数学--泰安市2021届高三1月份期末考试试题

高三数学试卷
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}(){}
340,log 3A x x B x y x =-≤==-，则 A ．{}
03A B x x ⋂=<<
B ．{}
34A B x x ⋂=<≤
C ．{}
4A B x x ⋃=≤
D ．{}
3A B x x ⋃=<
2．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：有一条渐近线与直线2310x y -+=垂直，则该双曲
线的离心率为
A
B ．
3
C ．
2
D ．
2
3．已知直线:10l x y -+=，则“2
1a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若函数()()
ln 1x f x e ax =++为偶函数，则a = A ．1
B ．
12
C ．1-
D ．12
-
5．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十
面体的体积公式为(3
1512
V a +=
(其中a 为棱长)，已知一个正二十面体各棱长之和为
A B C D 6．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排A ，B ，C ，D ，E 五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且A ，B 两名同学安排在同一学院，C ，D 两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为
A ．86种
B ．64种
C ．42种
D ．30种
7．已知lg 2,310b
a ==，则5log 6= A.
1
ab b ab
+- B ．
1
ab a ab
+-
C ．
1ab a
ab
+-
D ．
1ab b
ab
+- 8．如图，已知抛物线218C y x =：，圆22
240C x y x +-=：，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆
依次交于点P ，M ，N ，Q ，则PM QN =
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心(CNNIC)第45次《中国互联网络发展状况统计报告》数据得到如图所示的统计图．2020年12月我国网络直播用户规模达5.60亿，占整体手机网民的62.0%．
根据以上信息，下列说法正确的是
A ．2018~2020年我国网络直播用户一直保持增长态势
B ．2020年我国手机网民未超过9亿
C ．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿
D ．2016~2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致 10．已知,m n R ∈，复数()2
3
2,5z mi z z ni i =++=+，则
A ．1m =-
B ．=1n
C ．26m ni +=
D ．m ni +在复平面内对应的点所在象限是第二象限
11．已知0,0,0,1a b c a b c >>>++=，则 A ．22213
a b c ++≥
B ．13
ab bc ac ++≥
C ．1110333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪⎪⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
D ．1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．若关于x 的方程ln 0ln e x x m x e x x
++=+有三个不相等的实数解123123,,x x x x x x <<，且，则
23
12123
ln ln ln x x x x x x ++
的值可能为 A ．1
B ．
32
e
C ．
21e D ．1e 第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知非零向量,a b 的夹角为
16
a b b a π
-===，，则 ▲ ．
14．各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1717S =，则216
11
a a +的最小值为 ▲ ．
15．已知函数()(
)cos 06f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，若函数()f x 在7,6
6ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上没有零点，则ω的取值范围是 ▲ ．
16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -外接球的球心O 到平面
1ACB 的距离为
33
，点M 为棱1CC 上的一个动点，则()2
1MD MA +的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)
在①336S =，数列{}1n a +是首项为3的等比数列，②1323
2
n n n S +--=，③数列{}n a 与{}
n S 均为等差数列，且12,2a p q =+=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n a pa q +=+，________，求,p q 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(12分) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2
2
PA AB PB ==
，点E 是PB 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PBC ．
(2)已知点F 是边BC 上靠近B 点的三等分点，求平面PAC 与平面AEF 所成锐二面角的余弦值．
19．(12分)
“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深人人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组[25，35)，第2组[35，45)，第3组[45，55)，第4组[55，65]，如图所示，已知区间[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65]上的频率依次成等差数列．
(1)分别求出区间[25，35)，[35，45)，[45，55)上的频率；
(2)现从年龄在[45，55)及[55，65]的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用x 表示抽到作为宣讲员的年龄在[45，55)的人数，y 表示抽到作为宣讲员的年龄在[55，65]的人数，设随机变量X x y =-，求X 的分布列与数学期望．
20．(12分)
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin 3sin 2sin ,b B c C c A a A +=+
B A >且．
(1)求sin sin B A
；
(2)已知D 为AB 上一点，满足60,1,BCD ACD CD ABC ∠=∠==∆求的面积．
21．(12分)
已知椭圆M 点在坐标轴上，且经过()3,1,0,2P Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
两点． (1)求椭圆M 的标准方程，
(2)已知过点(0,1)且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，证明直线AC 过定点，并求出该定点的坐标．
22．(12分)
已知函数()()ln 1x f x e x =+． (1)求()f x 的单调性；
(2)若对任意的[)()0,,x
x f x a
∈+∞≥
恒成立，求a 的取值范围．
高三数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分． 9.ACD 10.ACD 11.AD 12.BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

共20分．
13.
14.2
15. 40,7
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
16. 16+
四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.解：选①
设数列{}1n a +的公比为()()()2
3123123,1113333336m S a a a a a a m m =++=+++++-=++-=，
………………………………………………………………………………………………3分 解得34m m ==-或（舍去）.……………………………………………………………5分 又()1131n n a a ++=+，……………………………………………………………………7分 所以1323,2n n a a p q +=+==，即.……………………………………………………10分 选②
当1923
122
n a --==
=时，，…………………………………………………………2分 当()113213
32323122n
n n n n n n n n a S S +------≥=-=
-=-时，，……………4分 当1n =时，也满足上式，所以31n
n a =-.………………………………………………5分
因为1n n a pa q +=+，所以()
13131n n p q +-=-+，……………………………………7分 即1
3
13n n p q p +-=⋅+-，所以3,
3,21,
p p q q p =⎧==⎨-=-⎩即.…………………………10分
选③
设数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫
=+
=+- ⎪⎝
⎭，……………2分 ()112122
n n d d
S S n a +-=
++-.…………………………………………………………4分 因为数列{}n S 为等差数列，故0d =，…………………………………………………5分 即12n a a ==，……………………………………………………………………………6分 由1n n a pa q +=+，可得22p q +=，……………………………………………………8分 又20,2p q p q +===，所以.…………………………………………………………10分 评分细则：
【1】若选①，对()()()123111a a a +++++进行求和时，若使用等比数列的求和公式，需要对
公比进行讨论，分11m m =≠和两种情况，未分类直接求得公比3m =，扣2分；
【2】若选②，未说明112n a ==时，，直接得出31n
n a =-，扣2分；
【3】若选③，未说明()112122
n n d d S S n a +-=
-+-，直接得出数列{}n a 的公差为0，扣2分. 18.（1）证明：∵底面ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥.
又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD=AB ，且BC ⊂平面ABCD ，
BC AB ∴⊥平面P .…………………………………………………………………………2分
AE ⊂平面,PAB BC AE ∴⊥.…………………………………………………………3分
由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，AE PB ∴⊥，…………………………………4分 又
,PB BC B AE ⋂=∴⊥平面PBC.……………………………………………………5分
（2）解：易知AD,AB,AP 两两垂直.
分别以AD,AB,AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 不防设2AB =，则()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,2,A B D P
()20,1,1,,2,03E F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()2AE 0,1,1,AF ,2,03⎛⎫
∴== ⎪⎝⎭
.……………………………6分
设平面AEF 的一个法向量为(),,n p q r =，
0,0,=3220,0,3
q r n AE p p q n AF +=⎧⎧=⎪⎪
⎨
⎨+==⎪⎪⎩⎩得取， 则()1,1,3,1,1q r n =-=∴=-.……………………………………………………………8分 连接,
,,BD AP BD AC BD AP AC A ⊥⊥⋂=，
BD ∴⊥平面PAC ，即平面PAC 的一个法向量为()2,2,0BD =-.…………………10分
设平面PAC 与平面AEF 所成锐二面角为θ，
62222
cos =
11
91122
n BD n BD
θ+∴=
=
++⨯.…………………………………………12分 【1】第（1）问解析第二行未写BC ⊂平面ABCD ，不扣分，未注明平面PAB ⋂平面ABCD=AB ，扣1分；
【2】第（1）问也可以采用空间向量的方法求解，按步骤得分；
【3】第（2）问解析中得到平面PAC 的一个法向量只要与()2,2,0BD =-共线即可得分. 19.解：（1）[)[)[)25,35,35,45,45,55上的频率之和为10.04100.6-⨯=，………1分
且前三个频率成等差数列（设公差为d ），故[)35,45上的频率为
0.6
0.23
= (2)
分 从而20.40.20.20.1d d =-==，解得.………………………………………………3分 故区间[)[)[)25,35,35,45,45,55上的频率分别为0.1，0.2，0.3.……………………5分 （2）由题意知[)45,55组抽取3人，[]55,65组抽取4人，…………………………6分 当201,33,12x y X x y x y X ========时，，当或时，，
当0,44x y X ===时，，所以X 的所有取值为0，2，4，…………………………7分
()()221331
34343444
7718
160,23535
C C C C C C P X P X C C +======， ()04344
71
435
C C P X C ===，………………………………………………………………9分 所求分布列为
………………………………………………………………………………………………10分
()1816136
=024=35353535
E X ⨯
+⨯+⨯.…………………………………………………12分 评分细则：
【1】第（1）问区间[)[)[)25,3535,4545,55，，上的频率分别为0.1，0.2，0.3，全部算对得2分，未全对得1分，全部错误得0分；
【2】第（2）问()()()0,1,2P X P X P X ===全部算对得2分，未全对得1分，全部错误得0分.
20.解：（1）由2
2
2
sin sin 3sin 2sin 6cos b B c C c A a A b c ac A a +=++=+，得，…2分 所以2cos 6cos bc A ac A =，……………………………………………………………4分
又B A >，所以sin cos 033sin B
A b a A
≠==，则，即.…………………………………6分 （2）在111
sin sin sin 222
ABC ab C b CD ACD a CD BCD ∆⋅=⋅⋅∠+⋅⋅∠中，，……8分
可得4
,3,43
ab a b b a a b =+===又，可得，………………………………………10分
所以ABC ∆的面积为
11443sin 4sin120223ab C =⨯⨯⨯=.………………………12分 评分细则：
【1】第（1）问中没有说明cos 0A ≠，直接得出3b a =，扣1分，若只写B A >，得出3b a =，不扣分；
【2】其他方法按步骤得分.
21.解：（1）依题意，设椭圆的方程为()2
2
10,0mx ny m n +=>>.…………………2分
椭圆过点(),0,22P Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点，31,441,m n n ⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩解得1,1,4
m n =⎧⎪
⎨=⎪⎩………………4分 ∴椭圆的标准方程为2
214
y x +=.…………………………………………………………5分
（2）由题意知直线l 的方程为()10y kx k =+≠，
代入()()()2
222112214230,,,4
y x k x kx A x y B x y +=++-=，得，设， 则1212
2223
,.44
k x x x x k k +=-=-++……………………………………………………7分
点C 与点B 关于y 轴对称，()22,C x y ∴-，
∴直线AC 的方程为()21
1121
y y y y x x x x --=-
-+.………………………………………8分
令
()()()()1211221121212211211212121120x y y x kx x kx kx x x x x y x y x y y x x x x x x x x -++++++==
+====++++，得21212
2
3
22411424
k kx x k k x x k -⨯
++=
+=+-+，……………………………………………………11分 【1】第（1）问中，也可通过分焦点在x 轴或者y 轴上两种情况设出标准方程，每种情况2分，
最终答案1分；
【2】第（2）问总共7分，联立方程写出12,x x 的关系得2分，写出直线AC 的方程得1分，求出定点得4分；
【3】其他方法按步骤得分.
22.解：（1）由题意，()()()1ln 1,1,1x
f x e x x x ⎡⎤
'=++∈-+∞⎢⎥+⎣
⎦.……………………1分 令()()()()()
22
111ln 11111x
g x x g x x x x x '=++
=-=++++，则， 所以()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，则()()01g x g ≥=，…3分 从而()0f x '>，所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.………………………………5分
（2）由题意，()[)ln 10,x
x
e x x a
+≥
∈+∞对恒成立. 当[)()()00,,00,0x
a x f x f a
<∀∈+∞≥=≤时，，符合题意.………………………6分
当()()0ln 1ln 10x x
x a e x a x xe a
->+≥+-≥时，可化为，
令()()[)ln 1,0,x h x a x xe x -=+-∈+∞，
则()()()2111x x x x
a ae x h x e xe x x e
--+-'=--=++，其中()10x
x e +>. 令()[)()[)21,0,0x p x ae x x p x =+-∈+∞+∞，则在，上单调递增，………………7分 当()()1010a p x p a ≥≥=-≥时，，
所以对[]()()[)0,,00x h x h x '∀∈+∞≥+∞，从而在，上单调递增， 所以对任意[)()()0,,00x h x h ∈+∞≥=， 即不等式()[)ln 10x
x
e x a
+≥
+∞在，上恒成立.…………………………………………9分 当()()()[)01010,100a p a p ae p x <<=-<=>+∞时，及在，上单调递增， 所以存在唯一的()()()()00000,100,0x p x x x p x ∈=∈<使得，且当时，， 从而当()()00,0x x h x '∈<时，，所以()()00h x x 在，上单调递减， 则当()()()()00,00ln 1x
x
x x h x h e x a
∈<=+<
时，，即，不符合题意.…………11分 综上所述，a 的取值范围为()[),01,-∞⋃+∞.…………………………………………12分 评分细则：
【1】第（1）问中，未说明()g x 的单调性，直接得出()f x 的单调性，扣2分； 【2】第（2）问中，其他方法按步骤得分.。