全国II高考数学文科试卷带答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}
*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U A
B =ð ( ).
A.{}1,4
B.{}1,5
C.{}2,4
D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C
【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}A
B =，
∴(){2,4}U A
B =ð， 故选
C .
2. 不等式
3
2
x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}
2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}
3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.
【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】
3
02
x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.
3. 已知2
sin 3
α=
，则cos(2)x α-= ( ).
A.3-
B.19
-
C.
1
9
【测量目标】三角函数间的互化.
【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B
【试题解析】 ∵ 2sin 3
α=
∴2
1cos(π2)cos 2(12sin )9
ααα-=-=--=-
4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).
A. ()1e 1>0x y x +=-
B. 1
e
1(>0)x y x -=+
C. ()1e 1x y x +=-∈R
D. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D
【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，
∴ 1
1ln(1)1,1e
,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.
5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪
⎨⎪+⎩
……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).
A.1
B.2
C.3
D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C
【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，
∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.
6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】
34512,a a a ++=44,a =
()1271741
77282
a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.
7. 若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).
A.1,1a b ==
B.1,1a b =-=
C.1,1a b ==-
D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵
2x y x a
a
='=+=，
∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =
8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，
SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).
D. 34
【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D
【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，
∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）
∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，
又
AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，
（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴
AE =
3AS =，
∴
SE = 3
2
AF =
，∴ 3
sin 4ABF ∠=
.（步骤3）
9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).
A. 12种
B.18种
C. 36种
D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.
【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B
【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数
中选两个放一个信封有2
4C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.
10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，
b =2,则CD = ( ). A.
13a +23b B.23a +1
3b C.35a +45b D.45a +35
b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B
【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 1
2BD BC AD AC ==，（步骤1）
∵ AB CB CA =-=-a b ，
∴ 222
333
AD AB =
=-a b ，（步骤2） ∴ 2221
3333
CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）
11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D
【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.
12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b
+=
的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()
>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1
D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.
【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，∵ 3AF FB =，∴ 12
3y y =-，（步骤1）
∵
2e =
，设2,a t c ==，b t =，
∴ 222440x y t +-=，（步骤2）
设直线AB
方程为
x sy =+.
代入消去x ，∴
222
(4)0s y t ++-=， ∴
2
12122
4t y y y y s +==-+，（步骤3）
22
222234t y y s -=-=-+，解得 212s =
，k = B.（步骤4）
（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1
tan 2
=-
α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.
【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.
【参考答案】 【试题解析】
1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1
sin cos 2
=-αα，
（步骤1） 又
22sin cos 1+=αα
，cos ∴=α，（步骤2） 又
α
为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 9
1x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
的展开式中，3x 的系数是_________.
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.
【试题解析】∵ 9191
C ()r r
r r T x
x
-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2
:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M
的直线与l 相交于
A ，与C 的一个交点为
B ，若AM MB =，则p =_________
【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2
【试题解析】设直线AB
：
y =（步骤1）
代入22y px =得
23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴
1
22x p =
+，（步骤2）
解得2
4120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）
16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，
4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .
【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】
∵3ON =，球半径为4，∴小圆N
，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，
∴NE =，（步骤2）
同理可得ME =ONE 中，
∵NE =，3ON =，∴ π
6
EON ∠=，（步骤4） ∴ π
3
MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）
三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =
，3
cos 5
ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.
【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B
∴∠∠,（步骤1） 又
3
cos >05
ADC ∠=
cos >0B ∴，
（步骤2） 12cos 13B =,4
sin 5
ADC ∠=，
()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠33
65
=
.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=5
33sin 132533sin 65
BD B
AD BAD
⨯
⋅⇒
===∠. AD ∴的长为25.
18.（本小题满分12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且
1212112(
)a a a a +=+，345345
11164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设2
1()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.
【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则1
1n n a a q -=.由已知有
11
112341
1123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫
+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩
，（步骤1） 化简得21261
2
64a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）
又10a >，故12,1q a == 所以1
2n n a -=.（步骤3）
(Ⅱ）由（Ⅰ）知2
21
211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭，
因此 (
)1111144124
4n n n T n --⎛⎫
=++
++++
+
+ ⎪⎝⎭
，
（步骤4） ()1114114244211413
14
n
n n n n n --
-=++=-++--.
（步骤5）
19.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，
111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.
【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.
【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）
又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）
又
D 为1BB 的中点 , 1//,D
E B
F DE AB ∴⊥.（步骤3）
作,CG AB G ⊥为垂足，
由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.
由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）
（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）
设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C
故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥
1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9） 1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π
2
C KH AAC ∴∠=∠=
, 又
111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,
1C KH ∴△∽11C A A △.
111B H ∴=
=1HC ==
111
221
AA C H
KH AC ⋅=
==
, 11tan B H B KH KH ∴∠==
=∴二面角111A AC
B --的平面角的大小为（步骤10）
20.（本小题满分12分）
如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过
123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.
已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率
.
【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.
【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.
【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.
A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.
易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）
()()3
1109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）
（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则
()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=
0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)
21.（本小题满分12分）
已知函数32
()33 1.f x x ax x =-++
（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.
【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.
【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.
【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(
()322f x x x '=--，（步骤1）
当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；
当(2x ∈+时，()0,()f x f x '<在(2单调递减；
当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；
综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是
(()
,223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦
，
当2
10a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；
当210a -<时，()0f x '=有两个根
1x a =2x a =
由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为
5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .
（Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.
【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.
【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.
【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，
代入C 的方程，并化简，得()2222222440b a
x a x a a b ----=，
（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，222
1222
4a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212
x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）
故2c a = 所以C 的离心率2c e a
==.（步骤4）
（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：222
33x y a -=， 2
121243(,0),(2,0),2,02
a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）
12BF a x =
==-，
22FD x a ===-，
()()1222BF FD a x x a ⨯=--
()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）
又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，
解得1a =，或95a =-
（舍去），
故126BD x =-==.(步骤7)
连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。