高等代数第8章入矩阵1
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P0Q0= E, P0BQ0= A. 由此Q0= P0-1, 而A=P0BP0-1. 故A与B相似.
引理 对于任何不为零的nn数字矩阵A
和-矩阵U()与V(), 一定存在－矩阵Q()
与R()以及 数字矩阵U0与V0使
U() =(E-A)Q()+U0 ,
<1>
V() =R()(E-A)+V0 .
<2>
证 把U()改写成
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
这里D0,D1,…,Dm都是nn数字矩阵,而且
D00. 如m=0,则令Q()=0及U0=D0,它们
P(i(c))-1=P(i(c-1)),
P(i,j())-1=P(i,j(-)).
对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换 就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等 -矩阵;
对A()作一次初等列变换就相当于在A() 的右边乘上相应的nn的初等 -矩阵.
定义 -矩阵A()称为与B()等价, 如果可以经过一系列初等变换将A()化 为B().
行列式因子的意义就在于, 它在 初等变换下是不变的.
定理 等价的-矩阵具有相同的秩
与相同的各阶行列式因子。
证 只需要证明, -矩阵经过一次初
等变换, 其秩与行列式因子是不变的.
设-矩阵A()经一次初等行变换 变成B(), f( )与g( )分别是A()与
B()的k阶子式的一个最大公因式. 现证f=g.下面分三种情况讨论：
-矩阵之间的等价满足如下三条; (1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2) 对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆 性). (3) 传递性:若A()与B()等价,
B()与C()等价,则A()与C()等价.
命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条件 为有一系列初等-矩阵P1,P2,…,Ps,
Dk()=d1()d2()…dk()
(k＝1,2,…,r)
这说明A()的标准形(1)的主对角线上的 非零元素是被A()的行列式因子所唯一 决定的, 所以A ()的标准形是唯一的。
三.不变因子 定义 标准形的主对角线上非零元素
d1()‚d2(),…,dr() 称为-矩阵A()的不变因子.
定理 两个sn 的-矩阵等价的充分 必要条件是它们有相同的行列式因子, 或者说, 有相同的不变因子.
s阶-矩阵P()与可逆的n阶-矩阵 Q(),
使得
B()=P()A()Q().
§4 矩阵相似的条件
本节的主要结果是证明两个n×n数字 矩阵A和B相似的充分必要条件是它们 的特征矩阵E-A和E-B等价.
引理 如果有n×n数字矩阵P0 ，Q0 使
E-A= P0(E-B)Q0
则A与B相似.
证 因P0(E-B)Q0= P0Q0 - P0BQ0, 它又与 E-A相等, 进行比较后应有
高等代数第8章入矩阵1
2020年4月23日星期四
§1 - 矩阵
一. 概念
设P是一个数域, 是一个文字,作多项式环 P[]. 如果一个矩阵其元素是的多项式, 即P[]的元素, 就称为 -矩阵. 常用A(),B()表示.
数字矩阵: 特殊情形. 运算:与数字矩阵相同.
-矩阵的行列式
(1) -矩阵的行列式与数字矩阵的行列式
全部 k级子式也就都等于零; 反之亦然.
因此, A()与B()既有相同的各阶
行列式因子,又有相同的秩.
现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设 标准形为
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为1 的多项式, 且di()di+1() (i=1,2,…,r-1)
• 一般的非零k阶子式为:
B()的左上角元素r()符合引理的要求， 故B()即为所求的矩阵.
(2)在A()的第一行中有一个元素a1i()不能 被a11()除尽,这种情况的证明与(1)类似,但 是对A()进行的是初等列变换.
(3) A()的第一行与第一列中的元素都可以
被a11()除尽,但A()中有另一个元素 aij() (i>1,j>1)不能被a11()除尽.设
例 用初等变换化-矩阵为标准形
解
§3 不变因子
一.行列式因子
定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正 整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子 式. A()中全部k阶子式的首项系数为1 的最大公因式Dk()称为A()的k级行列
式因子.
由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式因子一共有r个.
(1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的
()倍, ()是一个多项式.
-矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换 得到的-矩阵称为初等-矩阵.
P(i, j); P(i(c)); P(i, j())
初等矩阵都是可逆的, 并且有 P(i, j)-1=P(i, j) ,
有相同的性质.
(2) -矩阵的行列式是关于文字 的一个
多项式。
(3)可定义 -矩阵行列式的子式、非零
子式、 -矩阵的秩等概念。
零矩阵的秩规定为0.
例设
勇于开始，才能找到成 功的路
因为A()的4个3阶子式全等于零,
而有一个2阶子式不为零,
所以A()的秩为2.
三. -矩阵的逆矩阵
定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使
Q1, Q2 ,…,Qt,使
A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt .
引理 设-矩阵A()的左上角元素a11() ≠0, 并且A()中至少有一个元素不能被它 除尽, 那么一定可以找到一个与A()等价 的矩阵B(), 它的左上角元素也不为零, 但 是次数比a11()的次数低.
证 根据A()中不能被a11()除尽的元素
其中d=|A()|是数域中P一个非零常数.
例2 设
因为|A()|=0, 所以A()不可逆。
因为|B()|=2(+1), 不是非零常数, 所以 B()不可逆.
• 例4
因为|C()|= -3, 所以C()可逆,
§2 -矩阵在初等变换下的标准形
一.初等变换与初等矩阵
-矩阵的初等变换:指下面的三种变换
A()= P1P2…Ps B() Q1Q2 …Qt .
特别地, 当B()=E时, 就得到如下结果
定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是:A()的标准形为单位矩阵E. 定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是: A()能表成一些初等矩阵的乘积.
定理 两个sn的-矩阵A()与B()
等价的充分必要条件是:存在可逆的
而
A()A*()=A*()A()= |A()| E 因此，A()可逆.
反之,若A()可逆,则有一个n×n的-矩阵 B()使
A()B()=B()A()=E
两边取行列式,
|A()||B()| = |E|=1 因为|A()|与|B()|都是的多项式,
所以都只能是零次多项式,即非零常数.
推论 如果A()可逆,则 A-1()= A*()
ai1()=a11()(). 对A()作下述初等行 变换:
勇于开始，才能找到成 功的路
矩阵A1()的第1行中aij()+(1-())a1i() 不能被左上角元素a11()除尽,
这就化为已经证明了的情况(2).
定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()
都等价于下列形式的矩阵
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为
• k阶子式首一最大公因勇于式开始为，才:能找到成
d1()d2()…dk(功的)路.
• 二.标准形的唯一性
• 定理 -矩阵的标准形是唯一的．
证 设A()的标准形为
勇于开始，才能找到成 功的路
因A()与其等价,故有相同的秩与相同的 行列式因子, 因此 A()的秩就是标准形 的主对角线上非零元素的个数r; A()的k阶行列式因子就是
如此下去, 将得到一系列彼此等价的-矩阵 A(), B1(), B2(),…它们左上角元素皆不为
零,而且次数越来越低。
但次数是非负整数.因此在有限步后, 我们
将终止于一个-矩阵Bs(),其左上角元素 bs() 0,且可除尽Bs()的全部元素bij (),
即
bij() = bs()qij(), 对Bs()作初等变换:
B()的k阶子式的公因式,
从而
f()|g().
对于列变换, 可以完全一样地讨论.
总之,如果A()经过一次初等变换变 成B(),那么f()|g(). 但由初等变换的 可逆性,B()也可以经过一次初等变换 变成A(). 由上面的讨论, 同样有 g() | f() , 于是f()=g(). 当A()的全部k阶子式为零时,B()的
dk()=1 (k=1,2,…,n).
因此,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.
反之,与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆的,
（因为它的行列式是一个非零的数） 这就是说, 矩阵可逆的充分必要条件是
它与单位矩阵等价.又矩阵A()与B()
等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵 P1,P2,…, Ps,Q1,Q2,…,Qt, 使
(1)A()经初等变换(1)变成B(), 这时, (2)B()的每个k阶子式或者等于A()的某个 (3)k阶子式,或者与A()的某一个k阶子式反
号,
(4) 因此f()是B()的k阶子式的公因式, 从而
((52))f(A)(|g()经).初等变换(2)变成B(), 这时, B() 的每个 k阶子式或者等于A()的某一个k阶 子式, 或者与A()的某一个k阶子式的c倍. 因此f()是B()的k阶子式的公因式,从而
1的多项式, 且
di()di+1() (i=1,2,…,r-1) 。
证 经行列调动,可使A()的左上角元素 a11()0.
若a11()不能除尽A()的全部元素,由引理, 可找到与A()等价的B1(),其左上角元素 b1()0, 且次数比a11()低.若b1()还不能除 尽B1()的全部元素,由引理,又可找到与B1() 等价的B2(), 其左上角元素b2()0,且次数比 b1()低.
右下角的-矩阵A1()中勇功于的的开路始全，才部能找元到成素都是 Bs()中元素的组合,都可以被bs()除尽.
若A1() 0,则对于A1()可以重复
上述过程, 进而把矩阵化成
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多项 式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而且 d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部元素. 如此继续,A()便可化成所要求的形式.
A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩阵.
注 (1)这里 E是n阶单位矩阵;
(2)这样的矩阵B()是唯一的, 记作A1().
伴随矩阵A*(): 同数字矩阵.
定理 一个n×n的-矩阵A()可逆的充分必 要条件为行列式|A()|是一个非零的数.
证 先证充分性,设 d=|A()| 是一个非零常数. A*()是A()的伴随矩 阵, 也是一个-矩阵,
证 前面已经看出,-矩阵的行列式因子
与不变因子是相互确定的.因此,只要证 明其中之一即可. 必要性已由前面定理证明.
充分性显然.
事实上若-矩阵A()与B()有相同 的不变 因子, 则A()与B()和同一个标准形等价, 因而A()与B()等价.
注 由上可见, 在-矩阵的行列式
因子之间,有
Dk()∣Dk+1() (k=1,2,…,r-1).
在计算-矩阵的行列式因子时,
常常是先计算最高阶的行列式因子. 这样就大致有了低阶行列式因子的 范围了.
作为例子,来看可逆矩阵的标准形.
设A()为一个n×n可逆矩阵,
由定理可知
| A() |=d,
其中d是一个非零常数.亦即，
Dn() =1. 于是可知, Dk()=1 (k=1,2,…,n),
从而
f()|g().
(3) A()经初等变换(3)变成B(), 这时,
B()中那些包含i行与j行的k阶子式和
那些不包含i行的k阶子式都等于A()
中对应的k阶子式;B()中那些包含i行
但不包含j行的k阶子式, 按i行分成两
部分,因而等于A()的一个k阶子式与
另一个k阶子式的()倍的和, 也就是
A()的两个k阶子式的组合. 因此f()是
所在的位置, 分三种情形来讨论
(1)若在A()的第一列中有一个元素ai1() 不能被a11()除尽, 则有
ai1() =q() a11() +r() ， 其中余式r()0, 且次数比a11()的次数低.
对A()作初等行变换, 把A()的第i行减去第一行的q()倍,得:
再将此矩阵的第1行与第i行互换,得:
引理 对于任何不为零的nn数字矩阵A
和-矩阵U()与V(), 一定存在－矩阵Q()
与R()以及 数字矩阵U0与V0使
U() =(E-A)Q()+U0 ,
<1>
V() =R()(E-A)+V0 .
<2>
证 把U()改写成
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm .
这里D0,D1,…,Dm都是nn数字矩阵,而且
D00. 如m=0,则令Q()=0及U0=D0,它们
P(i(c))-1=P(i(c-1)),
P(i,j())-1=P(i,j(-)).
对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变换 就相当于在A()的左边乘上相应的ss初等 -矩阵;
对A()作一次初等列变换就相当于在A() 的右边乘上相应的nn的初等 -矩阵.
定义 -矩阵A()称为与B()等价, 如果可以经过一系列初等变换将A()化 为B().
行列式因子的意义就在于, 它在 初等变换下是不变的.
定理 等价的-矩阵具有相同的秩
与相同的各阶行列式因子。
证 只需要证明, -矩阵经过一次初
等变换, 其秩与行列式因子是不变的.
设-矩阵A()经一次初等行变换 变成B(), f( )与g( )分别是A()与
B()的k阶子式的一个最大公因式. 现证f=g.下面分三种情况讨论：
-矩阵之间的等价满足如下三条; (1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2) 对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆 性). (3) 传递性:若A()与B()等价,
B()与C()等价,则A()与C()等价.
命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条件 为有一系列初等-矩阵P1,P2,…,Ps,
Dk()=d1()d2()…dk()
(k＝1,2,…,r)
这说明A()的标准形(1)的主对角线上的 非零元素是被A()的行列式因子所唯一 决定的, 所以A ()的标准形是唯一的。
三.不变因子 定义 标准形的主对角线上非零元素
d1()‚d2(),…,dr() 称为-矩阵A()的不变因子.
定理 两个sn 的-矩阵等价的充分 必要条件是它们有相同的行列式因子, 或者说, 有相同的不变因子.
s阶-矩阵P()与可逆的n阶-矩阵 Q(),
使得
B()=P()A()Q().
§4 矩阵相似的条件
本节的主要结果是证明两个n×n数字 矩阵A和B相似的充分必要条件是它们 的特征矩阵E-A和E-B等价.
引理 如果有n×n数字矩阵P0 ，Q0 使
E-A= P0(E-B)Q0
则A与B相似.
证 因P0(E-B)Q0= P0Q0 - P0BQ0, 它又与 E-A相等, 进行比较后应有
高等代数第8章入矩阵1
2020年4月23日星期四
§1 - 矩阵
一. 概念
设P是一个数域, 是一个文字,作多项式环 P[]. 如果一个矩阵其元素是的多项式, 即P[]的元素, 就称为 -矩阵. 常用A(),B()表示.
数字矩阵: 特殊情形. 运算:与数字矩阵相同.
-矩阵的行列式
(1) -矩阵的行列式与数字矩阵的行列式
全部 k级子式也就都等于零; 反之亦然.
因此, A()与B()既有相同的各阶
行列式因子,又有相同的秩.
现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设 标准形为
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为1 的多项式, 且di()di+1() (i=1,2,…,r-1)
• 一般的非零k阶子式为:
B()的左上角元素r()符合引理的要求， 故B()即为所求的矩阵.
(2)在A()的第一行中有一个元素a1i()不能 被a11()除尽,这种情况的证明与(1)类似,但 是对A()进行的是初等列变换.
(3) A()的第一行与第一列中的元素都可以
被a11()除尽,但A()中有另一个元素 aij() (i>1,j>1)不能被a11()除尽.设
例 用初等变换化-矩阵为标准形
解
§3 不变因子
一.行列式因子
定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正 整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子 式. A()中全部k阶子式的首项系数为1 的最大公因式Dk()称为A()的k级行列
式因子.
由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式因子一共有r个.
(1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的
()倍, ()是一个多项式.
-矩阵的初等矩阵: 由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换 得到的-矩阵称为初等-矩阵.
P(i, j); P(i(c)); P(i, j())
初等矩阵都是可逆的, 并且有 P(i, j)-1=P(i, j) ,
有相同的性质.
(2) -矩阵的行列式是关于文字 的一个
多项式。
(3)可定义 -矩阵行列式的子式、非零
子式、 -矩阵的秩等概念。
零矩阵的秩规定为0.
例设
勇于开始，才能找到成 功的路
因为A()的4个3阶子式全等于零,
而有一个2阶子式不为零,
所以A()的秩为2.
三. -矩阵的逆矩阵
定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使
Q1, Q2 ,…,Qt,使
A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt .
引理 设-矩阵A()的左上角元素a11() ≠0, 并且A()中至少有一个元素不能被它 除尽, 那么一定可以找到一个与A()等价 的矩阵B(), 它的左上角元素也不为零, 但 是次数比a11()的次数低.
证 根据A()中不能被a11()除尽的元素
其中d=|A()|是数域中P一个非零常数.
例2 设
因为|A()|=0, 所以A()不可逆。
因为|B()|=2(+1), 不是非零常数, 所以 B()不可逆.
• 例4
因为|C()|= -3, 所以C()可逆,
§2 -矩阵在初等变换下的标准形
一.初等变换与初等矩阵
-矩阵的初等变换:指下面的三种变换
A()= P1P2…Ps B() Q1Q2 …Qt .
特别地, 当B()=E时, 就得到如下结果
定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是:A()的标准形为单位矩阵E. 定理 -矩阵A()可逆的充分必要条件 是: A()能表成一些初等矩阵的乘积.
定理 两个sn的-矩阵A()与B()
等价的充分必要条件是:存在可逆的
而
A()A*()=A*()A()= |A()| E 因此，A()可逆.
反之,若A()可逆,则有一个n×n的-矩阵 B()使
A()B()=B()A()=E
两边取行列式,
|A()||B()| = |E|=1 因为|A()|与|B()|都是的多项式,
所以都只能是零次多项式,即非零常数.
推论 如果A()可逆,则 A-1()= A*()
ai1()=a11()(). 对A()作下述初等行 变换:
勇于开始，才能找到成 功的路
矩阵A1()的第1行中aij()+(1-())a1i() 不能被左上角元素a11()除尽,
这就化为已经证明了的情况(2).
定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()
都等价于下列形式的矩阵
其中r1, di() (i=1,2,…,r)是首项系数为
• k阶子式首一最大公因勇于式开始为，才:能找到成
d1()d2()…dk(功的)路.
• 二.标准形的唯一性
• 定理 -矩阵的标准形是唯一的．
证 设A()的标准形为
勇于开始，才能找到成 功的路
因A()与其等价,故有相同的秩与相同的 行列式因子, 因此 A()的秩就是标准形 的主对角线上非零元素的个数r; A()的k阶行列式因子就是
如此下去, 将得到一系列彼此等价的-矩阵 A(), B1(), B2(),…它们左上角元素皆不为
零,而且次数越来越低。
但次数是非负整数.因此在有限步后, 我们
将终止于一个-矩阵Bs(),其左上角元素 bs() 0,且可除尽Bs()的全部元素bij (),
即
bij() = bs()qij(), 对Bs()作初等变换:
B()的k阶子式的公因式,
从而
f()|g().
对于列变换, 可以完全一样地讨论.
总之,如果A()经过一次初等变换变 成B(),那么f()|g(). 但由初等变换的 可逆性,B()也可以经过一次初等变换 变成A(). 由上面的讨论, 同样有 g() | f() , 于是f()=g(). 当A()的全部k阶子式为零时,B()的
dk()=1 (k=1,2,…,n).
因此,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.
反之,与单位矩阵等价的矩阵一定是 可逆的,
（因为它的行列式是一个非零的数） 这就是说, 矩阵可逆的充分必要条件是
它与单位矩阵等价.又矩阵A()与B()
等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵 P1,P2,…, Ps,Q1,Q2,…,Qt, 使
(1)A()经初等变换(1)变成B(), 这时, (2)B()的每个k阶子式或者等于A()的某个 (3)k阶子式,或者与A()的某一个k阶子式反
号,
(4) 因此f()是B()的k阶子式的公因式, 从而
((52))f(A)(|g()经).初等变换(2)变成B(), 这时, B() 的每个 k阶子式或者等于A()的某一个k阶 子式, 或者与A()的某一个k阶子式的c倍. 因此f()是B()的k阶子式的公因式,从而
1的多项式, 且
di()di+1() (i=1,2,…,r-1) 。
证 经行列调动,可使A()的左上角元素 a11()0.
若a11()不能除尽A()的全部元素,由引理, 可找到与A()等价的B1(),其左上角元素 b1()0, 且次数比a11()低.若b1()还不能除 尽B1()的全部元素,由引理,又可找到与B1() 等价的B2(), 其左上角元素b2()0,且次数比 b1()低.
右下角的-矩阵A1()中勇功于的的开路始全，才部能找元到成素都是 Bs()中元素的组合,都可以被bs()除尽.
若A1() 0,则对于A1()可以重复
上述过程, 进而把矩阵化成
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多项 式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而且 d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部元素. 如此继续,A()便可化成所要求的形式.
A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩阵.
注 (1)这里 E是n阶单位矩阵;
(2)这样的矩阵B()是唯一的, 记作A1().
伴随矩阵A*(): 同数字矩阵.
定理 一个n×n的-矩阵A()可逆的充分必 要条件为行列式|A()|是一个非零的数.
证 先证充分性,设 d=|A()| 是一个非零常数. A*()是A()的伴随矩 阵, 也是一个-矩阵,
证 前面已经看出,-矩阵的行列式因子
与不变因子是相互确定的.因此,只要证 明其中之一即可. 必要性已由前面定理证明.
充分性显然.
事实上若-矩阵A()与B()有相同 的不变 因子, 则A()与B()和同一个标准形等价, 因而A()与B()等价.
注 由上可见, 在-矩阵的行列式
因子之间,有
Dk()∣Dk+1() (k=1,2,…,r-1).
在计算-矩阵的行列式因子时,
常常是先计算最高阶的行列式因子. 这样就大致有了低阶行列式因子的 范围了.
作为例子,来看可逆矩阵的标准形.
设A()为一个n×n可逆矩阵,
由定理可知
| A() |=d,
其中d是一个非零常数.亦即，
Dn() =1. 于是可知, Dk()=1 (k=1,2,…,n),
从而
f()|g().
(3) A()经初等变换(3)变成B(), 这时,
B()中那些包含i行与j行的k阶子式和
那些不包含i行的k阶子式都等于A()
中对应的k阶子式;B()中那些包含i行
但不包含j行的k阶子式, 按i行分成两
部分,因而等于A()的一个k阶子式与
另一个k阶子式的()倍的和, 也就是
A()的两个k阶子式的组合. 因此f()是
所在的位置, 分三种情形来讨论
(1)若在A()的第一列中有一个元素ai1() 不能被a11()除尽, 则有
ai1() =q() a11() +r() ， 其中余式r()0, 且次数比a11()的次数低.
对A()作初等行变换, 把A()的第i行减去第一行的q()倍,得:
再将此矩阵的第1行与第i行互换,得: