2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第40讲空间点直线平面之间的位置关系学案2018050721

第40讲空间点、直线、平
面之间的位置关系
考纲要求考情分析命题趋势理解空间直线、平面位
置关系的定义，并了解可以
作为推理依据的公理和定
理.
2017·全国卷Ⅱ，10
2017·全国卷Ⅲ，16
2016·浙江卷，2
空间点、线、面的位置关系以
位置关系的判断为主要考查点，同
时也考查逻辑推理能力和空间想象
能力.
分值：5分
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有__一个__公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条__相交__直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条__平行__直线有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨⎪⎧
__平行__，__相交__，异面直线：不同在__任何__一个平面内.
(2)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
②范围：__⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2__.
(3)平行公理：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行．
(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__. 3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有__相交__、__平行__、__在平面内__三种情况． (2)平面与平面的位置关系有__平行__、__相交__两种情况．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( × )
(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，并记作α∩β＝A ．( × ) (3)两个平面ABC 与DBC 相交于线段BC ．( × )
(4)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三部分． (2)错误．由公理3知应交于过点A 的一条直线． (3)错误．应相交于直线BC ，而非线段．
(4)正确．因为若c ∥b ，则由已知可得a ∥b ，这与已知矛盾． (5)错误．异面或平行．
2．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( D ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线
D ．一定垂直
解析 因为b ∥c ，a ⊥b ，所以a ⊥c ，即a 与c 垂直． 3．下列命题正确的个数为( C )
①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
解析①错误，②③正确．
4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( D)
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为__60°__.
解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
一平面的基本性质及应用
用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法
(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是( B)
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，
E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b ，c 异面，故不正确；④中空间四
边形中四条线段不共面．故只有①正确，故选B ．
【例2】 已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是
BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13
DC ．求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)直线FH ，EG ，AC 共点． 解析 (1)连接EF ，GH ，
∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD ． 又∵CG ＝13BC ，CH ＝1
3
DC ，
∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC ．
又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，∴M ∈EG .∴FH ，EG ，AC 共点．
二 空间两条直线的位置关系
判断空间两条直线的位置关系的方法
(1)异面直线，可采用直接法或反证法．
(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．
(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
【例3】 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解析(1)不是异面直线．理由如下：
连接MN，A1C1，AC．
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.
又∵A1A C1C，∴A1ACC1为平行四边形．
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)是异面直线．证明如下：
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1，B，C，C1∈α矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
三两条异面直线所成的角
两异面直线所成角的作法及求解步骤
(1)找异面直线所成的角的三种方法：
①利用图中已有的平行线平移．
②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．
③补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤：
①作：通过作平行线，得到相交直线．
②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．
③算：通过解三角形，求出该角．
【例4】(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是__②③__(填写所有正确结论的编号)．
解析由题意，AB是AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE ⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝2，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
1．下列命题中正确的个数是( A)
①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；
②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0，选A．
2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C ) A ．两条相交直线 B ．两条平行直线 C ．两个点
D ．一条直线和直线外一点
解析 如图，在正方体ABCD －EFGH 中，M ，N 分别为BF ，DH 的中点，连接MN ，DE ，CF ，
EG .当异面直线为EG ，MN 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面
直线为DE ，GF 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影分别为AD ，BC ，是两条平行直线；当异面直线为DE ，BF 所在直线时，它们在底面ABCD 内的射影分别为AD 和点B ，是一条直线和一个点，故选C ．
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )
A ．3
2 B ．15
5 C ．
10
5
D ．
33
解析 如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22
－2×1×2cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2
＝105，故选C ．
4．如图，在直二面角E －AB －C 中，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.
(1)证明：FB ⊥平面PAC ；
(2)求异面直线PC
与AB 所成的角的余弦值． 解析 (1)证明：易得FB ＝4，cos ∠PFA ＝cos ∠BFA ＝32
， 在△PAF 中，由余弦定理得
PA ＝PF 2＋FA 2－2PF ·FA ·cos ∠PFA ＝
9＋12－2×3×23×
3
2
＝ 3. ∵PA 2
＋PF 2
＝3＋9＝12＝AF 2
，∴PA ⊥BF .
∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面ABEF .∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC ⊥BF .
∵PA ∩AC ＝A ，∴BF ⊥平面PAC ．
(2)过P 作PM ∥AB ，PN ∥AF ，分别交BE ，BA 于M ，N ，∠MPC 或其补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．
易得PN ＝MB ＝
32，AN ＝32，NC ＝AN 2＋AC 2＝52
，BC ＝22，PC ＝PN 2＋NC 2
＝7，MC ＝MB 2＋BC 2＝
352
， cos ∠MPC ＝14＋7－3542×12×7
＝－327＝－37
14.
∴异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为37
14
.
易错点 忽视位置关系
错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解．
【例1】 设平面α，β满足α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若
SA ＝18，SB ＝9，CD ＝34，求SC 的长度．
解析 设相交直线AB ，CD 确定的平面γ，则γ∩α＝AC ，
γ∩β＝BD ，由α∥β，得AC ∥BD ．
①当S 点在两平面的同侧时，如图1，因为AC ∥BD ，
所以SB SA ＝SD SC ，即918＝SC －34SC
，所以SC ＝68.
②当S 点在两平面之间时，如图2，因为AC ∥BD ，所以SA SB ＝SC SD ＝SC CD －SC ，即189＝SC 34－SC
，解得SC ＝68
3
.
综上知SC ＝68或SC ＝68
3
.
【跟踪训练1】 若一直线上有相异三个点A ，B ，C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( D )
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l 与α相交且不垂直
D ．l ∥α或l ⊂α
解析 由于l 上有三个相异点到平面α的距离相等，则l 与α可以平行，l ⊂α时也成立．
课时达标 第40讲
[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题
1．设a ，b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的( C )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 直线a ，b 平行时，由“l ⊥a ，l ⊥b ”⇒/ “l ⊥α”；“l ⊥α”⇒“l ⊥a ，l ⊥b ”，所以“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件．
2．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，C，A四点共面．
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A，M，O三点共线．
3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A)
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( D)
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．
5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1＝1，则BD1与AF1所成角的余弦值为( A)
A．
30
10
B．
1
2
C．
30
15
D．
15
10
解析取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知∠EF1A为BD1与AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝
6
2
，AF1＝
5
2
，AE＝
5
2
，由余弦定理得，cos∠EF1A＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫6
2
2＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
2
2－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
2
2
2×
6
2
×
5
2
＝
30
10
，故选A．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝
1
3
AB1，BN＝
1
3 BC1.给出下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是( B)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析在BB1上取一点P，使BP＝
1
3
BB1，连接PN，PM.∵点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝
1
3
AB1，BN＝
1
3
BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B．
二、填空题
7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__①②③__.
解析在④图中，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．
8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．
解析由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为__③④__(填所有正确结论的序号)．
解析AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.
三、解答题
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M 与DN所成的角的大小．
解析如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.
又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，
A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，
∴DN⊥A1M，
即异面直线A1M与DN所成的夹角为90°.
11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 1
2
AD，BE
1
2
FA，
G，H分别为FA, FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解析(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 1
2 AD．
又BC 1
2
AD，∴GH BC．
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)由BE 1
2
AF，G为FA的中点知，BE FG，
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是PC的中点．
(1)求证：AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(3)求三棱锥A －EBC 的体积．
解析 (1)证明：假设AE 与PB 共面，设此平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α，所以平面α即为平面ABE ，
所以P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，
则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成的角， 因为∠BAC ＝60°，
PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，
所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， 由余弦定理得cos ∠AEF ＝
2＋2－3
2×2×2＝14，
所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为1
4
.
(3)因为E 是PC 的中点，所以点E 到平面ABC 的距离为1
2
PA ＝1，
V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×2×2×
32×1＝33.。