《用计算器求锐角三角函数值及锐角》教案精品 2022年数学

28．1锐角三角函数
第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角
1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)
2．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
一、情境导入
教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
二、合作探究
探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角
【类型一】角度，用计算器求函数值
用计算器求以下各式的值(精确到0.0001)：
(1)sin47°；(2)sin12°30′；
(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin47°≈0.7314；
(2)sin12°30′≈0.2164；
(3)cos25°18′≈0.9041；
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第4题
【类型二】三角函数值，用计算器求锐角的度数
以下锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)：
(1)sin A＝0.7，sin B＝0.01；
(2)cos A＝0.15，cos B＝0.8；
(3)tan A＝2.4，tan B＝0.5.
解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin，cos，tan键的第二功能键，要注意按键的顺序．
解：(1)sin A＝0.7，得∠A≈44.4°；sin B＝0.01得∠B≈0.6°；
(2)cos A＝0.15，得∠A≈81.4°；cos B＝0.8，得∠B≈36.9°；
(3)由tan A＝2.4，得∠A≈67.4°；由tan B＝0.5，得∠B≈26.6°.
方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第7题
【类型三】利用计算器验证结论
(1)通过计算(可用计算器)，比拟以下各对数的大小，并提出你的猜测：
①sin30°________2sin15°cos15°；
②sin36°________2sin18°cos18°；
③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°________2sin30°cos30°；
⑤sin80°________2sin40°cos40°.
猜测：0°＜α＜45°，那么sin2α________2sinαcosα.
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．
解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比拟大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．
解：(1)通过计算可知：
①sin30°＝2sin15°cos15°；
②sin36°＝2sin18°cos18°；
③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°；
④sin60°＝2sin30°cos30°；
⑤sin80°＝2sin40°cos40°；
sin2α＝2sinαcosα.
(2)∵S△ABC＝1
2AB·sin2
α·AC＝
1
2sin2
α，S△ABC＝
1
2×2AB sin
α·AC cosα＝sinα·cos
α，∴sin2α＝2sinαcosα.
方法总结：此题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第6题
【类型四】用计算器比拟三角函数值的大小
用计算器比拟大小：20sin87°________tan87°.
解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.
方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第8题
探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA ＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直的公路AB的长；
(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？
解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH ＝AC·cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；
(2)在Rt△BCH中，由BC＝
CH
sin∠CBA
可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论．
解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝
8.4km，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝CH
tan∠CBA
≈8.4
tan37°
＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；
(2)在Rt△BCH中，BC＝
CH
sin∠CBA
＝
CH
sin37°
≈
8.4
0.6＝14km，那么AC＋BC－AB＝20＋14
－29.3＝4.7km.
答：公路改直后比原来缩短了4.7km.
方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第4题
三、板书设计
1．角度，用计算器求函数值；
2．三角函数值，用计算器求锐角的度数；
3．用计算器求三角函数值解决实际问题．
备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.
15．1.2分式的根本性质
1．通过类比分数的根本性质，说出分式的根本性质，并能用字母表示．(重点) 2．理解并掌握分式的根本性质和符号法那么．(难点)
3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点) 4．能正确、熟练地运用分式的根本性质，对分式进行约分和通分．(难点)
一、情境导入
中国古代的数学论著中就有对“约分〞的记载，如?九章算术?中就曾记载“约分术〞，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的根本性质．
二、合作探究
探究点一：分式的根本性质
【类型一】 利用分式的根本性质对分式进行变形
以下式子从左到右的变形一定正确的选项是( )
A.
a ＋3
b ＋3＝a b B.a b ＝ac
bc
C.3a 3b ＝a b
D.a b ＝a 2
b
2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的根本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的根本性质，故D 错误；应选C.
方法总结：考查分式的根本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数
不改变分式0.2x ＋1
2＋0.5x
的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正
确的为( )
A.2x ＋12＋5x
B.x ＋5
4＋x C.
2x ＋1020＋5x D.2x ＋1
2＋x
解析：利用分式的根本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .应选C.
方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的根本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．
【类型三】 分式的符号法那么
不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“－〞号． (1)－3b 2a ；(2)5y －7x 2；(3)
－a －2b 2a ＋b
. 解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．
解：(1)原式＝－3b 2a ；(2)原式＝－5y 7x 2；(3)原式＝－a ＋2b 2a ＋b
.
方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
探究点二：最简分式、分式的约分和通分 【类型一】 判定分式是否是最简分式
以下分式是最简分式的是( ) A.2a 2
＋a ab B.6xy 3a
C.x 2－1x ＋1
D.x 2＋1x ＋1
解析：A 中该分式的分子、分母含有公因式a ，那么它不是最简分式．错误；B 中该分式的分子、分母含有公因数3，那么它不是最简分式．错误；C 中分子为(x ＋1)(x －1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x ＋1)，那么它不是最简分式．错误；D 中该分式符合最简分式的定义．正确．应选D.
方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分
解因式，并且观察有无公因式．
【类型二】 分式的约分
约分：(1)－5a 5
bc 3
25a 3bc 4
；(2)x 2
－2xy
x 3－4x 2y ＋4xy 2
. 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的根本性质把公因式约去． 解：(1)－5a 5
bc 3
25a 3bc 4＝5a 3
bc 3
〔－a 2
〕5a 3bc 3
·5c ＝－a
2
5c
； (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x 〔x －2y 〕x 〔x －2y 〕2＝
1
x －2y
. 方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．
【类型三】 分式的通分
通分： (1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a
5cb 3； (2)
1a 2
－2a ，a a ＋2，1
a 2－4
. 解析：确定最简公分母再通分．
解：(1)最简公分母为30a 2b 2c 2
，b 3a 2c 2＝10b 430a 2b 3c 2，c －2ab ＝－15ab 3c 330a 2b 3c 2，a 5cb 3＝6a 3
c
30a 2b 3c
2；
(2)最简公分母为a (a ＋2)(a －2)，1a 2－2a ＝a 2
＋2a a 〔a ＋2〕〔a －2〕，a
a ＋2
＝
a 3－2a 2a 〔a ＋2〕〔a －2〕，1a 2－4＝a
a 〔a ＋2〕〔a －2〕
.
方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
三、板书设计
分式的根本性质
1．分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．
2．符号法那么：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；假设只改变其中一个的符号或三个全变号，那么分式的值变成原分式值的相反数．
本节课的流程比拟顺畅，先探究分式的根本性质，然后顺势探究分式变号法那么．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．。