(汇总3份试卷)2018年东莞市中考数学一模数学试题及答案

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】B 【解析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故选：B ．
【点睛】
此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形
2．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC ,P 点是BD 的中点,若AD=6, 则CP 的长为( )
A ．3.5
B ．3
C ．4
D ．4.5
【答案】B 【解析】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，
∴∠A ＝10°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝12
∠ABC ＝10°， ∴∠A ＝∠ABD ，
∴BD ＝AD ＝6，
∵在Rt △BCD 中，P 点是BD 的中点，
∴CP ＝12
BD ＝1． 故选B ．
3．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为
A ．6
B ．23
C 3
D ．3
【答案】D 【解析】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=
12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D.
【点睛】
本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.
4．下列计算或化简正确的是（ ）
A ．234265=
B 842=
C 2(3)3-=-
D 2733= 【答案】D
【解析】解：A ．不是同类二次根式，不能合并，故A 错误；
B 822=，故B 错误；
C 2(3)3-=，故C 错误；
D 27327393=
÷==，正确． 故选D ．
5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x =
C ．11x =-，23x =
D ．13x =-，21x =
【答案】C
【解析】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解
为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．
故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，DE ∥AB ，若∠CDE=165°，则∠B 的度数为（ ）
A．15°B．55°C．65°D．75°
【答案】D
【解析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据直线的性质公理，相交线的定义，垂线的性质，平行公理对各小题分析判断后即可得解．【详解】解:在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，
综上所述，正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行公理，直线的性质，垂线的性质，以及相交线的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．
8．2-的相反数是
A．2-B．2 C．1
2
D．
1
2
-
【答案】B
【解析】根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】
本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.
9．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC 的度数为（）
A．125°B．75°C．65°D．55°
【答案】D
【解析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【详解】延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,
∴∠1=∠ADE=145，
∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
10．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B．摸出的三个球中至少有一个球是白球
C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球
D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
【答案】A
【解析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.
【详解】A、是必然事件；
B、是随机事件，选项错误；
C、是随机事件，选项错误；
D 、是随机事件，选项错误．
故选A ．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．因式分解：3x 3﹣12x=_____．
【答案】3x （x+2）（x ﹣2）
【解析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．
【详解】3x 3﹣12x
=3x （x 2﹣4）
=3x （x+2）（x ﹣2），
故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为OP =（m ，n ），已知：OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2=0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量：
①OC =（2，1），OD =（﹣1，2）；②OE =（cos30°，tan45°），OF =（﹣1，sin60°）；③OG =﹣
，﹣2）
，OH =，12）；④OC =（π0，2），ON =（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．
【答案】①③④
【解析】分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
详解：①∵2×(−1)+1×2=0，
∴OC 与OD 垂直;
②∵3cos301tan45sin60⨯+⋅=
+= ∴OE 与OF 不垂直.
③∵()1202
+-⨯=， ∴OG 与OH 垂直.
④∵()02210π⨯+⨯-=，
∴OM 与ON 垂直.
故答案为:①③④.
点睛：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.
13______________．
【答案】-1
－1．故答案为：－1．
14．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则b a=_______．
【答案】1
2
．
【解析】∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴b a=1
2-=1
2
．故答案为
1
2
．
考点：关于原点对称的点的坐标．
15．某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是_____．
【答案】85
【解析】根据中位数求法,将学生成绩从小到大排列,取中间两数的平均数即可解题.
【详解】解：将六位同学的成绩按从小到大进行排列为：75,75,84,86,92,99,
中位数为中间两数84和86的平均数,
∴这六位同学成绩的中位数是85.
【点睛】
本题考查了中位数的求法,属于简单题,熟悉中位数的概念是解题关键.
16x
<<x的值是_____．
【答案】3，1
【解析】直接得出23，15，进而得出答案．
【详解】解：∵23，15，
∴
x
<<x的值是：3，1．
故答案为：3，1．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
17．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为
_________m.
【答案】7
【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262
x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 18．在平面直角坐标系中，将点A （﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．
【答案】（0，0）
【解析】根据坐标的平移规律解答即可．
【详解】将点A （-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），
故答案为（0，0）．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；
若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）-2.
【解析】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥1，由此即可证出：无论p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=5、x 1x 2=6-p 2-p ，结合x 12+x 22-x 1x 2=3p 2+1，即可求出p 值． 详解：（1）证明：原方程可变形为x 2-5x+6-p 2-p=1．
∵△=（-5）2-4（6-p 2-p ）=25-24+4p 2+4p=4p 2+4p+1=（2p+1）2≥1，
∴无论p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x 1、x 2，
∴x 1+x 2=5，x 1x 2=6-p 2-p ．
又∵x 12+x 22-x 1x 2=3p 2+1，
∴（x 1+x 2）2-3x 1x 2=3p 2+1，
∴52-3（6-p 2-p ）=3p 2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥1时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．
20．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）
小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利
用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为．【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+3或7﹣3
【解析】（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形；
②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．
（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，
在△ABD和△ABD′中，
AB AB
ABD ABD BD BD
'
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
='
⎪
⎩
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
②∵△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在△AD′B和△AD′C中，
AD AD D B D C AB AC
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
''⎩
'
∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠
AD′B=
1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（1）∵∠DBC＜∠ABC，
∴60°＜α≤110°，
如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=1
2
（180°﹣α）=90°﹣
1
2
α，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣1
2
α﹣β，
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣1
2
α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣1
2
α﹣β+90°﹣
1
2
α=180°﹣（α+β），
∵α+β=110°，
∴∠D′BC=60°，
由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．
（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，
由（1）知，∠ADB=30°，
作AE⊥BD，
在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，
∴3，
∵△BCD'是等边三角形，
∴BD'=BC=7，
∴BD=BD'=7，
∴BE=BD﹣DE=73；
第②情况：当0°＜α＜60°时，
如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．
同理可得：∠ABC=1
2
（180°﹣α）=90°﹣
1
2
α，
∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣1
2α），
同（1）①可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣1
2
α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣1
2
α﹣[β﹣（90°﹣
1
2
α）]=180°﹣（α+β），
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，
∴3，
∴3
故答案为：373
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．观察猜想：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D 落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是，位置关系是．探究证明：在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．拓展延伸：
如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=2，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．
【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）1 4 .
【解析】分析：（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）证明的方法与（1）类似．
（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，
易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得MD AM
CF DC
，设DC=x，
MD=1-x，利用相似比可得到CF=-x2+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．详解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
故答案为CE=BD，CE⊥BD．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴MD AM
，
CF DC
设DC=x，
∵∠ACB=45°，2，
∴AM=CM=1，MD=1-x，
∴11x CF x -=， ∴CF=-x 2+x=-（x-
12）2+14， ∴当x=12时有最大值，CF 最大值为14
． 点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等及相似的判定与性质． 22．某校为了创建书香校远，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的单价少20元，用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等．文学书和科普书的单价分别是多少元？该校计划用不超过5000元的费用购进一批文学书和科普书，问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书？
【答案】（1）文学书的单价为40元/本，科普书的单价为1元/本；（2）购进1本文学书后最多还能购进2本科普书．
【解析】（1）设文学书的单价为x 元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，根据数量=总价÷单价结合用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进m 本科普书，根据总价=文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本数结合总价不超过5000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设文学书的单价为x 元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，
依题意，得：，
解得：x ＝40，
经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝1．
答：文学书的单价为40元/本，科普书的单价为1元/本．
（2）设购进m 本科普书，
依题意，得：40×1+1m≤5000，
解得：m≤．
∵m 为整数，
∴m 的最大值为2．
答：购进1本文学书后最多还能购进2本科普书．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图，二次函数23
2(0)2
y ax x a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．求抛物线与直线AC 的函数解析式；若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．
【答案】（1）122y x =
+（1）S=﹣m 1﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，1）、（3412-，﹣1）、（3412
-+，﹣1） 【解析】（1）把点A 的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A ，C 两点的坐标，可求得直线AC 的函数解析式；
（1）先过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，运用割补法即可得到：四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，据此列式计算化简就可求得S 关于m 的函数关系；
（3）由于AC 确定，可分AC 是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E 与点C 的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E 的坐标．
【详解】（1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 1﹣32x+1（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+1，
解得a=﹣12
， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣
12x 1﹣32x+1； ∴点C 的坐标为（0，1），
设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则
04{2k b b
=-+=， 解得1{
22
k b ==，
∴直线AC 的函数解析式为：1
22y x =+；
（1）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D （m ，﹣1
2m 1﹣3
2m+1），
过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣1
2m 1﹣3
2m+1，AH=m+4，HO=﹣m ，
∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，
∴S=1
2（m+4）×（﹣1
2m 1﹣32m+1）+12（﹣12m 1﹣3
2m+1+1）×（﹣m ），
化简，得S=﹣m 1﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；
（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，
∴|y E |=|y C |=1，
∴y E =±1．
当y E =1时，解方程﹣12x 1﹣3
2x+1=1得，
x 1=0，x 1=﹣3，
∴点E 的坐标为（﹣3，1）；
当y E =﹣1时，解方程﹣1
2x 1﹣3
2x+1=﹣1得，
x 1，x 1，
∴点E 的坐标为（32-，﹣1）或（32-，﹣1）；
②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，
∴y E =y C =1，
∴点E 的坐标为（﹣3，1）．
综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，1）、，﹣1）、，﹣1）．
24．解不等式组：
3(1)7
23
2
3
x x
x
x x
--<
⎧
⎪
-
⎨
-≤
⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】x≥3 5
【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.
详解：
()
317
23
2
3
x x
x
x x
⎧--<
⎪
⎨-
-≤
⎪⎩
①
②
，
由①得，x＞﹣2；
由②得，x≥3
5
，
故此不等式组的解集为：x≥3
5
．
在数轴上表示为：．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C 的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D．
如果BE=15，CE=9，求EF的长；证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使3，请说明你的理由．
【答案】（1）27
5
（2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且
2
3
BF BC
=
【解析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CD CE
BA BC
=，又由AB=BC，
即可证得CD=CE；
（3）由CE=CD，可得BC=3CD=3CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度
数，则可得F在⊙O的下半圆上，且
2
3
BF BC
=.
【详解】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴CE EF
BE CE
=，
∵BE=15，CE=9，
即：
9
159
EF
=，
解得：EF=27
5
；
（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴CF CD
BF BA
=，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴CF CE
BF BC
=，
∴CD CE
BA BC
=，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；
（3）解：∵CE=CD ，
∴BC=3CD=3CE ，
在Rt △BCE 中，tan ∠CBE=13
CE BC =， ∴∠CBE=30°，
故CF 为60°，
∴F 在直径BC 下方的圆弧上，且23
BF BC =．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
26．为给邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图所示，已知斜坡AB 长602米，坡角(即BAC ∠)为45︒，BC AC ⊥，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE (下面两个小题结果都保留根号).
若修建的斜坡BE 3：1，求休闲平台DE 的长是多少米？一座建筑
物GH 距离A 点33米远(即33AG =米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即HDM ∠)为30.点B 、C 、A 、G ，H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG CG ⊥，问建筑物GH 高为多少米？
【答案】（1）(30103)-m （2）(30213)+米
【解析】分析：（1）由三角函数的定义，即可求得AM 与AF 的长，又由坡度的定义，即可求得NF 的长，
继而求得平台MN 的长；（2）在RT △BMK 中，求得BK=MK=50米，从而求得 EM=84米；在RT △HEM 中，
求得283HE =，继而求得28350HG =+米．
详解：
（1）∵MF ∥BC ，∴∠AMF=∠ABC=45°，
∵斜坡AB 长1002米，M 是AB 的中点，∴AM=502（米），
∴AF=MF=AM•cos ∠AMF=2502502
⨯=（米）， 在RT ANF 中，∵斜坡AN 的坡比为3∶1，∴
31AF NF =， ∴5033
NF ==， ∴MN=MF-NF=50-
503=150503-.
（2）在RT △BMK 中，BM=502，∴BK=MK=50（米），
EM=BG+BK=34+50=84（米）
在RT △HEM 中，∠HME=30°，∴3tan30HE EM =︒=， ∴384283HE == ∴28350HG HE EG HE MK =+=+=（米）
答：休闲平台DE 150503-GH 高为()
28350米. 点睛：本题考查了坡度坡角的问题以及俯角仰角的问题．解题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题；掌握数形结合思想与方程思想在题中的运用.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列说法中，错误的是（）
A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似
【答案】B
【解析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；
B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；
C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；
D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．
2．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【答案】C
【解析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
3．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为
2
1
2
x
y
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
的是()
A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8 C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8
【解析】试题分析：将x 与y 的值代入各项检验即可得到结果．
解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为
的是3x ﹣4y=﹣1．
故选D ．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 4．抛物线223y x ＝（﹣）的顶点坐标是（ ）
A ．（2，3）
B ．（-2，3）
C ．（2，-3）
D ．（-2，-3） 【答案】A
【解析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．
5．某广场上有一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB ∥EF ∥DC ，BC ∥GH ∥AD ，那么下列说法错误的是( )
A ．红花、绿花种植面积一定相等
B ．紫花、橙花种植面积一定相等
C ．红花、蓝花种植面积一定相等
D ．蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【解析】图中，线段GH 和EF 将大平行四边形ABCD 分割成了四个小平行四边形，平行四边形的对角线平分该平行四边形的面积，据此进行解答即可.
【详解】解：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形．又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大．
故选择C.
本题考查了平行四边形的定义以及性质，知道对角线平分平行四边形是解题关键.
6．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是( )
A ．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B ．妈妈比小亮提前0.5 h 到达姥姥家
C ．妈妈在距家12 km 处追上小亮
D ．9：30妈妈追上小亮
【答案】D
【解析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．
【详解】解：A 、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h ），故正确；
B 、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时）， ∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；
C 、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，
∴小亮走的路程为：1×12=12km ，
∴妈妈在距家12km 出追上小亮，故正确；
D 、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；
故选D ．
【点睛】
本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.
7．如图，AB 是半圆圆O 的直径，ABC ∆的两边,AC BC 分别交半圆于,D E ,则E 为BC 的中点，已知50BAC ∠=，则C ∠=( ）
A．55B．60C．65D．70
【答案】C
【解析】连接AE，只要证明△ABC是等腰三角形，AC=AB即可解决问题.
【详解】解：如图，连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵EB=EC，
∴AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠BAC=50°，
∴∠C=1
2
（180°-50°）=65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8．已知函数
()()
()()
2
2
113
{
513
x x
y
x x
--≤
=
--＞
，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D
【解析】解：如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
9．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点，就可得出已知点所在的象限.
【详解】解：点（2,3）所在的象限是第一象限.
故答案为：A
【点睛】
考核知识点：点的坐标与象限的关系.
10．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C
【解析】试题分析：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选C．
考点：一次函数与一元一次不等式．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m.。