高考数学一轮复习讲练测 专题2.9 函数模型及其应用(讲)文(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题2.9 函数模型及其应用
1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表
现为与y轴平行
随x的增大逐渐
表现为与x轴平行
随n值变化而
各有不同
知识点二种常见的函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)
【特别提醒】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值X 围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
考点一 利用函数模型解决实际问题
【典例1】【2019年高考文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
【答案】①130；②15
【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，
当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求； 当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8
y y x y x -≥≤
， 因为min
158y ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15. 【方法技巧】
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
【变式1】（2019·某某某某中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：
万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k
3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年
能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k 的值及f (x )的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝40
3x ＋5
(0≤x ≤10)，
∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋800
3x ＋5(0≤x ≤10).
(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋800
3x ＋5－10.
令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800
t
－10≥2
2t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800
t
，即t ＝20时等号成立)，
此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 考点二 构建一、二次函数模型解决实际问题
【典例2】 （2019·某某康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：
其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计
m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在
当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
【解析】(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，
y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x22＝－0.05x22＋10x2－40
＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，
∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．
又0≤x1≤200，x1∈N，
∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，
∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．
(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.
易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.
即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．
【方法突破】
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
【变式2】（2019·某某某某一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
【解析】(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，
显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，
4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52， 所以v ＝－18x ＋5
2
.
故函数v ＝⎩⎪⎨⎪
⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52
，4<x ≤20.
(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意， 由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.
当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；
当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2
＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.
所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.
故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 考点三 构建指数函数、对数函数模型解决实际问题
【典例3】（2019·某某外国语学校模拟）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e
kx ＋b
(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是
192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A ．16小时
B ．20小时
C ．24小时
D ．28小时
【答案】 C
【解析】由已知得192＝e b
，① 48＝e
22k ＋b
＝e 22k ·e b
，②
将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k
＝12，
当x ＝33时，y ＝e
33k ＋b
＝e 33k ·e b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故
选C.
【方法技巧】
(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．
【变式3】（2019·某某省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2
2
.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10
＝12
，
解得x ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
10. 故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121
10. (2)设经过m 年剩余面积为原来的
22
， 则a (1－x )m
＝
22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
10
代入， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m
10＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
2，
即m 10＝1
2
，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 考点四 构建分段函数模型解决实际问题
【典例4】（2019·某某市第一中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁
使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.
当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2
＋68x －115.
令－3x 2
＋68x －115＞0，有3x 2
－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，
－3x 2
＋68x －1156＜x ≤20，x ∈Z .
(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2
＋68x －115
＝－3⎝
⎛⎭⎪⎫x －3432＋811
3(6＜x ≤20，x ∈Z)，
当x ＝11时，y max ＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 【方法突破】
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.
【变式4】（2019·某某第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫1600x 2＋x ＋150万元．
(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将放在机器人上，机器人将送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧
815
m （60－m ），1≤m ≤30，
480， m ＞30
(单位：件)，已知传
统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
【解析】(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x x ＝
1600x 2
＋x ＋150x ＝1600x ＋150
x
＋1≥2
1600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150
x
，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧
815
m （60－m ），1≤m ≤30，
480， m ＞30
当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )
＝－160m 2
＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 000
1 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可
减少120－30120
×100%＝75%.。