数学建模-第四篇-典型案例分析课件

问题
☞ (1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计 划, 使总费用最小（给出总费用).
☞ (2)请就(1)的模型分析: 哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总 费用的影响最大，并给出相应的数字结果.
☞ (3)如果要铺设的管道不是一条线, 而是一 个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就 这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图 二按(1)的要求给出模型和结果.
§2.4 流量估计 1. 拟合水位~时间函数.
2. 确定流量~时间函数.
3. 一天总用水量的估计.
§2.5 算法设计与编程
1．拟合第1.2时段的水位，并导出流量.
2. 拟合供水时段的流量.
3. 一天总用水量的估计. 4. 流量及总用水量的检验.
Watertower.m
32Biblioteka 302826
24
22
20
★ 空气阻力的影响 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
v(m/s）
8.0 8.5 9.0
h (m)
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1度
2度
60.7869 61.6100 62.3017 62.9012
43.5424 41.5693 39.7156 37.9433
§1.2 问题的分析 d
d
球心偏前
0
△x
0 D
篮球入框
D
☞不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件 ☞考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件 ☞保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差 ☞考虑空气阻力的影响
§1.3 基本模型
★ 不考虑篮球和篮框大小,不考虑空气阻力的影响
球可视为质点（球心）的斜抛运动, 其运动方程
3. 出手角度和出手速度的允许偏差（表4-1-3）
4. 空气阻力的影响 思考 若出手高度和角度固定, 考察阻力对出手速度 的影响。
§2 水塔流量估计
§2.1 问题的提出 圆柱形水塔 :高12.2.直径17.4米
水位降至约8.2米升到约10.8米时,水泵工作. 水泵每天供水一两次, 每次约两小时.
已知一天水位测量记录. 估计任何时刻流水量、一天总用水量.
66.5719 66.9244 67.2505 67.5541
37.7905 36.2870 34.7982 33.3209
70.1198 70.3328 70.5352 70.7279
34.2736 32.9087 31.5428 30.1756
度
1
2度
62.4099 42.7925 63.1147 40.9188 63.7281 39.1300 64.2670 37.4017
18
16
14
0
5
10
15
20
25
n=(5,6)的拟合流量曲线
n=(3,4) 的拟合流量曲线
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
0
5
10
15
20
25
§2.6 计算结果
各时段和一天总用水量 及两个供水时段水泵的功率
(n1,n2) y1 y2 y12 y3
y
p1 p2
(3,4) 146.18 258.10 48.50 78.50 1263.4 154.25 143.59
23
26
29
32
里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900
901～ 1000
运价(万元) 37
44
50
55
60
1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里 部分按整公里计算）. 钢管可由铁路、公路运往铺设地点 A1,A2, ,A15,和 管道全线.
(2)拟合水位~时间函数、求导数, 得连续时间流量. ★模型检验: t=0-8.97,水位下降968-822=146, 这一时段用水量=146*水塔的截面积. §2.3 模型假设
1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关. 2．水泵第1次供水: t=9-11; 第2次供水:t=20.8-23. 3. 水泵工作时单位时间的供水量大致为常数. 4. 流量是时间的连续函数. 5流量与水泵是否工作无关. 6. 流量:单位时间流出的水的高度*水塔截面积.
v
gL
§1.5 空气阻力的影响
只考虑水平方向的阻力, 且阻力与速度成正比
水平方向运动 x k x 0 ,x ( 0 ) 0 ,x ( 0 ) v c o
解得 x(t)vcos1ekt
x(t)vco ks tkc vo s t2
y(t)vs intg2t
2
2
不考虑篮球和篮框大小, 确定球心命中框心的条件
17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91 892 866 843 822 // // 1059 1035 1018
§2.2 问题的分析 流量是单位时间流出的水的体积.
★水泵不工作时段流量计算: 水位对时间的变化率. ★水泵供水时段的流量计算: (1) 数值微分、拟合;
8.5
1.9 37.5049 36.0075 34.5214 33.0444 2.0 62.1726 63.1884 64.1179 64.9279
2.1 12.6250 12.7753 13.0240 13.3583
1.8 71.0697 71.2749 71.4700 71.6561
9.0
1.9 34.1327 3207614 31.3881 30.0127 2.0 67.1426 67.7974 68.4098 68.9840
71.4700 9.0
v
-0.7562 0.0528 -0.5603 0.0694 -0.4570 0.0803
-0.7100 0.0601 -0.5411 0.0734 -0.4463 0.0832
v
v
1.2261 0.6597 0.8276 0.8167 0.6431 0.8925
1.1140 0.7511 0.7918 0.8640 0.6244 0.9243
1100
306 1150
S4 S3
160 320
20
S2
690
160
70
20
30
1200
690 170
720
520 88
70
S6
A15
110 500
62
420
A14
202 S1
20
462 S5 10
A13
70
42
10
210 220 A12
12
195
31
480 A10300 A11 A9
天然气管道
680
vcostkcvost2L0
vs intg2t2 (Hh)0
2
§1.6 算法实现和计算结果
★ 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度
tang v2L 112 vg 2(Hh2 gv2 2L) vm 2 in g [H hL 2 (H h )2]
tan
0
v2 gL
h(m) 1.8
v(m/s) (度0 )
5
10
201 A8
里程（单位km）
600
450
10 194
80
A5
2
750
606 A4
3
A3
104
301 A2
205 A7 A6
公路
图一
A1
1km主管道钢管称为1单位钢管. 一钢厂如果承担制造这种钢管,至少生产500个单位. 钢厂S i 在指定期限内能生产该钢管最大数量为 s i个单位. 钢管出厂销价1单位钢管为 p i万元.
(5,6) 146.52 257.76 46.13 76.30 1252.5 153.06 142.67
§2.7 分析及改进 数据拟合、数值积分精度足够. 供水时段用3次曲线拟合4点不够好. 流量曲线与原始记录基本上相吻合, 零点到十点钟流 量很低, 十点到下午三点是用水高峰. 全天平均流量22(cm/h).一天总用水量:
x(t)vc o st
则球心运动轨迹为抛物线
y(t)vs intg2 t
2
yxtanx2 g 2v2c o2s
以 xL,yHh代入上式，就得到球心命中框心的条件
且有 tang v2L 112 vg 2(Hh2 gv2 2L) 最小出手速度
2g
gL2
1 (Hh )0
v2
2v2
v2g[HhL2(Hh)2]
★ 球入篮框时的入射角度 计算公式
d
0 D
tan dx
dy XL
yxtanx2 g 2v2c o2s
tantan2(Hh)
L
★ 考虑篮球和篮框的大小, 球心命中框心且球入
框的条件为
sin d
D
将 d24.6cmD45.0cm代入得 33.10
§1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计
球入框时球心偏前(偏后)的最大距离 x D d
时刻（h） 水位(cm)
时刻（h） 水位(cm)
时刻（h） 水位(cm)
0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822
9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 // // 1082 1050 1021 994 965 941 918
第四篇 典型案例分析
§1 投篮的出手角度 §2 水塔流量估计 §3 钢管订购和运输
§1 投篮的出手角度
§1.1 问题的提出
v
P
h
从罚球点投篮示意图
0
Q1
Q2
H
问题
L
☞不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件 ☞考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件 ☞保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差 ☞考虑空气阻力的影响
7.6789 52.6012
1.9 7.5985 52.0181
2.0 7.5186 51.4290
2.1 7.4392 50.8344
★对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
tang v2L 112 vg 2(Hh2 gv2 2L)
tantan2(Hh)
L
v（m/s） h (m) 1 (度) 2 (度) 1 (度) 2 (度)
67.6975 68.0288 68.3367 68.6244
37.5049 36.0075 34.5214 33.0444
71.0697 34.1327 71.2749 3207614 71.4700 31.3881 71.6561 30.0127
§1.7 结果分析
1. 最小出手速度和出手角度（表4-1-1） 2. 出手速度和出手高度对出手角度的影响（表4-12）
2 2 2 4 2.3 8 0 7 .0 1 12 .6 5 13 5 ( 0 L )
§3 钢管订购和运输
3.1 问题的提出 要铺设一条 A 1 A 2 A 15 的输送天然气的主管道, 如图一所示。 经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有
S1,S2,,S7
火车站
290
30 S7
钢管厂
铁路
因为
yxtanx2 g 2v2c o2s
yHh
2
2s in
x22v2c g2 os xtan Hh0ddxxLgL(Lv2v 2sgiL ntacno)s
★ 出手角度最大偏差估计
gLv2sinc osx L(v2gLtan)
★ 出手速度最大偏差估计
gLv2sinc os
v
vx
gL 2
v的相对偏差为 v (v2 tan)
1.8 62.4099 63.1147 63.7281 64.2670
8.0
1.9 42.7925 40.9188 39.1300 37.4017 2.0 53.8763 55.8206 57.4941 5809615
2.1 20.9213 201431 19.6478 19.3698
1.8 67.6975 68.0288 68.3367 68.6244
i1 2 3 4 5 6 7
si
80 0
80 0
10 0 0
20 0 0
20 0 0
20 30 00 00
p i 16 15 15 16 15 15 16
0 5 5 0 5 00
1单位钢管的铁路运价如表:
里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500
运价(万元) 20
290 30 S7
1100 306
S2
S3
S4 690
A18
160
160
320 A20 70
100 30
1200
690
130 70 260
170
S6 (A21)
720
520 88
190
A19 62
110
A16 202
A17 462 S5 10
2.1 7.6550 8.1663 8.7321 9.3472
★ 出手角度和出手速度最大偏差
gLv2sinc osx L(v2gLtan)
gLv2sinc os
v
vx
gL 2
h(m) (度) v(m/s)
62.4099 8.0 1.8 67.6975 8.5
71.0697 9.0
63.7281 8.0 2.0 68.3367 8.5