天津市高考数学二轮复习专题三三角函数3.1三角函数的

下列结论正确的是( ) A.f(x)图象的一条对称轴是 x=π2
B.f(x)在区间
-
π 3
,
π 6
上单调递增
C.f(x)是最小正周期为 π 的奇函数
D.将函数
y=2sin
2x
的图象向左平移π个单位得到函数
6
f(x)的图
象
-5-
答案： B
解析： 由题意,f(x)=2 3sin xcos x+cos 2x
2������
+
π 3
的最小正周期为( )
A.4π
B.2π
C.π
D.π2
答案：C
解析： 由题意可知最小正周期 T=22π=π,故选 C.
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-8-
三角函数图象的变换
【思考】 对三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象进行了平移或伸
缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?
由三角函数的图象求其解析式
【思考】 依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么?
例 3 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图
象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ()
A.
������π-
1 4
,������π
+
3 4
,k∈Z
B.
2������π-
1 4
,2������π
+
3 4
,k∈Z
C.
2������
+
π 3
C.y=2sin
2������-
π 4
D.y=2sin
2������-
π 3
-12-
答案：D
解析： 由已知周期 T=π,右移14T=π4后得 y=2sin 2
������-
π 4
+
π 6
=2sin
2������-
π 3
的图象,故选 D.
-13-
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π 6
=-2sin
2������-
π 6
≠-f(x),则 f(x)不是奇函数,故 C 错;
将函数 y=2sin
2x
的图象向左平移π个单位得到函数
6
f(x)=2sin
2
������ +
π 6
=2sin
2������
+
π 3
,故选项 D 错.
-6-
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题后反思 1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角
例 2 函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象
至少向右平移
个单位长度得到.
-9-
答案： π
3
解析：
因为 y=sin x-
3cos x=2sin
������-
π 3
,
所以函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右
平移π3个单位长度得到.
倍(横坐标 x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导
公式化为同名函数再平移.
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对点训练 2 将函数 y=2sin
2������
+
π 6
的图象向右平移14个周期后,
所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin
2������
+
π 4
B.y=2sin
专题三 三角函数
3.1 三角函数的图象与性质
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三角函数的性质 【思考1】 求三角函数周期、单调区间的一般思路? 【思考2】 求某区间上三角函数最值的一般思路?
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例 1 已知函数 f(x)=2 3sin(π-x)cos x-1+2cos2x,其中 x∈R,则
������-
1 4
,������
+
3 4
,k∈Z
D.
2������-
1 4
,2������
+
3 4
,k∈Z
-14-
答案： D
解析：
不妨设 ω>0,由函数图象可知,其周期为 T=2×
5 4
-
1 4
=2,所以
2���π��� =2,解得 ω=π. 所以 f(x)=cos(πx+φ). 由图象可知,当 x=12
2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中 的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.
1 4
+
5 4
=
34时,f(x)取得最小值,即 f
3 4
=cos
3π 4
+
������
=-1,
解得34π+φ=2kπ+π(k∈Z), 解得 φ=2kπ+π4(k∈Z).
令 k=0,得 φ=π4,所以 f(x)=cos
����
+
π 4
.
令 2kπ≤πx+π4≤2kπ+π(k∈Z), 解得 2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).
函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等 变形,把三角函数式化简成 y=Asin(ωx+φ)的形式,再求解.求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数.
2.对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助
角化为 y= ������2 + ������2sin(ωx+φ) cos������ = ������ ,sin φ= ������ 的形式
������2+������2
������2+������2
来求解.
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对点训练 1(2017 全国Ⅱ,文 3)函数 f(x)=sin
=
3sin 2x+cos 2x=2sin
2������
+
π 6
,
当 x=π2时,f
π 2
=2sin
π
+
π 6
=-1,不是 f(x)的最值,故选项 A 错;
当
x∈
-
π 3
,
π 6
时,2x∈
-
2π 3
,
π 3
,
2������
+
π 6
∈
-
π 2
,
π 2
,故选项
B
正确;
f(-x)=2sin
-2������
+
所以函数 f(x)=cos
����
+
π 4
的单调递减区间为
2������-
1 4
,2������
+
3 4
(k∈Z).
结合选项知选 D.
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题后反思 1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,
用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定 A,由周期确定 ω, 由图象上特殊点的坐标来确定 φ,只有限定 φ 的取值范围,才能得出 唯一解,否则 φ 的值不确定,解析式也就不唯一.
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题后反思 1.平移变换理论
(1)平移变换:
①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换:
①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的���1���
倍(纵坐标 y 不变);
②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A