苏教版必修一第2章函数作业题及答案解析2.1.3第1课时

2．1.3 函数的简单性质
第1课时 函数的单调性 课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．单调性
设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I ⊆A .
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有__________，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调______，I 称为y ＝f (x )的单调________．
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调________，I 称为y ＝f (x )的单调________．
2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________．
3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数．
4．函数y ＝1x
的单调递减区间为__________． 一、填空题
1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题:①f (0)＝1；
②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是________．(填序号)
2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1<x 2，则f (x 1)________f (x 2)．(填“>”、“<”或“＝”)
3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上________．(填序号)
①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．
4．函数y ＝x 2－6x ＋10的单调增区间是________．
5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是______________________________________．
①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；
③f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )；
④x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)
>0. 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为________．
7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．
8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，
则f (1)＝________.
二、解答题
9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，
求证:f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝x2－1，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数
的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f (x )＝1x
在(－∞，0)和(0， ＋∞)上都是减函数，但不能说函数f (x )＝1x
在定义域上是减函数． 3．求单调区间的方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f (x )>0，则判断f (x )的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
2．1.3 函数的简单性质
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1．f (x 1)<f (x 2) 增函数 增区间 减函数 减区间 2.[0，＋∞)
3．增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．①④
2．<
解析 由题意知y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，因为x 2>x 1，所以f (x 2)>f (x 1)．
3．④
解析 ∵f (x )在[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，
∴当f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )<0，f (b )>0，
当f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )>0，f (b )<0，
故f (x )在区间[a ，b ]上必有x 0使f (x 0)＝0且x 0是唯一的．
4．[3，＋∞)
解析 如图所示，该函数的对称轴为x ＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．
5．①②④
解析 由函数单调性的定义可知，若函数y ＝f (x )在给定的区间上是增函数，则x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，由此可知，①、②、④正确；
对于③，若x 1<x 2时，可有x 1＝a 或x 2＝b ，
即f (x 1)＝f (a )或f (x 2)＝f (b )，故③不成立．
6．(－∞，－3]
解析 该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f (x )＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
7．m >0
解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0.
8．－3
解析 f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 2
8
， 由题意m 4＝2，∴m ＝8.
∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0). 函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a <x 1<x 2<b ，
∵g (x )在(a ，b )上是增函数，
∴g (x 1)<g (x 2)，
且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，
又∵f (x )在(a ，b )上是增函数，
∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，
∴f (g (x ))在(a ，b )上是增函数．
11．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数． 证明如下:
任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21
－1 ＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋x 21－1
. ∵1≤x 1<x 2，
∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.
∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，
故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)．
因为f (1)≠0，所以f (0)＝1.
(2)函数f (x )在R 上单调递减．
任取x 1，x 2∈R ，且设x 1<x 2.
在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，
则已知条件可化为f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)，
由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.
在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，
令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.
当x >0时，0<f (x )<1，
所以f (－x )＝1f (x )
>1>0， 又f (0)＝1，所以对于任意的x 1∈R 均有f (x 1)>0.
所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，
即f (x 2)<f (x 1)．
所以函数f (x )在R 上单调递减．
13．解 (1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.
(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)．
∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m |m ≥4}．。