常微分方程与运动稳定性_第二篇概论

例如 V (x1, x2 ) x12 常正
V (t, x1, x2 ) x12 2x1x2 cos t x22
常正
V (x1, x2 ) (x1 x2 )2
常负
V (t, x1, x2 ) (x12 x22 )sin2 t
常负
对于不含t的常号函数V(x)而言，由V(x)=0所画出的
曲面不是闭曲面。 15
北大出版社，1987
3
第一章 基本定义
第一节 问题的提出 第二节 扰动方程
4
第一节 问题的提出
设力学系统的运动微分方程为
dys dt
Ys (t, y1, y2 ,
, yn )
(s1,2, ,n)
(2.1)
t —时间，ys —相空间坐标，Ys — t, ys的实函数，
定义域： t T，ys H
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例如
V
(t,
x1,
x2
)
(1
t t
1)( 1
x12
x22
)
(*)
按上述定义为定正函数，因为此时可取
W(x1,x2)=x12+ x22而且t*=1。但是，对于函数
V (t, x1, x2 ) et (x12 x22 )
却找不到满足上述定义的W(x1,x2)，因而它是常 正函数而非定正函数。
t>t0有|x(t)|< ，则(2.7)的0平衡解是稳定的,因此(2.1)的 未扰运动为稳定。
如果有lim x(，t) 则 0未扰运动为渐进稳定。
o 若存在tt*>t0 ，使|x(t*)|
|ys(t)-s(t)|<
s(t)
，则未扰运动为不稳定。不定稳
δ
t0 |ys(t*)-s(t*)|
稳定
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例： V (t, x1, x2 ) (x1 x2 )sin t 有无限小上界
V (t, x1, x2 ) sin[(x1 x2 )t] 有界但没有无限小上界
性质2. 定号函数W(x)必有无限小上界。p34
性质3. 设V(t, x)有无限小上界，且有t >t*时恒满足
| V(t, x) | (2.18)
准则 3 如果 V (x) U (x) W (x)
(2.24)
其中U(x)为二次型， W(x)满足
W (x) A( x1 x2 xn )2 (2.25)
当A充分小时, U(x)定号V(x)定号; U(x)变号V(x)变号。
证: 令 xs rs , s cos(r , xs ) (2.26)
(x2
sin t)(x12
x22
2
x1
cos
t
2
x2
sin 11
t
)
结论：如果原来的运动微分方程是常系 数微分方程，那么
定常运动（与时间无关）所对应的扰动 方程仍是常系数微分方程；
周期运动所对应的扰动方程为具有周期 系数的微分方程，且系数与未扰运动有同 样的周期。
工程上要求稳定的运动； 物理上观察到的持久的运动，也都是稳 定的运动。
4. 为保证 x 之值小时，V(t,x)之值也小，引入关于 无限小上界的定义 (V(t,x)仅有界不能保证）。
22
定义9. 设V(t,x)为有界，并且对任给>0, 存在 >0，使当|x | < 时，对一切t>t*有
| V(t,x) |< (2.17)
则称V(t, x)在域D 上有无限小上界。 p37
根据上述定义而导出的定号函数具有性质：
V(t,x)=C之 x 当t >t*时只能位于W(x)=C之闭曲面内。
以(*)为例，令
得：x12
x22
C 1 t 1
t 1
V (t, x1, x2 ) C
点(x1,x2)位于W所确定圆周之内: W(x1, x2)=x12+ x22=C
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W(x) >0----定正；W(x)<0 ------定负; V(t,x) 0 ----常正；V(t,x)<0 ----常负;
17
定义6. 对于V(t,x)而言，如果有不含t的定正 函数W(x)存在，使在定域D上当t>t* 时有下 列不等式：
V (t, x) W (x) 0 或 (V (t, x)) W (x) 0
则称V(t,x)为定号函数，此时，满足前一不等 式之V(t,x)称为定正，满足后一不等式之V(t,x) 称为定负。
(2.13)
解：有一周期解
y1 1(t) cost, y2 2(t) sin t
令
x1 y1 1 y1 cost t
dx1 dt
x2
( x1
cos t )( x12
x22
2x1 cost 2x2 sin t)
dx2 dt
x1
则必存在=(t*, ) ，使得满足(2.18)式的x必满足
|x|>
(2.19)
23
定义10. 已给扰动方程如下:
dxs dt
X s (t, x1, x2 ,，xn ) (s 1, 2,，n)
(2.20)
函数V(t,x1, x2,…, xn)之值沿扰动方程轨线的变 化率，由下述导数决定：
dV
— r为点 x的矢径
n
Γ=
2 s
1
(2.27)
, n(t))
Ys (t, x1 1(t), , xn n (t)) Ys (t,1(t), , n (t))
dxs dt
X s (t, x1, x2,, xn ),
X s (t, x1, x2, , xn )
(s 1, 2, ，n) (2.6)
dx X (t, x), dt
x (x1, x2,..., xn )T
非闭的情况。例如：
V (x1, x2 , x3 ) 1
显然，它为定正函数。令
x12 x12
x22
x32
V (x1, x2 , x3 )
x12 1 x12
x22
x32
C
该曲面与x1轴的交点由右式决定
x12 1 x12
C
可见，只有当C<1时上式对x1才有解，而当C
1时
对 才x为1则一无闭解曲。面这，表而明当，C 当1C时<1该时闭V曲(x1面,x2则,x3不)=闭0的。轨迹
第二篇 运动稳定性
1
内容
第一章 基本定义 第二章 运动稳定性基本定理 第三章 自治系统的稳定性 第四章 周期运动稳定性
2
参考教材
陆启韶，常微分方程的定性方法与分叉，
北航出版社，1989
王照林，运动稳定性及其应用，
高教出版社，1992
秦元勋等，运动稳定性理论与应用，
科学出版社，1981
张锦炎，常微分方程集合理论与分叉问题，
lim
t
ys (t) s (t)
则未扰运动为渐进稳定的。
0,
|ys(t)-s(t)|<
稳定
稳定性的 几何意义 t0
s(t)
不稳定
|ys(t*)-s(t*)|
| Δys0 |<
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李雅普诺夫(Lyapunov)意义下的稳定性概念 (1892年博士论文:运动稳定性的一般问题)
——运动为稳定或不稳定,由受扰运动与
> V(t*, x) W(x) 矛盾
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说明(V(t,x)定正)：
1. V(t, x)=C中之 x 将位于W(x)=C的闭曲面之内；
2. V(t,x)之值很小时，x 之值也很小，并且当 V(t,x) 0时有x 0 ；
3. 不能保证相反的性质，即x值很小时V(t, x)之值 也很小； 例如定正函数 V(t, x1,x2)=(1+t)(x12+x22) ，但当 ( x1,x2)值很小时，V(t, x1,x2)之值却可以很大。
(2.11)
令 x 2 , y 2
对应的扰 动方程为:
dx y, dy g sin(x ) g sin x
dt dt l
l
(2.12)
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例2 微分方程
dy1 / dt y2 y1( y12 y22 1) dy2 / dt y1 y2 ( y12 y22 1)
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定义1. 任给 > 0, 存在 >0，使当| Δys0 |< 时,对一切t > t0,都有 |ys(t)-Ψs(t)|< ，则称未扰运动为稳定。反之， 如存在t*>t0 ，当t*=t0时，有 |ys(t*)-s(t*)| （无论 多小） ，则称未扰运动为不稳定。
定义2. 如果未扰运动为稳定的，并进而有
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第二章 运动稳定性的基本定理
第一节 关于李亚普诺夫函数V 的若干定义
第二节 函数V(x)定号性与变号 性的判别准则
第三节 稳定性的基本定理
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第一节 关于李亚普若夫函数V的 若干定义
以下研究函数 V (t, x1, x2,, xn ) V (t, x)
其定义域为 D:t T, x H
并满足条件 V (t,0) 0
性质1. 若V(t,x)定正，则对 >0, >0，只要|V(t, x)|< ，就有|x|<
证：∵ V(t, x) > 0， W(x) > 0, 使得：
V (t, x) W (x) 0
>0, 取 = inf W(x) > 0
|x|=
应有: 当V(t,x) <
|x|<
x
反证： 若 x , 使得|x|= 时,仍有V(t*, x) <
例1 单摆振动:
d 2
dt 2
g l
sin
(2.8)
解：方程化为 d , d g sin
dt
dt l
上式有两个平 衡解(对应最低与
最高平衡位置)
0 sin 0
21
0,1 ,2
0 0
(2.9) (2.10)
令 x 1 , y 1
对应的扰 动方程为:
dx y, dt
dy g sin x dt l
W(x) >0----定正:
V (t, x) W (x) 0 V(t,x)-----定正;
(V (t, x)) W (x) 0 V(t,x)-----定负;
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定义7. 如V(t,x)在域D 上既有取正值的点又有取负值的 点，则称V(t, x)为变号函数。
定义8. V(t,x)---有界: 若x D,有|V (t,x)|<L <
未扰运动之间的差值决定. 平衡态稳定性:
运动稳定性:
l
如何将运动稳定性 化为平衡态稳定性 A0 进行研究???
7
第二节 扰动方程
令 xs ys (t) s (t)
(2.5)
—受扰运动ys(t) 与未扰运动s(t)在同一时刻的偏离
因此：dxs dt
dys dt
d s
dt
Ys (t,
y1,
, yn ) Ys (t,1(t),
y′
(2.2)
并且满足解的存在唯一条件。 设在t=t0时(2.1)有经过初值ys0之解
ys s (t) (2.3)
相轨迹
M
相点
它正是所要研究的运动，称为未扰运动。
y
由于外界干扰，系统在t=t0时可能受到某一扰动，
使得系统的初值变为ys0+Δys0,而由此出发的运动为受扰
运动
ys ys (t)
(2.4)
(2.14) (2.15)
(2.16)
14
以下研究函数 V (t, x1, x2,, xn ) V (t, x)
(2.14)
其定义域为 D : t T , x H
(2.15)
并满足条件 V (t,0) 0
(2.16)
定义4. 如V(t,x)在D域上除原点外在其他点也可以取零
值 但 却 保 持 同 一 符 号 ， 则 称 V(t,x) 为 常 号 函 数 。 如 V(t,x)0称为常正；如V(t,x)< 0 ，称为常负。
X (x1, x2,..., xn ), P (aij )nn
定正 (定负) P的顺序主子式 Δk > 0 (< 0 )
a11 a12 a1k k a21 a22 a2k
ak1 ak 2 akk
(k 1,2,,n) (2.23) ---- Sylvester条件
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dt
( 2.20 )
V t
n s1
V xs
dxs dt
V t
n V s1 xs X s
(2.21)
——函数V(t,x)沿扰动方程(2.20)的全导数
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第二节 V(x)符号判别准则
准则1 任何奇函数是变号函数。
准则 2 二次型 n
V (x) aij xi x j X T PX
i, j1
(2.22)
(2.7)
——对应于(2.1) 的未扰运动(t)的扰动方程。
8
显然: X(t,0)≡0
dx X (t, x), dt
x (x1, x2,..., xn )T
(2.7)
x=0为 (2.7)的解，对应扰动方程的平衡位置. (2.1) 的未扰运动 y=(t) 的运动稳定性
(2.7)的平衡位置x=0的稳定性 定义3. 如任给 > 0, 存在>0，使当| x0 |< 使对一切
定义5. 对于不含t 的函数V(x)而言，如果在 域D上保持同号，则称V(x)为定号函数:
——V(x)>0 为定正；V(x)<0 为定负
例如
V (x1, x2 ) x12 x22
定正
V (x1, x2 ) 2x12 4x22
定负
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对于定号函数V(x)而言，令V(x)=C，可以证明当C 足够小时必为闭曲面，而C当比较大时有可能出现