2019版高中全程复习方略数学课时作业：第六章 不等式、推理与证明 32
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A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(1,3) D．(0,3)
解析：由已知及三角形三边关系是
∴ ∴
两式相加得，0<2× <4，
∴ 的取值范围为(0,2)．
答案：B
13．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0.
当a>0时，b2>1>b，
但 < .故选B.
答案：B
5．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()
A．M<NB．M>N
C．M＝ND．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
一、选择题
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝ ＋ ，B＝ ，则A，B的大小关系是()
A．A≤BB．A≥B
C．A<BD．A>B
解析：由题意得，B2－A2＝－2 ≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B，故选B.
答案：B
2．(2018·哈尔滨一模)设a，b∈R，若p：a<b，q： < <0，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
解析：解法一 因为函数f(x)＝( )x在R上是减函数，又a>b，所以( )a<( )b，故选B.
解法二 取a＝ ，b＝－ ，则a2＝ ，b2＝ ，a2<b2，lg(a－b)＝lg <0， <0<1，故排除A，C，D选项，故选B.
答案：B
12．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则 的取值范围为()
答案：≥
7．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， － >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵ － ＝ >0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
(1)3m2－m＋1与2m2＋m－3；
(2) ＋ 与a＋b(a>0，b>0)．
解析：(1)∵(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3)
＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3>0，
∴3m2－m＋1>2m2＋m－3.
(2)∵ ＋ －(a＋b)
＝
＝
＝
＝ .
又∵a>0，b>0，
∴ ≥0，故 ＋ ≥a＋b.
10．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证： > .
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则 > .
其中正确的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：①ac2>bc2，则c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③需满足a、b、c、d均为正数才成立；
④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0< < .
又∵e<0，∴ > .
[能力挑战]
11．(2018·江西七校联考)若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()
A．a2>b2B．( )a<( )b
C．lg(a－b)>0 D. >1
8．(2018·南昌一模)已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则 的取值范围是________．
解析：∵b＋c≤2a，c＋a≤2b，又c>a－b，c>b－a，∴不等式组 有解，∴ ，∴ < < ，即 的取值范围是( ， )．
答案：( ， )
三、解答题
9．比较下列各组中两个代数式的大小．
即 解得b<－1；
当a<0时，b2<1<b，
即 无解．
综上可得b<－1.
答案：(－∞，－1)
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
二、填空题
6．已知p＝a＋ ，q＝( ) ，其中a>2，x∈R，则p________q.
解析：p＝a＋ ＝(a－2)＋ ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．∵x2－2≥－2，∴q＝( ) ≤( )－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．∴p≥q.
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， < <0不一定成立；当 < <0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选B.
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
3．(2018·厦门一模)对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<loga(1＋ )；②loga(1＋a)>loga(1＋ )；③a1＋a<a ；④a1＋a>a
其中正确的是()
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析：由于0<a<1，所以函数f(x)＝logax和g(x)＝ax在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a<1＋ ，所以②与④是正确的．
答案：D
4．(2018·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
C．(1,3) D．(0,3)
解析：由已知及三角形三边关系是
∴ ∴
两式相加得，0<2× <4，
∴ 的取值范围为(0,2)．
答案：B
13．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0.
当a>0时，b2>1>b，
但 < .故选B.
答案：B
5．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()
A．M<NB．M>N
C．M＝ND．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
一、选择题
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝ ＋ ，B＝ ，则A，B的大小关系是()
A．A≤BB．A≥B
C．A<BD．A>B
解析：由题意得，B2－A2＝－2 ≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B，故选B.
答案：B
2．(2018·哈尔滨一模)设a，b∈R，若p：a<b，q： < <0，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
解析：解法一 因为函数f(x)＝( )x在R上是减函数，又a>b，所以( )a<( )b，故选B.
解法二 取a＝ ，b＝－ ，则a2＝ ，b2＝ ，a2<b2，lg(a－b)＝lg <0， <0<1，故排除A，C，D选项，故选B.
答案：B
12．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则 的取值范围为()
答案：≥
7．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， － >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵ － ＝ >0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
(1)3m2－m＋1与2m2＋m－3；
(2) ＋ 与a＋b(a>0，b>0)．
解析：(1)∵(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3)
＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3>0，
∴3m2－m＋1>2m2＋m－3.
(2)∵ ＋ －(a＋b)
＝
＝
＝
＝ .
又∵a>0，b>0，
∴ ≥0，故 ＋ ≥a＋b.
10．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证： > .
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则 > .
其中正确的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：①ac2>bc2，则c≠0，则a>b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③需满足a、b、c、d均为正数才成立；
④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0< < .
又∵e<0，∴ > .
[能力挑战]
11．(2018·江西七校联考)若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()
A．a2>b2B．( )a<( )b
C．lg(a－b)>0 D. >1
8．(2018·南昌一模)已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则 的取值范围是________．
解析：∵b＋c≤2a，c＋a≤2b，又c>a－b，c>b－a，∴不等式组 有解，∴ ，∴ < < ，即 的取值范围是( ， )．
答案：( ， )
三、解答题
9．比较下列各组中两个代数式的大小．
即 解得b<－1；
当a<0时，b2<1<b，
即 无解．
综上可得b<－1.
答案：(－∞，－1)
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
二、填空题
6．已知p＝a＋ ，q＝( ) ，其中a>2，x∈R，则p________q.
解析：p＝a＋ ＝(a－2)＋ ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．∵x2－2≥－2，∴q＝( ) ≤( )－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．∴p≥q.
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， < <0不一定成立；当 < <0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选B.
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB
3．(2018·厦门一模)对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<loga(1＋ )；②loga(1＋a)>loga(1＋ )；③a1＋a<a ；④a1＋a>a
其中正确的是()
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析：由于0<a<1，所以函数f(x)＝logax和g(x)＝ax在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a<1＋ ，所以②与④是正确的．
答案：D
4．(2018·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；