i)、能量为222
122p E m q m ω=+，即222122p q mE E m ω
+=这是一个以(,)p q 为变量的椭圆方程。

取极坐标为p q ϕ
ϕ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
代入量子化条件pdq nh =⎰得
()2222
0022cos 1cos 2E E E d d d nh π
ππ
πϕϕϕϕϕϕωωω⎫==+==⎪⎪⎭
⎰
⎰⎰ 即,1,2,3,E n n ω==。

(ii)、电子做圆周运动，取转角ϕ为广义坐标, 而对应的广义动量为角动量p ϕ，由广义动量的定义得：
222
12H p mR mR mRv ϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫=
=== ⎪∂∂⎝⎭
，式中R 为电子做圆周运动的半径，v R ϕ=是线速度。

由玻尔-索末菲量子化条件：p d n h ϕϕϕ=⎰得
20
2p d mRvd mRv n h π
ϕϕϕϕπ===⎰⎰2n h n v mR
mR
ϕϕπ⇒=
=。

另一方面，电子做圆周运动的向心力是电子在匀强磁场中所受到的洛仑兹力，即
2v F eBv m R ==eBR v m
⇒=
于是有 (1,2,)n n eBR v R n m mR ϕ
ϕϕ=
=⇒==，这就是电子在匀强磁场中运动轨道的可能半径。

4、设质量为m 的粒子在一维无限深势阱⎩
⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0,0,)(中运动，试用德布罗意
的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

[解] 由驻波条件，有() 1,2,3,2a n n λ
=⋅=2/a n λ⇒= (1) 又由de Broglie 关系：h
p λ
= (2)
将(1)式代入(2)式得：() 1,2,3,2h
nh
p n a
λ
=
=
= (3)
而能量()222222
22 1,2,3,2242p h n n E n m m a ma
π====⨯
4、设质量为m 的粒子在一维无限深势阱⎩⎨⎧<<><∞=a
x a
x x x V 0,0,0,)(中运动，用索末菲量子
化条件求粒子能量的可能取值。

[解] 由能量为2
2p E m
=
，知动量为p =。

由量子化条件() 1,2,3,
pdx nh n ==⎰得
在本题中一个周期中，变量x 取值范围从0a →，再从0a →。

故有
()22 1,2,3,
mEdx nh n ===⎰()222
1,2,3,8n h E n ma
⇒==。

5、设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

[解] 除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有() 1,2,3,x x x p dx n h n ==⎰即
2x x ap n h = （其中a 2：一来一回为一个周期）2x x n h
p a
⇒=
； 同理可得()2 1,2,3,
2y y y
z z z n h p n b n n h p c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
, 因此粒子能量可能值为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x π， ,3,2,1,,=z y x n n n 。

6、求在势场00, 0(), , 0,x a V x V a x a b x x a b <<⎧⎪
=<<+⎨⎪∞<>+⎩
中运动的粒子的能量允许值。

[解
] 2
0() 20, 0,x a p E V x p a x a b m x x a b
<<=+⇒==<<+<>+⎪⎩
，由Wilson-Sommerfeld 量子化条件() 1,2,3,pdx nh n ==⎰得
22a
a a
nh ++=
⎰
22nh ⇒=，这就是能量满足的方程。

令1222k mE k mE ⎧=⎪⎨=⎪⎩12220122k a k b n V k k π+=⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩
()22222
0112222220n b V n a k k b a b a ππ++-
=--
122
n a k b a π⇒=
-2
222
221
2
2
2
22k
n a E n m m b a a ππ⎤⎥⇒==
-⎥
⎦。

7、设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

[
解] 由平面转子的能量2
2E p I ϕ=知，p ϕ=20
, 1,2,3,
p d nh n π
ϕϕ==⎰得
nh =；故平面转子的能量22
2n n h E I
=，1,2,3,
n =。

9、(i) 质量为
M 、电荷为q 的粒子限制在半径为R 的圆环上运动。

求粒子能量允许值。

[解] 能量为2
2p E p M
=⇒=-索末菲量子化条件
pdl nh =⎰得 22MEdl nh π⇒
==⎰
2
2
22
1,2,3,8n h E n M R
π⇒==
(ii)、如在圆环中心垂直于环面放置一个无限长细螺线管，管内有磁通量Φ。

求粒子能量的允许值。