2016-2017年陕西省延安市黄陵中学高新部高一(下)第三次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）第三次
月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．（5分）已知直线l的方程为y＝﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°
2．（5分）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4＝0B．x﹣y﹣4＝0C．x+y+4＝0D．x﹣y+4＝0 3．（5分）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）
A．B．C．D．
4．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3
5．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2＝0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或
6．（5分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0 7．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）
A．0B．1C．2D．3
8．（5分）已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）
A．5B．10C．D．
9．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
10．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）
A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
11．（5分）方程＝lgx的根的个数是（）
A．0B．1C．2D．无法确定12．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）
A．x＝1B．y＝1C．x﹣y+1＝0D．x﹣2y+3＝0
二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）
13．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是．
14．（5分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是．
16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，
（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；
（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
18．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
19．（12分）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：4x+3y+14＝0，直线l3：3x+4y+10＝0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．
（1）求直线P A，PB的方程；
（2）求过P点的圆的切线长；
（3）求直线AB的方程．
21．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y＝0上，且截直线x﹣y＝0得的弦长为的圆的方程．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）
第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1．（5分）已知直线l的方程为y＝﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°
【解答】解：∵直线l的方程为y＝﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈[0，π），∴α＝135°．故选：D．
2．（5分）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4＝0B．x﹣y﹣4＝0C．x+y+4＝0D．x﹣y+4＝0
【解答】解：∵直线l过点A（0，4），B（4，0）
∴直线l的方程是：＝，
整理，得y+x﹣4＝0．
故选：A．
3．（5分）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵直线过点M（﹣，）、N（，﹣），
∴直线MN的斜率为＝﹣1，
由垂直关系可得直线l的斜率为1，
∵直线l的倾斜角α满足tanα＝1，
解得α＝，
故选：C．
4．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），
代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0，
∴a＝1，
故选：B．
5．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2＝0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或
【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2＝3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径
或者
故选：C．
6．（5分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0
【解答】解：易知点C为（﹣1，0），
因为直线x+y＝0的斜率是﹣1，
所以与直线x+y＝0垂直直线的斜率为1，
所以要求直线方程是y＝x+1即x﹣y+1＝0．
故选：C．
7．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，
可知k＝0，
当k＝0时，直线y＝1与圆x2+y2﹣y﹣9＝0，的两个交点（﹣3，0）和（3，0）．
故选：A．
8．（5分）已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）
A．5B．10C．D．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k＝2，
则切线斜率为﹣，
则切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为＝．
故选：D．
9．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）
A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2
【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以＝，所以（x+3）2＝25．解得x＝2或﹣8．
故选：C．
10．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）
A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1
C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1
【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆心坐标为（2，﹣2）
所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2＝1
故选：B．
11．（5分）方程＝lgx的根的个数是（）
A．0B．1C．2D．无法确定
【解答】解：设f（x）＝，g（x）＝lg x，
则方程根的个数就是f（x）与g（x）两个函数图象交点的个数．
如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．
由图可得函数f（x）＝与g（x）＝lg x仅有1个交点，所以方程仅有1个根．
故选：B．
12．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）
A．x＝1B．y＝1C．x﹣y+1＝0D．x﹣2y+3＝0
【解答】解：如图，
把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1﹣2）2+22＝5＜9，
所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，
也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，
即当CM⊥l时弦长最短，∠ACB最小，
设此时直线l的斜率为k，
∵，
由k•k CM＝﹣1，得：﹣2k＝﹣1，所以，．
∴l的方程为：，即x﹣2y+3＝0．
二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）
13．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是x﹣y﹣3＝0．
【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0化为标准方程得：
（x﹣4）2+（y﹣1）2＝7，
所以圆心坐标为（4，1），又M（3，0），
根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，
则所求直线为过圆心和M的直线，设为y＝kx+b，
把两点坐标代入得：，
解得：，
则过点M最长的弦所在的直线方程是y＝x﹣3，即x﹣y﹣3＝0．
故答案为：x﹣y﹣3＝0
14．（5分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y+3）2＝29．
【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；
，
故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．
故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．
15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是x+3y＝0．
【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程
将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，
故答案为x+3y＝0．
16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝1．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6＝0的半径为，圆心（0，﹣a），
公共弦所在的直线方程为，ay＝1．大圆的弦心距为：|a+|
由图可知，解之得a＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，
（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；
（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；
（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．
【解答】解：（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n＝0 和2m﹣m﹣1＝0，解得m＝1，n＝7．
（2）由l1∥l2得：，∴，或，
所以当m＝4，n≠﹣2；或m＝﹣4，n≠2 时，l1∥l2．
（3）当m＝0时直线l1：和l2：，此时，l1⊥l2，
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，
所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．
18．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，
得＝5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．
∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，
所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，
此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2＝8，
∴l：x＝﹣2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得+42＝52，解得k＝．∴直线l的方程为x﹣y+＝0．即5x
﹣12y+46＝0．
综上，直线l的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．
19．（12分）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：4x+3y+14＝0，直线l3：3x+4y+10＝0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．
【解答】解：由题意，可设圆心为C（a，a﹣1），半径为r，
则点C到直线l2的距离d1＝＝，
点C到直线l3的距离是d2＝＝．
由题意，得，解得a＝2，r＝5，
∴所求圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．
20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．
（1）求直线P A，PB的方程；
（2）求过P点的圆的切线长；
（3）求直线AB的方程．
【解答】解：（1）设切线的斜率为k，
∵切线过点P（2，﹣1），
∴切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径为，
由点到直线的距离公式，得：＝，
解得：k＝7或k＝﹣1，
则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0．
（2）圆心C到P的距离为：＝．
∴切线长为：＝2．
（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①
由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②
②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，
可得x﹣3y+3＝0．
21．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y＝0上，且截直线x﹣y＝0得的弦长为的圆的方程．
【解答】解：设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r＝3|t|．
∵圆心到直线的距离d＝＝t，
∴由r2＝d2+（）2，解得t＝±1．
∴圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．
∴圆C的方程为（x+1）2+（y+3）2＝9 或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．
【解答】解：（1）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）＝x2+2x+b＝0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0
令y＝0得x2+Dx+F＝0这与x2+2x+b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．
令x＝0得y2+Ey+F＝0，方程有一个根为b，代入得出E＝﹣b﹣1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b＝0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）＝0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0＝0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0＝0，解得
假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．。