(教师用书)高中数学 4.2 实际问题的函数建模配套课件 北师大版必修1
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【提示】 指数函数模型．
2 ．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系 是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震 级 M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
函数建模
§ 2
实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画 2．2 用函数模型解决实际问题 2．3 函数建模案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题 中的应用． (2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法 (1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际 意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围． (2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图， 比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的 数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的 函数模型．
理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数 学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是 数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数 学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本 质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的 数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重 要的．
解】
设每桶水的销售价格为 x 元，利润为 y 元，由
表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，销售量就减少 40 桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为： 480－40(x－6)＝720－40x>0，所以 5<x<18， 则利润 y＝(720－40x)x－(720－40x)· 5－200 23 2 ＝－40x ＋920x－3 800＝－40(x－ 2 ) ＋1 490，
3．情感、态度与价值观 通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生 体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常 生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣， 发展学生的创新思维和实践能力．
●重点难点 重点：建立函数模型，解决实际问题的基本方法． 难点：对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点 图进行比较，并加以修改．
用数学刻画实际问题是数学应用的第一步，这里要突出 两个方面，一是读懂问题，二是根据实际问题特征和掌握的 数学特征，建立实际问题与数学问题的联系．读题是解决问 题的起点，读题就像语文阅读一样，弄清楚整个题目有几层 意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素 有哪些，等等．长期以来，学生习惯于完全是已知、求解(证) 式样的数学语言表述的数学问题，而实际问题是在讲一件 事，读者从字里行间收集有用的信息，捕捉关键词语，从文 字语言叙述中理解题意．
●教学建议 实际问题的函数建模主要包含三个方面：利用给定的函 数模型解决实际问题、建立确定性函数模型解决问题和建立 拟合函数模型解决实际问题. 这几种模型各有特点，在例题 教学结束后，建议引导学生回顾例题特点、解决问题的过程 和方法．值得注意的是，尽量给学生提供更多的机会和创设 更多的情景，从实际问题中发现或建立函数模型，并体会数 学在实际问题中的应用价值．
2．按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算， 5 年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
1．定义 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学 建模． 2．过程
一次、二次函数模型
在经济学中，函数 f(x)的边际函数 mf(x)定义为 mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． 某公司每月最多生产 100 台报警系统装 置， 生产 x 台(x∈N*)的收入函数为 R(x)＝3 000x－20x2(单位： 元)，生产 x 台的成本函数为 c(x)＝500x＋4 000(单位：元)， 利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数 p(x)及边际函数 mp(x)的解析式，并指出 它们的定义域； (2)利润函数 p(x)与边际函数 mp(x)是否具有相同的最大 值？说明理由．
【思路探究】 本题应抓住边际函数的定义形式，用收
入与成本函数的形式表示出利润函数，并求出最大值．
【自主解答】
(1)p(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，
【问题导思】 某公司拟投资 100 万元获利，打算 5 年后收回本金和利 息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率 10%按单利计 算；另一种是年利率 9%按每年复利一次计算． 1．按单利( 每年的本金不变，均为最初的投资) 计算，5 年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每桶水进价为 5 元，销售单价与销售量的关系如下 表：
销售单价 6 7 8 9 10 11 12 (元 ) 日销售量 48 44 40 36 32 28 24 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能够 0 0 0 0 0 0 0 (桶 ) 获得最大利润？最大利润是多少？
其定义域为 x∈[1,100]且 x∈N*， mp(x)＝2 480－40x， 其定义域为 x∈[1,99]且 x∈N*. (2) 利润函数 p(x) 与边际函数 mp(x) 不具有相同的最大 值．(理由略)
1．当已知函数模型(解析式)时，可直接代入有关数据解 决问题． 2 ．在函数模型中，二次函数模型占有重要地位，通常 利用配方法，单调性法求函数最值，如实际问题中的利润最 大、用料最省等．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.了解函数模型的应用，体会 函数模型在解决实际问题中的 应用．(重点) 2．掌握求解函数应用题的基本 步骤．(难点)
常见的函数模型
【问题导思】 在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适 的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模 型呢？ 1 ．在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型 呢？
2 ．在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系 是什么样的函数模型？
【提示】 二次函数模型．
3．在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大， 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震 级 M，使用的是什么样的函数模型？
【提示】 对数函数模型．
函数建模
§ 2
实际问题的函数建模
2．1 实际问题的函数刻画 2．2 用函数模型解决实际问题 2．3 函数建模案例
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题 中的应用． (2)掌握求解函数应用题的基本步骤．
2．过程与方法 (1)对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际 意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围． (2)针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图， 比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的 数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的 函数模型．
理解了题意还需要用数学去刻画它，换句话说，是用数 学的眼光看实际问题，用数学的语言表达实际问题，也就是 数学建模．这时显露出的是数学功夫，能看出是不是真懂数 学．建模的过程，一方面将实际问题抽象化，揭露出数学本 质，使实际问题归入到数学科学中；另一方面，使学习过的 数学知识表现出应用价值．从学习者角度来说，这都是很重 要的．
解】
设每桶水的销售价格为 x 元，利润为 y 元，由
表格中的数据可以得到，价格每上涨 1 元，销售量就减少 40 桶，所以涨价(x－6)元后，销售的桶数为： 480－40(x－6)＝720－40x>0，所以 5<x<18， 则利润 y＝(720－40x)x－(720－40x)· 5－200 23 2 ＝－40x ＋920x－3 800＝－40(x－ 2 ) ＋1 490，
3．情感、态度与价值观 通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生 体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常 生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣， 发展学生的创新思维和实践能力．
●重点难点 重点：建立函数模型，解决实际问题的基本方法． 难点：对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点 图进行比较，并加以修改．
用数学刻画实际问题是数学应用的第一步，这里要突出 两个方面，一是读懂问题，二是根据实际问题特征和掌握的 数学特征，建立实际问题与数学问题的联系．读题是解决问 题的起点，读题就像语文阅读一样，弄清楚整个题目有几层 意思，每层意思是什么，要解决什么问题，与其相关的因素 有哪些，等等．长期以来，学生习惯于完全是已知、求解(证) 式样的数学语言表述的数学问题，而实际问题是在讲一件 事，读者从字里行间收集有用的信息，捕捉关键词语，从文 字语言叙述中理解题意．
●教学建议 实际问题的函数建模主要包含三个方面：利用给定的函 数模型解决实际问题、建立确定性函数模型解决问题和建立 拟合函数模型解决实际问题. 这几种模型各有特点，在例题 教学结束后，建议引导学生回顾例题特点、解决问题的过程 和方法．值得注意的是，尽量给学生提供更多的机会和创设 更多的情景，从实际问题中发现或建立函数模型，并体会数 学在实际问题中的应用价值．
2．按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算， 5 年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
1．定义 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学 建模． 2．过程
一次、二次函数模型
在经济学中，函数 f(x)的边际函数 mf(x)定义为 mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． 某公司每月最多生产 100 台报警系统装 置， 生产 x 台(x∈N*)的收入函数为 R(x)＝3 000x－20x2(单位： 元)，生产 x 台的成本函数为 c(x)＝500x＋4 000(单位：元)， 利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数 p(x)及边际函数 mp(x)的解析式，并指出 它们的定义域； (2)利润函数 p(x)与边际函数 mp(x)是否具有相同的最大 值？说明理由．
【思路探究】 本题应抓住边际函数的定义形式，用收
入与成本函数的形式表示出利润函数，并求出最大值．
【自主解答】
(1)p(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，
【问题导思】 某公司拟投资 100 万元获利，打算 5 年后收回本金和利 息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率 10%按单利计 算；另一种是年利率 9%按每年复利一次计算． 1．按单利( 每年的本金不变，均为最初的投资) 计算，5 年后收回的本金和利息是多少？
【提示】 100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每桶水进价为 5 元，销售单价与销售量的关系如下 表：
销售单价 6 7 8 9 10 11 12 (元 ) 日销售量 48 44 40 36 32 28 24 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能够 0 0 0 0 0 0 0 (桶 ) 获得最大利润？最大利润是多少？
其定义域为 x∈[1,100]且 x∈N*， mp(x)＝2 480－40x， 其定义域为 x∈[1,99]且 x∈N*. (2) 利润函数 p(x) 与边际函数 mp(x) 不具有相同的最大 值．(理由略)
1．当已知函数模型(解析式)时，可直接代入有关数据解 决问题． 2 ．在函数模型中，二次函数模型占有重要地位，通常 利用配方法，单调性法求函数最值，如实际问题中的利润最 大、用料最省等．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.了解函数模型的应用，体会 函数模型在解决实际问题中的 应用．(重点) 2．掌握求解函数应用题的基本 步骤．(难点)
常见的函数模型
【问题导思】 在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适 的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模 型呢？ 1 ．在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型 呢？