三角函数化简题

日期：2009年 月 日星期
,能正确地运用三角公式
进行三角函数式的化简与恒等式的证明．
用．
1常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦,异名化同名,异角化同角；③ 三角公式的逆用等;2化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类：1给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；2给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论；3给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;
3、三角等式的证明：1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”；2三角条件等式的证题,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;
．三角函数的求值： ,化非特殊角为特殊角； 2．正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同
次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是
化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常
1、已知θ是第三象限角,且4
4
5
9
sin cos θθ+=
,那么2sin θ等于 A
A 、3
B 、3-
C 、23
D 、23
-
2、函数2
22
y sin x x =--+的最小正周期 B
A 、2π
B 、π
C 、3π
D 、4π
3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 D
A 、1
B 、2
C 、－1
D 、－2
4、已知46sin (4)4m m m αα-=
≠-,则实数m 的取值范围是＿＿－1,7
3
＿＿＿;
5、设1
0,sin cos 2
απαα<<+=,则cos2α＝＿＿4-＿＿＿;
例1．已知3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+2
π
θπ<<,则tan θ= C ()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或5
12-
略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =舍,∴5sin 13θ=,∴5
tan 12
θ=-．
例2．已知1
cos(75)3
α+=,α是第三象限角,求cos(15)sin(15)αα-+-的值．
解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+k Z ∈,
∵1
cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角,
∴
sin(75)α+==,
∴原式221
cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3
αααα+=---=+-+=-
． 例3．已知2
sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．
解：由题意,22
sin 1sin cos θθθ=-=,
∴原式22
3sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．
例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=,求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++,()βαβα=+-, ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=,
得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+,若
cos()cos 0
αβα+≠,则
13
tan()tan 3
αβα+⋅=,
若cos()cos 0αβα+=,tan()tan αβα+⋅无意义．
说
明
：
角
的
和
、
差
、
倍
、
半
具有相对性,如
()()βαβαβαα=+-=-+,2()()α
αβαβ=
++-,2()αβαβα+=++等,解
题过程中应充分利用这种变形．
例5．已知关于x 的方程2
21)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈,
求：1
sin cos
1cot 1tan θθ
θθ
+
--的值；2m 的值；3方程的两根及此时θ的值． 解：1由根与系数的关系,得sin cos sin
cos 2
m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩, ∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθ
θθθθθθθθθθ-=+==+=--
-．
2由①平方得：12sin
cos θθ+⋅=
sin cos θθ⋅=
即
2m =,故m =．
3
当2
21)0x x -=,解得1212
x x ==, ① ②
∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或1sin 2cos 2
θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
∵(0,2)x π∈,∴3πθ=或6
π
．
例1．化简：
2
3tan123
sin12(4cos 122)
--； 2(cot tan )(1tan tan )222
ααα
α-+
⋅；
(1sin cos )(sin cos )
)θθ
θθθπ++-<<． 解：1
原式2
13sin12cos12)
3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos
24
--==
- sin 482
=
=-
2原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααα
αααα+--=-+⋅
2cos 1cos 1
(1)2cot (11)2csc sin cos
cos ααααααα
-=+=+-=．
3原式2
(2cos 2cos sin )(sin cos )
θ
θθθθ
+-=
2cos (cos sin )(sin cos )
θθθθθ
+-=
222cos (sin cos )cos (cos )
22222|cos ||cos |
22θθθθ
θθθ--=
= ∵0θπ<<,∴022θπ<<,∴|cos |cos 22
θθ
=,
∴原式cos θ=-．
例3．证明：122
2(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；2sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A
+-+=．
证：1左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24
x x x x x x x x
x x x x x ++-=+==
2222211
1sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48
x x
x x x x x x ---+====
--- 42(1cos 4)2(3cos 4)
1cos 41cos 4x x x x
+++===--右边,∴得证．
说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”；若“从右证到
左”,必定要用倍角公式．
2左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A
A
+-+=
sin[()]sin sin sin A B A B A A
+-=
==右边,∴得证．
1．若cos130a =,则tan 50=
D
()
A
()B
± ()C
()
D 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=
B
()A 2 ()B 4 ()C 8
()D 16
3．化简：
4221
2cos 2cos 2.2tan()sin ()44
x x x x ππ-+
-+ 答案：1cos 22x 4．设3177cos(),45124x x πππ+=<<
,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值;答案：28
75
- 6．已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值;答案：2π
7．05北京卷已知tan 2α=2,求I tan()4πα+的值；II 6sin cos 3sin 2cos αα
αα
+-的值．
解：I ∵ tan
2α=2, ∴ 22tan
2242tan 1431tan 2
α
αα⨯=
==---; 所以tan tan
tan 14tan()41tan 1tan tan 4π
απααπαα+++==--=411347
13
-+=-+； II 由I, tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()1
7346
3()23
-+=--.
8．05全国卷已知函数2
()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分
1)4
x π
=-…………………………………………………4分
()01)04
f x x π
∴>⇔-
>sin(2)4x π⇔->…………6分 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+…………………………8分 34
k x k π
ππ⇔<<
+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x ππ
π∈⋃………………………12分
9．05浙江卷已知函数fx ＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．
Ⅰ 求f 256
π的值； Ⅱ 设α∈0,π,f 2α＝41
－2,求sin α的值．
解：Ⅰ
25125sin
,cos
626ππ==
225252525()sin cos 06666
f ππππ=
+=
Ⅱ 1()2sin 222
2
f x x x =
-
+
11()cos sin 222242
f ααα∴=+-=-
011sin 4sin 162=-α-α 解得8
5
31sin ±=
α 0sin ),0(>α∴π∈α 8
5
31sin +=∴a 1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αα
αα++=+-
B
()A cot α ()B cot 2α
()C tan α
()D tan 2a
2．已知()f x =当53(,)42
ππα∈时,式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 D
()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．
222cos 12tan()sin ()
44
αππ
αα-=-+ 1 ．
§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期 一、选择题
1、已知1sin()43π
α-
=,则cos()4π
α+的值等于 D A
、3 B
、3- C 、13 D 、13
-
2、已知tan α、tan β
是方程2
40x ++=的两根,且(,)22
ππ
αβ∈-、,则αβ+等于
B
A 、
3π B 、23π- C 、3π
或23π- D 、3π-或23π
3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x
x x ππ+---为 B
A 、sin x
B 、cos x
C 、tan x
D 、cot x
4、全国卷Ⅲ
22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αα
αα
B A tan α B tan 2α
C 1 D
12
5、山东卷函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,0
1),sin()(12
x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为 B
A1 B 22,1-
C 22-
D 2
2
,1
二、填空题
6、全国卷Ⅱ设a 为第四象限的角,若
513sin 3sin =a a ,则tan 2a =_____4
3
-_________. 7、北京卷已知tan 2α=2,则tanα的值为－34,tan ()4πα+的值为 -7
1
8、已知tan()34
πθ+=,则2
sin 22cos θθ-的值为＿＿＿45-＿＿＿＿;
9、已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝＿2
-＿. 三、解答题 10、求证：
2
1tan 1sin 2.12sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--
11、已知
2sin 22sin ()1tan 42
k ααππ
αα+=<<+,试用k 表示sin cos αα-的值;
12、求值：
2
3)csc12
.4cos 122
--
答案：-
13、已知tan tan αβ=,求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值;答案：3
备用题
参考资料。