圆的基本性质第2课时垂径分弦课件沪科版数学九年级下册

随堂练习
1.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8， 则图中阴影部分的面积为 20 .
2.如图，⊙P与y轴交于点M（0,﹣4），N（0,﹣10），圆心P的横 坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ C ） A．3 B．4 C．5 D．6
思路点拨：将点坐标转化为线段长度
3.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了 一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放 入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小 就符合要求．图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、 BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为( C )
分析：解决此问题的关键是根据赵 州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作 AB 的
垂线， 交弧AB 于点C，交AB 于点D，则
CD=7.2m，
由垂径定理，得
AD= 1 AB= 1 ×37.4=18.7(m)，
2
2
设☉O的半径为 R m，在Rt△OAD中，
AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7
（1）证明：CD⊥AB
（2）AC与 BC 是什么关系？BD 与 AD 呢？
C
解：(1) 连结 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AE = BE， ∴△AOE≌△BOE(SSS). ∴ CD⊥AB.
·O
E B
A D
(2) 由垂径定理可得AC BC，AD BD.
归纳
我们还可以得到：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所
A．12寸 C．24寸
B．13寸 D．26寸
2. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则 油面 AB上升了（ D ）cm．
A．1
B．3
C．3或4
D．1或7
思路点拨：上升的过程中油面宽度 为8cm不止是一个时刻. 注意圆中的多种情况
24.2圆的基本性质 第2课时 垂径分弦
九年级下
沪科版
学习目标
1.了解圆是轴对称图形；
2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用． 难点
重点
新课引入
我们知道，等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等图形都 具有对称性.那么，圆是否具有对称性呢?
证明：连接OA ， OB ，则OA =OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB 上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD 对称. 同理，如果点Р是⊙O上任意一点，过点Р作直线CD的垂线，与⊙O相 交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.
当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， AE与BE重合，点A 与点B重合，AD 与 DB 重合，AC与 CB 重合.因此，AE=EB，AD DB, AC CB
新知学习 一 圆的轴对称性
探究
在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，如图 ， 你发现了什么?
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过 圆心的直线. 易错警示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能 说圆的直径是圆的对称轴.
你能证明你的发现吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为M． C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
②③ ①④⑤
弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ②⑤
①③⑤ ①③④
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
③④ ③⑤
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
①②④
④⑤ ①②③
由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2， 即R2=18.72+(R-7.2)2. 解得R≈27.9. 因此，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
涉及垂径定理时辅助线的添加
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆
C
心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常 A
a 2
h
D
B
通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利
思路点拨：证明⊙O关于CD对称，也就是AM=BM.
证明：连接OA，OB.
在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形. 又∵AB⊥CD，∴AM=MB.
· 该怎么证明O前面的
结论呢？
M
A
B
即CD是AB的垂直平分线 对于圆上任意一点，在圆上都有关于直 线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
D
根据圆的对称性又能 推出圆的哪些性质呢？
C
·O
P B
A D
垂径定理：①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③ AE=BE；④ AC BC； ⑤ AD BD.
C
·O
E
A
DB
已知 结论
命题
①② ③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
①③ ②④⑤
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
①④ ①⑤
②③⑤ ②③④
AD DB, AC CB
归纳
由上面的探究，我们可以发现并证明如下定理:
试着证明垂径定理.
*垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两 条弧.
几何语言：∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AE=BE AD DB, AC CB
证明
*已知:如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，并且CD⊥AB ，垂足为E. 求证:AE=EB ，AD = DB(或 AC = CB ).
2
C
O
r
d
a
2E
A
B
D
r
O
ad
2E
A
B
C
a 2
h
A
B
r dD
O
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
垂径定理的本质是: ①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AE=BE； ④ AC BC ； ⑤ AD BD .
C
·O
E B
A D
上述五个条件中的任意 两 个条件，都可以推出其他 三 个结论.
例1 如图，☉O中的半径为5cm，弦AB是为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
二 垂径定理
探究
1.在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，如 图.把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A ，B是关于直线CD的一 对对应点.连接AB，得弦AB ，如图，这时直径CD与弦AB有怎样的位置 关系?
直径CD⊥弦AB
探究
2.直径CD把劣弧 ADB 分成 AD 与 DB 两部分，把优弧 ACB 分成 AC 与 CB 两部分，这时 AD 与DB ，AC 与 CB 各有怎样的关系?
rd
用垂径定理和勾股定理求解.
O
针对训练 1.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载： 今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问 径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大 小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则圆形 木材的直径是（ D ）（1尺＝10寸）
垂径定理的几个基本图形：
C A
O
E
A
B
D
B D
O
C
O
E
A
B
D
O
O
E
A
B
试一试1
如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：
①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AP=BP； ④ AC BC ； ⑤ AD BD . 已知①② 可推出 ③④⑤
猜想1：已知①③ ？
②④⑤
C
·O
P B
A D
猜想1：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 B，垂足为E.
AE EB 1 AB 1 6 3(cm).
2
2
在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 = 52 32 4(cm).
答：圆心O到弦AB的距离为4cm.
·O
弦心距
E A
B
圆心到弦的距离叫弦心距.
例2 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的 下部呈圆弧形 ， 桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m ， 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到0.1 m)
对的两条弧.
C
数学语言： ∵ CD 是⊙O 的直径，AP = BP， ∴ CD⊥AB，AC BC，AD BD.
·O
P B
A D
思考
“平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的 两条弧”中“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
圆的两条直径是互相平分的.
C
A ·O B
A. 10 cm C. 20 cm
B. 15 cm D. 24 cm
课堂小结
垂径定理
垂径分弦
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧.
常见辅助线：①连半径；②做弦的垂线，构造直角三角形， 有如下关系：
r2
=
d
2
+
a 2
D
试一试2
如果把垂径定理的条件与结论用数学语言描述如下：
①CD是直径 ；②CD⊥AB； ③AP=BP； ④ AC BC ； ⑤ AD BD .
猜想2：已知①⑤ ？ ②③④
C
·O
P B
A D
请试着证明这条结论.
归纳
我们还可以得到： 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
数学语言： ∵ CD 是⊙O 的直径，AD BD. ∴ CD⊥AB，AC BC，AP = BP，