自-数学理卷·2015届陕西省西安铁一中、铁一中国际合作学校高二下学期第二次月考(2014.05)

2013-2０14-2高二年级(2)
数 学 试 题ﻭ
【试卷综析】试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时,突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查,并达到了必要的深度,且都是从中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发,在知识的交汇点处设计命题，解答题实行了分步把关，层层递进，让不同层次的同学都能展示自身的综合素质和综合能力，推动中学素质教育向纵深发展。

一、选择题:(每小题3分，共３６分）
1、设随机变量X 服从正态分布(0,1),(1)N P X >=p ,则(10)P X -<<等于( ) A
1
p B 1p - Ｃ 12p - Ｄ 1
p -
2、方程)(1
1
2
2
为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=表示的曲线是( ) （A ） 直线． (B) 一条射线． (C) 两条射线. (D) 线段.
【知识点】参数方程转化为普通方程.
【答案解析】Ｂ 解析 ：解:因为)(11
2
2
为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,所以x+1=y －1,即y ＝x+2，又因为2
t x 1=+，2
t x 10,=+≥即1x ≥-,故y=ｘ+2 (1)x ≥-，表示的曲线是一条射线.故选
B.
【思路点拨】把)(1
1
2
2
为参数t t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=转化为普通方程y=x+２,结合定义域1x ≥-即可. 3、只用１,2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻，这样的四位数有( )
A ６ 个 Ｂ ９个 Ｃ 18个 D ３6个 【知识点】计数原理.
【答案解析】C 解析 ：解:由题意知,本题需要分步计数1ﻫ,２，3中必有某一个数字重复使用2次.
第一步确定谁被使用2次,有3种方法;
第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有３种方法；ﻫ第三步将余下的２个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法. 故共可组成3×3×２=18个不同的四位数. 故选Ｃ
【思路点拨】本题需要分步计数，由题意知1,2，3中必有某一个数字重复使用2次.首先确定谁被使用2次，再把这２个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果．
【典型总结】本题考查分步计数原理,是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意做到不重不漏．
４、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围( ） A [)0.4, 1 B (]0, 0.4 C
(]0, 0.6
D
[)0,6 1
【知识点】古典概型及其概率计算公式；不等关系与不等式．
【答案解析】A 解析 :解：事件Ａ在一次试验中发生的概率为p ， ∴由条件知C 41p （１－p ）3≤C 42p 2(1-p ）2,ﻫ解得p ≥０.4,故选A ． 故选 A
【思路点拨】随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,根据题目所给的这个条件，列出不等式,解出范围. 5、已知随机变量8ξη+=,若(10, 0.6)B ξ
，则(),()E D ηη分别是( )
A ６和２.4
B 2和2．4 Ｃ ２和5．6 Ｄ ６和5．6 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【答案解析】B 解析 :解：∵ξ～B （10,0.6)，
∴E ξ=10×0.６=6,Ｄξ=10×0.６×０．4=2.４,ﻫ∵ξ+η=8, ∴Ｅη＝E(8-ξ）=２，D η=D （8-ξ)=２．4 故选B ．
【思路点拨】根据变量ξ~Ｂ(10，０.6)可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量ξ＋η=8，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．
【典型总结】本题考查变量的极值与方差,均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题.
６、在极坐标系中,与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为（ )
A sin 2ρθ=
B cos 2ρθ=
C cos 4ρθ=
D cos 4ρθ=- 【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化;圆的切线方程.
【答案解析】B 解析 :解:ρ=4sinθ的普通方程为:ﻫx ２+(y-2)２
=4,ﻫ选项B 的ρcosθ=2的普通方程为x=２．
圆x 2+（y －2)2=4与直线ｘ=２显然相切.ﻫ故选Ｂ.
【思路点拨】把极坐标转化为直角坐标．即利用ρ２
=ｘ2＋y 2，ρsi ｎθ=ｙ，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可.
7、2
82
()x x
+的展开式中4
x 的系数是（ )
A １6 Ｂ 7０ C 560 Ｄ 1120 【知识点】二项式系数的性质．
【答案解析】D 解析 :解:288381882K k k
k k k k T C x C x ---+=⨯=（）（），令3ｋ-8=4解得k=４ﻫ∴
2844441821120T C x x -+==ﻫ故选Ｄ
【思路点拨】先写出二项展开式的通项公式,利用通项公式令ｘ的指数为4，求出x 4的系数即可．
8、２个男生和5个女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻,则不同的排法总数为（ ）
A 4８0
B 7２0
C 960 Ｄ 1440 【知识点】计数原理的应用．
【答案解析】Ｃ 解析 :解：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，
又２名女生的顺序可调整，共有6
2
62A A 种方法,
去掉其中女生在两端的情形共52522A A 种，ﻫ故总的方法种数为:6252
62522A A A A -=96０
故选C
【思路点拨】捆绑法:把２名女生看成１个元素,和５个男生可作6个元素的全排列，去掉其
中女生在两端的情形,可得总的方法种数为：6252
62522A A A A -,计算可得.
9、某饮料店的日销售收入y (单位:百元）与当天平均气温x （单位:0
C )之间有下列数据:
x
-2 -1 0 1 2 y
5
4
２
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究,分别得到了x 与y 之间的四个线性回归方程,其中正确的是( )
A 2.8y x ∧
=-+ B
3y x ∧=-+ C 1.2 2.6y x ∧
=-+ Ｄ
2 2.7y x ∧
=+
【知识点】回归直线方程.
１0、当抛掷5枚硬币时，已知至少出现两个正面,则刚好出现3个正面的概率为( ） A
513 B 613 C 126 D 1
4
【知识点】等可能事件的概率。

【答案解析】Ａ 解析 ：解:抛掷５枚硬币共出现5
2=32种结果，都出现反面有1种结果，出现一个反面有5种结果，所以至少出现两个正面有３2-1-5=26种结果,在这2６种结果中
刚好出现3个正面的种数是3
510C =,所以则刚好出现3个正面的概率为
105
=2613
,故选A. 【思路点拨】先用间接法求出至少出现两个正面结果数,再求得刚好出现3个正面的种数，计算比值即可．
1１、 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是2
1
，质点P 移动五次后位于点)3,2(的概率是（ ） A ．3
)2
1(ﻩ
B ．52
5)2
1(C ﻩ C.3
3
5)2
1(C
ﻩ D ．5
3
52
5)2
1(C C
【知识点】等可能事件．
1２、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数)，直线l 的方程为320x y -+=,
则曲线C 上到直线l 距离为10
的点的个数为( ) Ａ、1
B 、２
C 、3
Ｄ、4
【知识点】圆的参数方程．
【答案解析】Ｂ 解析 :解：化曲线C 的参数方程为普通方程：(x －2）2+（y+1)2＝9,
二、填空题：（每题4分,共16分）
1３、若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l (t 为参数)与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数)垂直，则
k = .
【知识点】直线的参数方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
１4、为了判断高二学生选择文理是否与性别有关，现随机抽取５0名学生，得到如下2×2列联表
若2
( 3.841)0.05,p k ≥≈,2
( 5.024)0.025p k ≥≈
根据计算公式2
2
() 4.844()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
≈++++ 则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性为_＿______＿__
【知识点】独立性检验的应用.
【答案解析】０.05 解析 ：解：：∵根据表中数据，得到X 2的观测值Χ2＝
()
2
501320107 4.84423272030
⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯，
4.84４>3.84１, 由于P （X ２
≥3.841）≈０.０５，ﻫ∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为0.０5. 故答案为：0.05.
【思路点拨】根据条件中所给的观测值,同所给的临界值进行比较,根据４．844>3．841,即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为0．0５．
15、 ),(y x P 是曲线
116
25
22=+y x 上的动点，则y x 4
352+的最大值是___＿____＿ 【知识点】椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系．
１6、甲罐中有５个红球,2个白球和３个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是____＿___(写出所有正确结论的编号)。

①()25P B =
; ②()15|11
P B A =; ③事件B 与事件1A 相互独立; ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定,因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关
A1，A２,Ａ３是两两互斥的事件,由此知④正确
对照四个命题知②④正确
【思路点拨】由题意A1，Ａ２,A
３是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P(B）=P(Ｂ｜A１）+P(B|A2）+P（B|A3),对照五个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项。

三、解答题（共48
分)
1７、（本小题满分１0分)在直角坐标系ｘoy中,直线l
的参数方程为
3,
2
2
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数)。

在极坐标系(与直角坐标系ｘｏy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以
x轴正半轴为极轴）中,圆C的方程为ρθ
=。

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;（Ⅱ）设圆Ｃ与直线l交于点A、B,若点P的坐标为,
求|PA|
＋|ＰB｜。

【知识点】简单曲线的极坐标方程;直线和圆的方程的应用；直线的参数方程.参数方程化成普通方程;两点间的距离公式．
【答案解析】（Ⅰ)22
( 5.
x y
+-=
（Ⅱ）
解析:解：
（Ⅰ）由ρθ
=得220,
x y
+-
=
即22
( 5.
x y
+-=
--－--4分（Ⅱ)将l的参数方程代入圆Ｃ的直角坐标方程,得22
(3))5
+=，-－---６分即240,
t-+=由于24420
∆=-⨯=>，故可设
12
,t t是上述方程的两实根，
所以12
12
4
t t
l P
t t
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
又直线过点
---－------－－8分
故由上式及t 的几何意义得： |PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =--－--－---－１0分
【思路点拨】（Ⅰ）由ρθ=得22
0,x y +-= 整理即可(Ⅱ）先把圆的极坐标
方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程代入,利用参数的几何意义即可求出. 18、（本小题满分12分)设,m n N ∈，()(1)(1)m n
f x x x =+++,
(1)当7m n ==时，767610()f x a x a x a x a =++
++，求0246a a a a +++。

(2)当m n =时，()f x 展开式中2
x 的系数是20，求n 的值。

（3）()f x 展开式中x 的系数是１９,当m ,n 变化时，求2
x 系数的最小值。

【知识点】赋值法;二项展开式；二项式定理；
【答案解析】（1）１28（2）５ (３) 当10n =或9n =时， 2
x 的系数最小值为81 解析 ：解:(１）赋值法：分别令1x =,1x =-，得0246128a a a a +++=………３分
(2）222
3220n T C x x ==，5n ∴=……………………………………………７分
(３）19m n +=,2x 的系数为:22
11
(1)(1)22
m n C C m m n n +=
-+- 21
[()2()]171171(19)2
m n mn m n mn n n =+--+=-=-- 219323
()24
n =-
+
所以，当10n =或9n =时,()f x 展开式中2
x 的系数最小值为81。

(2)
【思路点拨】（1）利用赋值法代入即可；（2）由已知得222
3220n T C x x ==解方程即可；
（3)19m n +=，2
x 的系数为：219323()24
n -
+
，当10n =或9n =时,()f x 展开式中2
x 的系数最小值为８1。

1９、(本小题满分1２分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
54、53、5
2
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率；
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．（注:本小题结果可用分数表示）
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【答案解析】（Ⅰ）
101
(Ⅱ）ξ的分布列为
11235252525
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
.
解析 :解:（Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，
，，则14()5
P A =
,23()5P A =,32()5P A =,
∴该选手被淘汰的概率
112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++
142433101
555555125
=+⨯+⨯⨯=
．－----－----------６分 (Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11
(1)()5
P P A ξ===，
1212428
(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=
, 12124312
(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=.---－--－-----－－---9分
ξ∴的分布列为
11235252525
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
--－------－---－---－-－--12分
【思路点拨】（Ⅰ)求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对
的概率；
（Ⅱ）ξ的可能值为1,2，3，ξ=i 表示前i-1轮均答对问题,而第i 次答错，利用独立事件求概率即可．
【典型总结】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识,同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力.
２0、(本小题满分14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。

已知从袋中任意摸出１个球,得到黑球的概率是
52;从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是9
7。

（Ⅰ)若袋中共有10个球，(i ）求白球的个数;(i ｉ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球
的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望ξE 。

（Ⅱ）求证:从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于10
7。

并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

【知识点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件. 【答案解析】（Ⅰ)(i ）白球有5个;(ii ）3
2
E ξ=
;(Ⅱ)袋中红球个数最少． 解析 ：解：（Ⅰ）解:(i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ,设袋
中白球的个数为x ,则2
102107()19
x
C P A C -=-=,
得到5x =.故白球有5个.－---－－---------－-4分 （ｉi ）随机变量ξ的取值为０，1，２，3,分布列是
ξ 0 1 2 3
P
112 512 512 112
ξ的数学期望
15513
0123121212122
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯=．－--－-－-－--－-－-----９分 (Ⅱ)证明:设袋中有n 个球,其中y 个黑球，由题意得2
5
y n =，
所以2y n <,21y n -≤,故1
12y n -≤．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则
23()551y P B n =
+⨯-231755210
+⨯=≤．----－－-－-----－-－－１2分 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于25n ,红球的个数少于5n
．
故袋中红球个数最少.---------－---－--－－-1４分
附加题(7、8班必做，其他班选做。

）
(本小题满分1０分）已知函数4
3
2
()2f x x ax x b =+++（x R ∈),其中R b a ∈,．
(Ⅰ)当10
3
a =-
时,讨论函数()f x 的单调性； (Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围. 【知识点】利用导数求单调区间;导数与极值;不等式恒成立.
【答案解析】（Ⅰ）()f x 在1
(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，1(,2)2
内是减函数． (Ⅱ）88[,]33
-(Ⅲ)(,4]-∞-
解析 ：解：（Ⅰ）解:3
2
2
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.－－---------－-－-1分
当103
a =-
时,2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=，解得10x =,21
2
x =，32x =.
当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:
x
(,0)
-∞
1(0,)2
12
1(,2)2
２
(2,)
+∞
()
f x '
- ０ + 0
-
0 +
()
f x
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以()f x 在1(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，1(,2)2
内是减函数．--------－---－3分
（Ⅱ)解：2
()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根.
为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立,即有2
9640a ∆=-≤．
解此不等式,得3
838
a -
≤≤．这时,(0)f b =是唯一极值. 因此满足条件的a 的取值范围是88
[,]33
-.--－-－-－---－-----－6分
（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-,可知2
9640a ∆=-<,从而2
4340x ax ++>恒成立． 当0x <时,()0f x '<；当0x >时,()0f x '>.
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者.
为使对任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当1
11))1
((f f ≤-≤⎧⎨
⎩，即
22b a
b a
≤--≤-+⎧⎨
⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立． 所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．---－-－----－---10分
【思路点拨】(Ⅰ)由已知得322
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．
当103
a =-
时,2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=，列表判断.
（Ⅱ）2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根.
为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24403x ax +≥+成立，即有2
9640a ∆=-≤．
解此不等式即可（Ⅲ)由条件[2,2]a ∈-,可得2
4340x ax ++>恒成立．即22b a b a
≤--≤-+⎧⎨⎩
,在
[2,2]a ∈-上恒成立即可．。