寿险精算公式集合

1 x x s ( x) 1
x


De Moivre 模型(1729)

,
0 x

x Bc x
x Gompertze 模型(1825) s ( x ) exp{ B (c 1)} , B 0,c 1,x 0
x A Bc x
x Makeham 模型(1860) s( x) exp{ Ax B(c 1)} , B 0,A -B,c 1,x 0
Var (T ( x )) E (T ( x ) 2 ) E (T ( x )) 2 2 t
0
p x dt ex
o 2
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： ( x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
ex ex E ( K ( x ))
k
x kx n
n 1 } , k 0, n 0, x 0 Weibull 模型(1939) s ( x ) exp{ kx
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布， 而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义： 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》 。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》 ，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合） 、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。 （用频数估计频率）
生命表实例（美国全体人口生命表） （略） 中国的生命表 中国生命表结构。生命曲线。生命特点。 选择-终极生命表 选择-终极生命表构造的原因： 需要构造选择生命表的原因： 刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。 需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失 选择-终极生命表的使用（略） 第二章 趸缴纯保费 保险费的种类:(1)纯保费:与死亡给付金对应的保险费 (2)总保费:包括纯保费、经营费用和利润。 纯保费又分为:(1)趸缴纯保费 (2)均衡纯保费 第一节 离散型的人寿保险模型 是以离散型未来寿命 K(x)为基础,保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的 各种人寿保险的数学模型.
s( x ) s x ( t px 1 s ( x)
g (t )
fT (t )
s ( x t ) x t d d s ( x) s ( x t ) G (t ) dt dt s( x) s( x)
t
px x t
关寿命分布的参数模型
1、 d 3 0 l 3 0 l 3 1 1 0 0
30 20
p30 q30
q30
l3 0 l 6 0 3/ 7 l3 0 l5 0 l5 5 1 / 16 l20
10
2、
30 5
q 20
解答：
3、
e
0
0

T0 l0

100 0
(1
x )dx 50 100
1 5000 A 5000 35:25
M 35 M 60 D35
5000 190.27
14116.12 9301.689 126513.80
例题：现年 45 岁的人,缴付趸缴纯保费 5000 元,购买一张 20 年定期寿险保单,保险金额于死 亡者所处的保单年度末支付,试求该保单的保险金额.
n
n
qx
dx
l x l x 1 l x q x
l0
个新生生命在年龄 x 至 x+t 区间共存活年数： 个 新 生 生 命 中 能 活 到 年 龄
Tx
t Lx
t
Lx

x t
x
l y dy
l0
Tx
x
x
的 个 体 的 未 来 寿 命 总 数 ：


x
ly d y

o
T e x lx
纯保费厘定的基本假定 三个基本假定条件:同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。被 保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益 （即预定利率） 。 净保费厘定原理 原则：保费净均衡原则 解释： 所谓净均衡原则， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。 是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时 值 ( x) 基本符号： —— 投保年龄 ——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数 vt ——贴现函 数 zt ——保险给付金在保单生效时的现时值 zt bt vt 主要险种的趸缴净保费的厘定： n 年期定期寿险 终身寿险 延期 m 年的终身寿险 n 年期生存保险 n 年期两全保险 延期 m 年的 n 年期的两全保险 递增终身寿险 递减 n 年定期寿险 2.1.1 死亡保险 n 年定期死亡保险 (x)签约离散型的保险金额为 1 个单位的 n 年定期死亡保险的趸缴纯保费为:
x
s ( x ) exp{
0 x t t
s ds}
s
死亡效力与生存函数的关系
px
exp{

x
ds}
x
死亡效力与密度函数的关系 死 亡 效
t
f ( x ) x s ( x ) x exp{ s ds}
0
力
表
示
未
来
)
寿
命
的
密
度
函
数
F ) T t (
例 2.1： 已知
l x 10000(1
x d 30 , 20 p30 , 30 q30 ,10 ) 100 。 计算下面各值： （1）
l5 0 5 / 7 l3 0 l40 l41 1 / 70 l3 0
q30
（2）20 岁的人在 50~55 岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
常用符号：新生生命组个体数：
l0
l0
年龄： x 极限年龄：
lx l0 s ( x )
个新生生命能生存到年龄 X 的期望个数： l x
l0
个新生生命中在年龄 x 与 x+n 之间死亡的期望个数： n d x （特别：n=1 时，记作 d x ）
dx lx lx n lx
s ( x) s ( x t ) s ( x)
t
基本函数 未来寿命的生存函数
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)
t
px
特别： x p0 s ( x) ：x 岁的人至少能活到 x+1 岁的概率 q x ：x 岁的人将在 1 年内去世的概率 q ：X 岁的人将在 x+t 岁至 x+t+u 岁之间去世的概率 tu x
第一章 生命表函数与生命表构造 生存函数 定义S ( x) Pr( X x) 意义：新生儿能活到 x 岁的概率 与分布函数的关系 S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系 f ( x) S ( x) 新生儿将在 x 岁至 z 岁之间死亡的概率 Pr( x X z ) s( x) s( z) 未来寿命 定义：已经活到 x 岁的人（简记(x)） ，还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作 T(x)。 q Pr( T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) 分布函数： t x
A1 A1
x:n
当n 1 时 v qx v dx lx
x: 1
自然纯保费
v x 1 d x Cx cx v x lx Dx
Ax

v
k 0 k 1

k 1

k
qx
v
k 0

k 1

d xk lx
v
k 0

d xk v x lx v x
k 0

k
px qx k


k 0

k 1
px
整值未来寿命的方差 死亡效力
Var ( K ( x)) E ( K 2 ) E ( K ) 2 (2k 1) k 1 px ex 2
k 0
定义： ( x) 的瞬时死亡率，简记
x
s( x ) f ( x) ln[ s ( x )] s ( x) s ( x)

k 1

d xk lx
v
k 0
n 1
d vx xk x lx v
M x M xn 1 ( C x k C x k ) Dx k 0 Dx k n
例题：设年龄为 35 岁的人投保离散型的保险金额为 5000 元的 25 年定期保险.求该保单的趸 缴纯保费.
tu
px
qx t u qx t qx t px t u px
整值未来寿命 ( x) 未来存活的完整年数，简记 K ( X ) k , 定义：
k T ( x) k 1, k 0,1,
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
A1 x:n M
x
v
k 0
n 1
k 1

k
px qxk
M Dx
xn
记D x l x v x , C x v x 1d x , M
A1 x:n
x


k 0

C xk
v
k 0 k 1
n 1
k 1

k
px qx k Cxk Dx k 0
概率函数 未来寿命的期望与方差 期望未来寿命： ( x) 未来寿命的期望值(均值),简记
ex E (T ( x ))
o
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
td (1
0
t
t
px )

0
t
p x dt
未来寿命的方差 整值未来寿命的期望与方差

k 0
Cxk Dx
Mx Dx
终身寿险
l x Ax
v
k 0

k 1
d xk
例题：100 个年龄为 30 岁的人投保终身死亡保险,保险金额为 1000 元,利率为 6%.若保险基 金的实际运作结果是:第 2 年和第 5 年分别有 1 人死亡,第 1 年利率为 6%,第 2 年和第 3 年为 6.5%,第 4 年和第 5 年为 7%.问保费为多少?第 5 年末基金的期望值和实际值之差. 解:保费为 P=1000A30=1000M30/D30=86.63 基金 S=100P=8663 令 Fk 表 示 第 k 年 末 的 基 金 值 , 则 运 行 结 果 为 :F0=8663 F1=8663(1+6%)=9182.78 F2=9182.78(1+6.5%)-1000=8779.66 F3=8779.66(1+6.5%)=9350.34 F4=9350.34(1+7%)=10004.86 F5=10004.86(1+7%)-1000=9705.20 基金在第 5 年末的期望值:1005p30A351000=100000(l35/l30)A35=11061.69 期望值和实际运行结果之差为:11061.69-9705.20=1356.49 2.12 两全保险
A
1
vn
x:n
n
px
vn
lx n v x n lx n lx lx v x
n 年生存保险 Dx n / Dx n 年两全保险 bk+1=1 Z=vk+1(k=0,1,…,n-1) =vn (k=n,n+1,…)
Ax:n A1
x:n
A
1
x:n
( M x M x n ) / Dx Dx n / Dx M x M x n Dx n Dx