经济预测与决策技术及MATLAB实现第14章 熵权法与逼近理想解排序法

0.595
0.43
40443
碳排放强度 （吨/万元）
1338.39 1285.47 1192.46 1047.06 984.61 928.95 779.64 730.29 689.98 680.55
（1）输入指标数据，确定对象个数和指标个数 %压力因素（P） clear X=[…]; %数据见表14-2 [m,n]=size(X); % m为对象个数，n为指标个数 （2）初始数据矩阵标准化 %全是负向指标 X1=[]; for j=1:n X2=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j))); X1=[X1,X2]; end
14.1 熵权法
14.1.2 熵的计算步骤
熵权法是通过计算指标的信息熵，利用指标的差异程度 来度量已知数据中包含的有效信息和指标权重。指标的 离散程度越大，其熵值越小，表明其信息的有效价值越 大，该指标在综合评价中对目标的影响也就越大。其基 本计算步骤如下：
14.1.3 熵权的性质与意义
1. 熵权的性质 （1）若某列元素数值都相同，则熵最大值为1，熵权为0。 表明在某指标上各评价对象的数值相同时，该指标未包含任 何有价值的信息。 （2）若某列元素数值相差越大，则熵值就越小，熵权就越 大。表明该指标包含有价值的信息。 （3）若指标的熵值越大，则其熵权越小，表明该指标越不 重要。
4. 求第二指标层影响因素指标的权重
年份
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
城镇登记失业率 （%） 3.3 3.3 3.2 3.5 3.4 3.4 3.4 3.3 3.2 3.3
城镇恩格尔系数 (%) 33.69 32.02 32.90 33.61 32.92 32.06 33.15 32.97 29.18 28.92
D=1-E
W=D/sum(D)
% 计算权重
%第一指标层各指标因素权重
WD1=sum(W(1:5))
WP1=sum(W(6:10))
WS1=sum(W(11:14))
W4))
7. 第一指标层与第二指标层组合权重
将第一指标层权重与第二指标层相乘，即得第二指标层对总 目标的权数。因第一指标层权重向量为W1=[WD1，WP1， WS1，WI1，WR1]，若将前面1至5步计算出的第二指标层 五个因素的权重向量分别记为W21、W22、W23、W24和 W25，则驱动力、压力、状态、影响和响应因素的综合权重 向量分别为WD、WP、WS、WI和WR，即
2．将趋同化数据归一化处理
将趋同化数据组成的矩阵按列（指同一指标）做归一化处理
，得到矩阵Z：
Z ( Z i1 , Z i 2 ,L , Z in )
3．确定最优方案与最劣方案 2．将趋同化数据归一化处理
5．计算各评价方案与最优方案的接 近程度
6．依接近程度大小对各评价方案进 行排序，确定评价效果。
人口自然增长率 （%） 5.83 5.50 5.00 5.09 5.62 5.39 5.40 4.95 5.01 7.39
城镇化水平 (%) 34.16 34.78 36.76 37.61 37.55 40.26 41.13 41.97 42.97 43.96
（1）输入指标数据，确定对象个数和指标个数 %驱动因素（D） clear X=[… …]; [m,n]=size(X); % m为对象个数，n为指标个数 （2）初始数据矩阵标准化 %全是正向指标 X1=[]; for j=1:n X2=(X(:,j)-min(X(:,j)))./(max(X(:,j))-min(X(:,j))); X1=[X1,X2]; end X1
X1=[X1,X2];
end
X3=(X(:,4)-min(X(:,4)))./(max(X(:,4))-min(X(:,4)));
X4=[X1,X3]
（3）计算比重矩阵Y
S=sum(X4)
Y=X4./repmat(S,m,1)
5. 求第二指标层因素指标的权重
年份
建成区绿化 覆盖率(%)
每万人拥有的
0.95 0.99 0.97 0.94 0.98 0.95 0.94 0.93 0.94 0.96
R&D经费 占GDP的比 重（%）
1.06 1.07 1.21 1.41 1.53 1.72 1.86 2.04 2.13 2.19
6. 第一指标层权重
为求第一层指标各因素的权重，我们将全部24个子指标数据 组合成一个矩阵X，先算出每个指标的权重，然后将同一因 素下的指标权重相加，就可得到这一因素的权重。 由于指标含有正向指标和负向指标，为此我们使用前五步无 量钢化处理后各自计算出的比重矩阵Y，并组合成新矩阵P ，然后对其求熵值和权重。
公交车数(万人 /辆)
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
36.97 37.45 38.60 39.80 41.18 41.47 41.50 42.10 42.60 42.80
11.92 10.50 11.42 12.19 10.84 12.94 12.90 15.30 13.90 13.70
14.2.2 逼近理想解排序的基本步骤
设有m个评价方案，n个评价指标，则原始数据矩阵为X：
x11
X


x21
L
x12 L x22 L LL

xm1
xm2
L
x1n
x2
n

L
xmn

其中，xij 表示第i个评价方案在第j项指标中的数值。
1．指标趋同化处理
指标分为低优指标和高优指标，需将低优指标转化为高优指 标。处理方法是对低优指标取倒数，并且可适当扩大或缩小 一定比例来转换数据。
1. 求第二指标层驱动因素指标的权重
年份
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
地区生产总值 （亿元） 18366.87 21900.19 25776.91 30933.28 33896.65 39169.92 45361.85 50013.24 55230.32 59426.59
14.2 逼近理想解排序法
14.2.1 逼近理想解排序的基本原理
逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution，TOPSIS）是有限方案多目标决 策分析的一种常用方法。其基本思路是先定义决策问题的理 想解和负理想解，然后把各可行解与理想解和负理想解做比 较，若其中有一个可行解最接近理想解，而同时又远离负理 想解，则此解就是可行解集的满意解。 所谓理想解是一设想的最优的解，它的各个属性值都达到各 可行解中的最好的值；而负理想解是一设想的最劣的解，它 的各个属性值都达到各可行解中的最坏的值。
生活垃圾无 害化处理率
（%）
75.89 70.10 80.74 79.41 90.54 95.57 92.54 98.88 99.50 100.00
废水处理率 （%）
59.03 69.73 80.31 84.98 84.26 91.11 93.18 94.22 94.93 95.05
工业固废利 用率（%）
第14章 熵权法与逼近理想解排序法 14.1 熵权法 14.2 逼近理想解排序法 12.3 案例分析
练习与提高（14）
14.1 熵权法
14.1.1 熵的定义和性质
熵是一种不确定性的定量化度量，考虑系统具有n个结 果的概率试验，并设这些结果是离散型的概率 pi 则
该系统的熵为
14.1 熵权法 14.1.1 熵的定义和性质
14.3 案例分析
14.3.1 熵权法的低碳经济发展评价
【例14-1】根据环境系统评价的DPSIR（驱动力-压力-状态影响-响应）方法，给出总目标、第一指标层（含5个指标） 和第二指标层（含24个子指标）的评价体系（具体结构参见 表14-6），并搜集整理出山东省2005年至2014年第二指标 层数据，如表14-1至表14-5所示。试采用熵权法求出各层指 标的权重，并评价山东省这十年的低碳经济发展状况。
2. 求第二指标层压力因素指标的权重
年份
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
能源消耗总量 （万吨） 24162 26759 29173 30480 32226 34266 31212 32687 34235 35363
能源消耗强度(吨/ 万元)
3. 求第二指标层状态因素指标的权重
年份
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
第三产业所占 GDP比重(%)
32.26 32.82 33.44 33.49 34.72 36.62 38.29 39.98 42.04 43.48
第二产业所占 GDP比重（%）
P=[…]； %P为10行24列的矩阵
[m,n]=size(P); % m为对象个数，n为总的子指标个数
K=1/log(m);
for i=1:m
for j=1:n
if P(i,j)==0
lnP(i,j)=0;
else
lnP(i,j)=log(P(i,j));
end
end
end
E=-K*(sum(P.*lnP)) % 计算熵值
能源消费弹性系数
碳排放总量（万 吨）
1.316
1.04
24582
1.222
0.559
28152
1.132
0.51
30738
0.985
0.224
32389
0.951
0.255
33375
0.878
0.214
36387
0.688
0.185
35366
0.653
0.139
36524
0.619
0.156
38108
农村恩格尔系数 (%) 39.75 37.89 37.81 38.06 36.65 37.54 35.71 34.26 31.85 30.95
空气质量日报 良好率(%)
93.9 94.1 94.2 94.3 94.5 95.2 94.8 95.0 95.6 95.8
（1）输入指标数据，确定对象个数和指标个数
（1）输入指标数据，确定对象个数和指标个数 %状态因素（S） clear X=[…]; %数据见表14-3 [m,n]=size(X); % m为对象个数，n为指标个数 （2）初始数据矩阵标准化 %第1列是正向指标，其它各列都为负向指标 X1=(X(:,1)-min(X(:,1)))./(max(X(:,1))-min(X(:,1))) X2=[]; for j=2:n X3=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j))); X2=[X2,X3]; end X4=[X1,X2] （3）计算比重矩阵Y S=sum(X4) Y=X4./repmat(S,m,1)
57.05 57.42 56.82 56.81 55.76 54.22 52.95 51.46 49.69 48.44
原煤消费量占比 （%） 71.61 71.30 72.00 71.85 71.40 74.20 72.42 73.81 70.71 70.30
SO2排放总量 （万吨） 200 196 182 169 159 154 183 175 164 159
%影响因素（I）
clear
X=[…];
%数据见表14-4
[m,n]=size(X); % m为对象个数，n为指标个数
（2）初始数据矩阵标准化
%第4列是正向指标，其它列为负向指标
X1=[];
for j=1:3
X2=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j)));
（3）计算比重矩阵Y S=sum(X1) Y=X1./repmat(S,m,1) （4）计算各指标的信息熵的值 K=1/log(m); for i=1:m
for j=1:n if Y(i,j)==0 lnY(i,j)=0; else lnY(i,j)=log(Y(i,j)); end
end end E=-K*(sum(Y.*lnY)) （5）计算各指标的差异系数 D=1-E （6）计算各指标的权重 W=D/sum(D)
人均GDP增长率 （%） 21.45 18.41 16.95 19.31 8.98 14.52 15.15 9.36 9.88 7.02
城镇居民人均可支 配收入(元) 10744.80 12192.20 14264.70 16305.40 17811.00 19945.80 22791.80 25755.20 26882.40 29221.90