高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习有答案

高考数学《集合与常用逻辑用语》练习题
一、选择题
1．已知集合(
){
}2
||lg 4A x y x ==-
，{|B x y ==
，则A B =I ( )
A ．{}|12x x <<
B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|13x x 剟
D ．{}|23x x -<…
【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合(
){
}2
|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-==
=，
所以{|12}A B x x =≤<I . 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
2．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
3．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 【分析】
方程22
117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.
【详解】
因为方程2
2
117x y
m m +=+-表示椭圆，所以1070
17m m m m
+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩
，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
5．14
a =-
是函数2
()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
将1
4
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】
当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
6．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到{}
13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】
1
8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
7．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}
0.5,1x
B y y x ==>，则A B =U （ ）
A ．()0.5,+∞
B ．[)0,+∞
C ．()0,0.5
D ．[)0,0.5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】
0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥
1111,0,|0222x
x B y y ⎛⎫⎧
⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭Q
1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫
∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩
⎭
故选B 【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.
8．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出
tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >，
所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
9．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－3,1)
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1,1)． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11
a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
12．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到
；，
，∴
和
没有公共点，∴
，即
能得到
；∴“
”是“
”的必要不充分条件．故选B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于
，而
，
并且
，显然能得到
，这样即可找出正确选项.
13．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B
14．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1
x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=2，则下列命
题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】
对于命题p ：当x ≤0时，x+
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4
π
时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题． 故答案为D. 【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
15．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤ D ．21,2n n n ∃>≤
【答案】C 【解析】
根据命题的否定，可以写出p ⌝：2
1,2n
n n ∀>≤，所以选C.
16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．5,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求
解最值即可得解. 【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，
11
()12x x
+≥=Q
，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C ． 【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
17．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记
(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，
(),0a b ϕ= .
【详解】 若(),0a b ϕ=，
0a b -=a b =+ 两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =
当0a =0b b b =-= ，
0b ∴≥ ，即a 与b 互补， 同理0b =时，a 与b 互补， 反过来，当0ab =时，
0a b -= ， 即(),0a b ϕ= ，
故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补
(),0a b ϕ⇒=.
18．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-->
⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，任意
的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
因为()5,02x f x '>
>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于5
2
x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()21221212555
5,555222
f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<
反之也成立： 12x x <时，
()()()121212122555
5,,55222
x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
【答案】B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1
时，方程根为
，所以选B ．。